Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$ (đều thuộc tập xác định). Theo Vi-ét, $x_1+x_2=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-2).

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 312: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng (SDDS).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+x^2+5x-5$, có $y^{\prime }=-3x^2+2x+5$. Giải $y^{\prime }=0$: $-3x^2+2x+5=0\iff x=-1$ hoặc $x=\frac{5}{3}$. Vì $a=-3<0$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn, tức $x=-1$. Tính $y(-1)=-(-1{)}^3+(-1{)}^2+5(-1)-5=1+1-5-5=-8$. Vậy điểm cực tiểu là $(-1;-8)$, trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Với $x<-1$: $y^{\prime }<0$; với $-1<x<1$: $y^{\prime }>0$; với $x>1$: $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$, $y(1)=-1+3+1=3$. Điểm cực đại là $(1;3)$, trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-2x^2+x+1$ là hàm đa thức bậc 3, xác định trên $\mathbb{R}$, nên đồ thị không có tiệm cận ngang → a) Sai. $y^{\prime }=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$; $y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1$. Với $x<\frac{1}{3}$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến); $\frac{1}{3}<x<1$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); $x>1$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Vậy hàm đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3}$ (d đúng) và nghịch biến trên $\left(\frac{1}{3};1\right)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$ (c đúng). Giá trị cực tiểu: $y(1)=1-2+1+1=1$ (b đúng). Kết quả SDDD khớp bảng đáp án mã đề 311.
a) Hàm đa thức bậc 3 xác định trên $\mathbb{R}$ nên đồ thị không có tiệm cận ngang.
b) Hàm đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu $y(1)=1-2+1+1=1$.
c) $y^{\prime }=(3x-1)(x-1)<0$ trên $\left(\frac{1}{3};1\right)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$.
d) $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=\frac{1}{3}$ nên hàm đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại; tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu; tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực tiểu (tại $x=0$). Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-3$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=3$ là điểm cực đại. Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực tiểu, khớp với đáp án D (mã đề 1001).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại tại $(-1;0)$ (tiếp xúc trục hoành) và điểm cực tiểu $(1;-4)$. Suy ra $f(x)=a(x+1{)}^2(x-2)$; vì $f(1)=-4$ nên $a\cdot 4\cdot (-1)=-4\Rightarrow a=1$, tức $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$.

a) Sai: hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ và đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nên trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến.

b) Đúng: $f(-5)=16\cdot (-7)=-112$, $f(-3)=4\cdot (-5)=-20$, nên $f(-5)<f(-3)$.

c) Sai: giá trị cực đại bằng $f(-1)=0$, không phải $-1$.

d) Sai: hai điểm cực trị là $(-1;0)$ và $(1;-4)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}|(-1)(-4)-0\cdot 1|=2\ne 4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$ vì $x=1$ là điểm cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$: $f(-5)=-112<-20=f(-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại là $f(-1)=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $O(-1;0)(1;-4)$ bằng $2$, không phải $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-2$, nên hàm số đạt cực đại tại $x_0=-2$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu f'(x): tại x=-1, f' đổi dấu từ - sang + nên x=-1 là điểm cực tiểu. Tại x=0, f' đổi dấu từ + sang - nên x=0 là điểm cực đại. Tại x=1, f' không xác định (||) nhưng f liên tục trên R và f' đổi dấu từ - sang + qua x=1, nên x=1 vẫn là điểm cực tiểu (điểm cực trị của hàm liên tục có thể là điểm mà đạo hàm không tồn tại). Tại x=2, f' bằng 0 nhưng không đổi dấu (+ trước và + sau) nên x=2 không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị: x=-1, x=0, x=1. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1203, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: trên $(-\infty ;-1)$ thì $f^{\prime }<0$, trên $(-1;0)$ thì $f^{\prime }>0$, trên $(0;1)$ thì $f^{\prime }<0$, trên $(1;2)$ thì $f^{\prime }>0$, trên $(2;+\infty )$ thì $f^{\prime }>0$. Xét từng điểm: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=0$ là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không xác định (ký hiệu $\Vert$) nhưng $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }=0$ nhưng dấu $f^{\prime }$ không đổi (dương cả hai bên) nên $x=2$ không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị: $x=-1$, $x=0$, $x=1$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 5: A).

Đáp án chính thức (bảng Hướng dẫn chấm, Đề 2): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn $+$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại, chọn đáp án D (khớp với đáp án nguồn: đề 2, câu 4 là D).

(AI giải đề cho tôi) Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$ (hàm phân thức có tiệm cận đứng $x=0$ và tiệm cận xiên): nhánh bên trái ($x<0$) đạt đỉnh (điểm cao nhất cục bộ) tại điểm có hoành độ $x=-1$, tung độ $y=-2$; nhánh bên phải đạt cực tiểu tại điểm $(1;2)$. Điểm cực đại của đồ thị là điểm thuộc đồ thị nên phải ghi dưới dạng tọa độ $M(-1;-2)$, không phải $x=-1$ (đây chỉ là hoành độ điểm cực đại). Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án của đề (bảng hướng dẫn chấm: Câu 3 - Đề 1 - A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn $+$) nên $x=2$ không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (hình p8_f2): đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$ nên $f(-2)=0$; hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=-1$; $f(0)=-3$; đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-5$.

a) Trên đoạn $[-2;0]$: hàm tăng từ $f(-2)=0$ đến $f(-1)=-1$ rồi giảm đến $f(0)=-3$. Giá trị nhỏ nhất là $f(0)=-3\ne -1$ → sai.

b) Hàm số tăng trên $(-\infty ;-1)$, giảm trên $(-1;1)$, tăng trên $(1;+\infty )$ → nghịch biến trên $(-1;1)$ → đúng.

c) Hai điểm cực trị là $x=-1$ (cực đại, $f(-1)=-1$) và $x=1$ (cực tiểu, $f(1)=-5$); cả hai giá trị cùng âm nên không trái dấu → sai.

d) Điểm cực tiểu của hàm số là $x=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ đồ thị, $f(-2)=0$ (đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$), hàm số tăng đến cực đại $f(-1)=-1$ rồi giảm đến $f(0)=-3$. Trên đoạn $[-2;0]$, giá trị nhỏ nhất là $f(0)=-3\ne -1$ nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ đồ thị, hàm số tăng trên $(-\infty ;-1)$, giảm trên $(-1;1)$ và tăng trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$, khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số có hai điểm cực trị: cực đại $f(-1)=-1$ và cực tiểu $f(1)=-5$. Cả hai giá trị cùng âm nên không trái dấu, khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị đạt điểm thấp nhất (cực tiểu) tại $x=1$ với $f(1)=-5$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $y=-1$, đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y=-5$.
a) Trên đoạn $[-2;0]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-1)=-1$ → đúng.
b) Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến → đúng.
c) Hàm số có hai điểm cực trị $x=-1$ và $x=1$ trái dấu → đúng.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số là $-5$, không phải $1$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2;0]$, max $f(x)=f(-1)=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi xuống trên khoảng $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có hai điểm cực trị $x=-1$ và $x=1$ trái dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu của hàm số là $-5$, không phải $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x-2{)}^2$. Vì $(x-2{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ chỉ phụ thuộc $x(x-1)$. Bảng dấu: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại; tại $x=1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu. Tại $x=2$: $f^{\prime }$ không đổi dấu (nghiệm bội 2) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 1020, câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $P(I)=15I-1,5I^2$ trên $[0;10]$. Ta có $P^{\prime }(I)=15-3I$. $P^{\prime }(I)=0\iff I=5$. Với $0\le I<5$ thì $P^{\prime }(I)>0$ nên hàm số tăng; với $5<I\le 10$ thì $P^{\prime }(I)<0$ nên hàm số giảm. Vậy công suất tăng trên $[0;5]$ và giảm trên $[5;10]$, suy ra $I_M=5$ (A). Kết quả khớp với đáp án đề 1020, câu 3 Phần III: 5.

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số: $f^{\prime }(x)$ mang dấu $+$ trên $(-\infty ;-3)$, $-$ trên $(-3;-2)$ và $(-2;-1)$, $+$ trên $(-1;+\infty )$; $f(x)$ đi từ $-\infty$ lên $-3$ tại $x=-3$, giảm đến $-\infty$ bên trái $x=-2$, từ $+\infty$ giảm đến $1$ tại $x=-1$ rồi tăng đến $+\infty$. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm $M(-3;-3)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho.