Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu f'(x): trên (−∞;−1) f'<0, trên (−1;0) f'>0, trên (0;1) f'<0, trên (1;2) f'>0, trên (2;+∞) f'>0. Điểm cực tiểu xảy ra khi f' đổi dấu từ − sang +: tại x=−1 (−→+) và tại x=1 (−→+, f liên tục trên ℝ nên dù f' không xác định tại x=1 vẫn có thể cực tiểu). Tại x=0 f' đổi từ + sang − nên là cực đại; tại x=2 f' không đổi dấu (+→+) nên không phải cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=-x^3+2x^2-3$.

a) $y^{\prime }=-3x^2+4x$. (đúng)

b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Với $x\in \left(0;\frac{4}{3}\right)$ thì $x>0$ và $-3x+4>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến trên khoảng này. (đúng)

c) $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ (gần 0) và $y^{\prime }>0$ khi $0<x<\frac{4}{3}$, nên $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (với $y_{CT}=-3$). (đúng)

d) Trên $[0;+\infty )$: hàm số đồng biến trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$, nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng này (mặc dù $y(0)=-3$ và $y\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{49}{27}>-3$). Do đó khẳng định là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) đúng, b) đúng, c) đúng, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=-x^3+2x^2-3$ là $y^{\prime }=-3x^2+4x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x(-3x+4)>0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{4}{3}\right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;+\infty )$, hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; khẳng định $-3$ là sai.

Đáp số: 4,5

Giải

Ta có: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

Mặt khác,

$$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-1}{x^2}=0\Rightarrow x^2-1=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>.$$

Vậy điểm hai điểm cực trị là $A(-1;-2)$ và $A(1;2)$.

$$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,47.$$

Đáp số: 4,5

Giải

Ta có: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

Mặt khác,

$$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-1}{x^2}=0\Rightarrow x^2-1=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>.$$

Vậy điểm hai điểm cực trị là $A(-1;-2)$ và $A(1;2)$.

$$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,47.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<3$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>3$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và đạt cực tiểu tại $x=3$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1252, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^4+4x^2-1$, có $y^{\prime }=-4x^3+8x=-4x(x^2-2)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{2}$. Tại $x=0$: $y=-1$ (điểm cực tiểu vì $y^{\prime \prime }=-12x^2+8>0$ tại $x=0$), nên $y_{CT}=-1$. Tại $x=\pm \sqrt{2}$: $y=-(\sqrt{2}{)}^4+4(\sqrt{2}{)}^2-1=-4+8-1=3$ (điểm cực đại), nên $y_{CD}=3$. Vậy $y_{CD}-y_{CT}=3-(-1)=4$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2346, câu 20 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+8x=-4x(x^2-2)=0\Rightarrow x=0,x=\pm \sqrt{2}$. Tại $x=0$: $y=-1$ (cực tiểu, vì hàm số đi lên qua $x=0$); tại $x=\pm \sqrt{2}$: $y=-(\sqrt{2}{)}^4+4(\sqrt{2}{)}^2-1=-4+8-1=3$ (cực đại). Vậy $y_{CD}-y_{CT}=3-(-1)=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 17 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (trang 4): hàm bậc ba đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=3$, đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$ nên $f(0)=1$. a) Sai: hàm đạt cực đại tại $x=-1$, không phải cực tiểu. b) Đúng: hàm bậc ba nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị $(-1;1)$. c) Sai: giá trị cực đại bằng $3$; giá trị $-1$ là giá trị cực tiểu $f(1)$. d) Đúng: vì $[0;1]\subset (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $[0;1]$, giá trị lớn nhất đạt tại $x=0$ bằng $f(0)=1$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Câu 4, mã 121: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (giá trị $3$), không đạt cực tiểu tại đó.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị $x=-1$ và $x=1$, tức trên $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại là $f(-1)=3$; giá trị $-1$ là giá trị cực tiểu $f(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $[0;1]\subset (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $[0;1]$; giá trị lớn nhất tại $x=0$ bằng $f(0)=1$ (đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-6x^2+9x+4$ có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. $y^{\prime }=0$ tại $x=1$ và $x=3$. Tại $x=1$: $y=1-6+9+4=8$ (cực đại, vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang −), nên $a=8$. Tại $x=3$: $y=27-54+27+4=4$ (cực tiểu), nên $b=4$. Vậy $T=a+b=8+4=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 3, nhánh phải của hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{dx+e}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ $x=2$, tung độ $y=4$ (được đánh dấu bằng đường nét đứt trên hình). Điểm cực tiểu là một điểm trên đồ thị nên phải viết dưới dạng tọa độ $(2;4)$, không phải $x=2$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

Theo bảng biến thiên, hàm số đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại $y=0$. (Tại $x=-3$ hàm số đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đạt cực tiểu bằng $5$; tại $x=-2$ là tiệm cận đứng.) Đáp án D, khớp với bảng đáp án Mã đề 1102, Câu 8 = D (trang đáp án).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ (hàm bậc ba) ở hình vẽ: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=-1$ (giá trị cực đại khoảng $2$) và đạt cực tiểu tại $x=1$ (giá trị cực tiểu khoảng $-2$). Vậy điểm cực đại của hàm số là $x=-1$, tương ứng đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 1025, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án B (mã đề 209).

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=-1$ (từ $+$ sang $-$) và qua $x=1$ (từ $-$ sang $+$), nên có $2$ điểm cực trị. Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn âm hai bên) nên không phải điểm cực trị. Vậy số điểm cực trị là $2$, đáp án C, trùng với đáp án của đề.

[Lời giải do AI solution agent cung cấp – không có lời giải in trong nguồn; đáp số −3 khớp với bảng HD chấm, đề 102, Phần III, Câu 2]
Vì $M(-2;1)$ thuộc đồ thị hàm số nên $(-2{)}^3+b\cdot (-2{)}^2+c=1\iff -8+4b+c=1$.
Hàm số $y=x^3+b{x}^2+c$ có $y^{\prime }=3x^2+2bx$. Vì $M(-2;1)$ là điểm cực trị nên $y^{\prime }(-2)=0\iff 12-4b=0\iff b=3$.
Suy ra $c=1+8-4b=9-12=-3$.
Vậy $T=b+2c=3+2\cdot (-3)=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+b{x}^2+c$ có $y^{\prime }=3x^2+2bx$. Vì $M(2;-3)$ là điểm cực trị nên $y^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12+4b=0\Rightarrow b=-3$. Điểm $M$ thuộc đồ thị: $8+4b+c=-3\Rightarrow 8-12+c=-3\Rightarrow c=1$. Khi đó $T=b+3c=-3+3=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 2: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-2$ và $x=2$. Tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $f$ đạt cực đại; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f$ đạt cực tiểu. Giữa hai điểm này $f^{\prime }<0$ (đồ thị nằm dưới trục hoành) nên không có cực trị nào khác. Vậy hàm số có 2 cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$. Nên $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1$ và $x=3$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $1<x<3$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>3$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $a=1$ và cực tiểu tại $b=3$. Do đó $A=2a+b=2\cdot 1+3=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 3: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x+2)(x^2-1)=x^2(x+2)(x-1)(x+1)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $x=-2,x=-1,x=0,x=1$. Vì $x^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ chỉ do $(x+2)(x+1)(x-1)$ quyết định. Xét dấu: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }>0$ trên $(-2;-1)$, $f^{\prime }>0$ trên $(-1;0)$ và $(0;1)$ (do nhân tử $x^2$ không đổi dấu qua $x=0$), $f^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đổi dấu chiều biến thiên tại $x=-2$ (cực tiểu), $x=-1$ (cực đại), $x=1$ (cực tiểu); tại $x=0$ đạo hàm không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Số điểm cực trị là 3. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: C).