Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+1)x^2(x-3{)}^3$. Với $x<-1$: $(-)(+)(-)=+$; với $-1<x<0$: $(+)(+)(-)=-$; với $0<x<3$: $(+)(+)(-)=-$; với $x>3$: $(+)(+)(+)=+$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vì $x^2>0$) nên $x=0$ không phải cực trị. Tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-21x+36=3(x^2-7x+12)=3(x-3)(x-4)$. Cho $f^{\prime }(x)=0$ được $x=3$ hoặc $x=4$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn... xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<3$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $3<x<4$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>4$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$ (cực đại tại $x=3$). Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (đề 0102, câu 9: C).

Ta có: $f^{\prime }(x)=3x^2-21x+36=0\iff x=3$ hoặc $x=4$.
Lập bảng biến thiên.
Điểm cực tiểu của hàm số là $x=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$ qua từng điểm: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không xác định (ký hiệu $\Vert$) nhưng hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$, nên $x=2$ cũng là điểm cực tiểu. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu ($+$ rồi $+$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu (tại $x=-2$ và $x=2$), khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x+1{)}^3=x(x-1)(x+1{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=-1$ (bội 4, chẵn), $x=0$, $x=1$. Xét dấu: với $x<-1$: $f^{\prime }>0$; với $-1<x<0$: $f^{\prime }>0$ (dấu không đổi qua $x=-1$ vì bội chẵn); với $0<x<1$: $f^{\prime }<0$; với $x>1$: $f^{\prime }>0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu dương sang âm tại $x=0$ (cực đại) và âm sang dương tại $x=1$ (cực tiểu); tại $x=-1$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 20 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x+1{)}^3=x(x-1)(x+1{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=-1$ (bội 4, chẵn), $x=0$, $x=1$. Vì $(x+1{)}^4\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ chỉ do $x(x-1)$ quyết định: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)\cup (0;1)$... cụ thể $f^{\prime }<0$ khi $x<0$ (khác $-1$) và $x\in (0;1)$, $f^{\prime }>0$ khi $x>1$. Tại $x=-1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (số mũ chẵn) nên không phải cực trị. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$? Kiểm tra: với $x\in (-1;0)$, $x<0,x-1<0$ nên $x(x-1)>0$, $f^{\prime }>0$; với $x\in (0;1)$, $f^{\prime }<0$; với $x>1$, $f^{\prime }>0$. Vậy $x=0$ là điểm cực đại, $x=1$ là điểm cực tiểu. Hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn 2.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không xác định (ký hiệu $\Vert$) nhưng đổi dấu từ $-$ sang $+$, hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và liên tục tại $x=2$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=3$, $f^{\prime }=0$ nhưng không đổi dấu ($+$ sang $+$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu ($x=-2$ và $x=2$), khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x^2-2x+3)$ xác định trên $\mathbb{R}$ vì $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$ với mọi $x$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2x-2}{(x^2-2x+3)\ln 3}$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=1$. Với $x<1$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực trị, khớp với đáp án A của đề (mã đề 0102, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x^2-2x+3)$ xác định với mọi $x$ vì $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2x-2}{(x^2-2x+3)\ln 3}$. Cho $y^{\prime }=0$ suy ra $x=1$. Với $x<1$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị, khớp với đáp án D (theo bảng đáp án mã đề 0101, câu 3 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Điểm cực trị là điểm mà tại đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua điểm đó. Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $x=-2$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ điểm cực tiểu.
- Tại $x=1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ điểm cực đại.
- Tại $x=2$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ điểm cực tiểu.

Cả ba điểm $x=-2$, $x=1$, $x=2$ đều là điểm mà $f^{\prime }(x)$ đổi dấu, nên hàm số có $3$ điểm cực trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: hàm số đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$, đồng biến trên $(2;3)$; $f(-1)=2$, $f(0)=4$, $f(2)=-5$, $f(3)=3$.

a) Đúng. Giá trị lớn nhất trên $[-1;3]$ là $\max \{2;4;-5;3\}=4$ tại $x=0$.

b) Sai. Hàm số chỉ xác định trên $[-1;3]$ nên không thể đồng biến trên khoảng $(-5;3)$; hơn nữa hàm còn nghịch biến trên $(0;2)$.

c) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$, tức có 2 điểm cực trị.

d) Đúng. $\max y=4$, $\min y=-5$, tổng bằng $4+(-5)=-1$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;3]$, giá trị lớn nhất là $\max \{f(-1)=2;f(0)=4;f(2)=-5;f(3)=3\}=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ cho trên $[-1;3]$ nên không xét được trên $(-5;3)$; ngoài ra hàm nghịch biến trên $(0;2)$ nên không đồng biến trên toàn khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ (cực tiểu), vậy hàm có 2 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\max y=4$, $\min y=-5$, nên tổng $=4+(-5)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2-3x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x-3=3(x^2-2x-1)$. Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2-2x-1=0$, theo Vi-et: $x_1+x_2=2$, $x_1{x}_2=-1$. Do đó $P=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=4-2(-1)=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1 Phần 3: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 7: hàm số bậc ba có điểm cực tiểu tại $x=0$ với tung độ $y=-2$ (đường cong đi xuống đạt đáy tại $-2$ rồi đi lên), và điểm cực đại tại $x=2$ với $y=2$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-2$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu; tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vì $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, cả ba điểm này đều là điểm cực trị. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2-3x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x-3=3(x^2-2x-1)$. Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2-2x-1=0$, theo Vi-ét: $x_1+x_2=2$, $x_1{x}_2=-1$. Khi đó $P=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=4-2(-1)=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1 Phần 3: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x) đổi dấu + thành − tại x=0 nên hàm đạt cực đại tại x=0 với f(0)=2; đổi dấu − thành + tại x=2 nên đạt cực tiểu tại x=2 với f(2)=−2. Hàm số là hàm bậc ba có f'(x)=x(x−2), suy ra f(x)=x³/3−x²+C; vì f(0)=2 nên C=2, kiểm tra f(2)=8/3−4+2=−2 đúng. Hai điểm cực trị là A(0;2) và B(2;−2). a) Giá trị cực đại bằng 2 → đúng. b) Hàm nghịch biến trên (0;2) nên không đồng biến trên (−∞;2) → sai. c) AB=√(2²+(−4)²)=√20=2√5 → đúng. d) Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc (−2−2)/(2−0)=−2, phương trình y=−2x+2, không phải y=−2x−2 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) đổi dấu từ + sang − tại x=0 và f(0)=2 nên giá trị cực đại bằng 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;2) hàm nghịch biến (f'<0), nên hàm không đồng biến trên khoảng (−∞;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (0;2) và (2;−2), khoảng cách √(4+16)=2√5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua (0;2) và (2;−2) có phương trình y=−2x+2, không phải y=−2x−2.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ nên $x=0$ (điểm cực đại) hoặc $x=2$ (điểm cực tiểu). Vậy $a=2$. Khi đó $b=2^3-3\cdot 2^2+m=m-4$. Theo đề $a+b=1$ nên $2+(m-4)=1\Rightarrow m-2=1\Rightarrow m=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ nên hàm đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị cực đại $f(-1)=3$; $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị cực tiểu $f(1)=-1$.
a) Hai điểm cực trị là $(-1;3)$ và $(1;-1)$, khoảng cách $=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → Sai.
b) Hàm đạt cực đại tại $x=-1$, không phải $x=1$ → Sai.
c) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: $3+(-1)=2$ → Đúng.
d) Trên $(-1;1)$ hàm nghịch biến ($f^{\prime }<0$), nên hàm không đồng biến trên $(-1;+\infty )$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $(-1;3)$ và $(1;-1)$ là $\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=-1$ (f' đổi dấu từ + sang −); tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại $3$, giá trị cực tiểu $-1$, tổng $3+(-1)=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ vì $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng đó, nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2+m-1$, có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=1>0$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$, nên $a=0$, $b=y(0)=m-1$. Theo đề $a+b=5\Rightarrow 0+(m-1)=5\Rightarrow m=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2-x+7}{x+1}=x-2+\frac{9}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. Tại $x=-4$: $y=-9$ (cực đại, trên khoảng $(-\infty ;-1)$); tại $x=2$: $y=3$ (cực tiểu). a) Tổng GTCD + GTCT $=-9+3=-6\ne 3$ → Sai. b) Phép chia đa thức cho tiệm cận xiên $y=x-2$, vậy $a=1$ → Đúng. c) Đồ thị chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-2$, không có tiệm cận ngang (vì bậc tử cao hơn bậc mẫu) → Sai. d) Trên khoảng $(-\infty ;-1)$, hàm số đạt GTCD $=-9$ tại $x=-4$, đồng thời đây là GTLN trên khoảng này → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) D, c) S, d) D.
a) (AI giải đề cho tôi)
GTCD $y(-4)=-9$, GTCT $y(2)=3$, tổng $=-6\ne 3$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-2+\frac{9}{x+1}$ nên TCX là $y=x-2$, $a=1$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có TCĐ $x=-1$ và TCX $y=x-2$; không có TCN → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}\ge 0$ với $x\le -4$ và $\le 0$ với $x\ge -4$, hàm đạt max $y(-4)=-9$ → Đúng.