Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2-4x\ge 0\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 4$. Với $x\ne 0,4$: $y^{\prime }=\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x}}=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x}}$. Trên $(-\infty ;0)$: $x-2<0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến. Trên $(4;+\infty )$: $x-2>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến. Hàm không có đạo hàm tại $x=0$ và $x=4$, và đây là hai đầu mút của tập xác định (không phải điểm trong khoảng xác định), nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số không có cực trị → đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$; tức $f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=0$ (cực tiểu) và $x=2$ (cực đại).

Xét $g(x)=f\left(x^3\right)$: $g^{\prime }(x)=3x^2{f}^{\prime }\left(x^3\right)$. Vì $3x^2\ge 0$, dấu của $g^{\prime }$ chỉ đổi khi $f^{\prime }\left(x^3\right)$ đổi dấu, tức khi $x^3=0$ hoặc $x^3=2$, cho $x=0$ và $x=\sqrt[3]{2}$.

- Tại $x=0$: khi $x$ qua $0$, $x^3$ qua $0$ nên $f^{\prime }\left(x^3\right)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ $g$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
- Tại $x=\sqrt[3]{2}$: $x^3$ qua $2$ nên $f^{\prime }\left(x^3\right)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ $g$ đạt cực đại tại $x=\sqrt[3]{2}$.

Vậy $g(x)$ có 2 điểm cực trị. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2,2,5$ với dấu của $f^{\prime }$ lần lượt là $-|+|-|+$. Do đó $f$ đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=5$ (dấu $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$).

Xét $g(x)=f(3-2x)$: $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$. Khi đó $g^{\prime }(x)=0⟺3-2x\in \{-2;2;5\}⟺x=\frac{5}{2};\frac{1}{2};-1$.

Xét dấu $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$:
- Với $x<-1$: $3-2x>5\Rightarrow f^{\prime }>0\Rightarrow g^{\prime }<0$.
- Với $-1<x<\frac{1}{2}$: $2<3-2x<5\Rightarrow f^{\prime }<0\Rightarrow g^{\prime }>0$.
- Với $\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}$: $-2<3-2x<2\Rightarrow f^{\prime }>0\Rightarrow g^{\prime }<0$.
- Với $x>\frac{5}{2}$: $3-2x<-2\Rightarrow f^{\prime }<0\Rightarrow g^{\prime }>0$.

Vậy $g^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ và $x=\frac{5}{2}$: hàm số $g(x)$ có đúng $2$ điểm cực tiểu. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f(x)=\sqrt{3x-x^2}$ là $[0;3]$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}$.

a) Trên $(0;\frac{3}{2})$ ta có $3-2x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=\frac{3}{2}$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực ĐẠI (không phải cực tiểu) tại $x=\frac{3}{2}$. Sai.

c) Trên $(\frac{3}{2};3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến; do $(2;3)\subset (\frac{3}{2};3)$ nên hàm nghịch biến trên $(2;3)$. Đúng.

d) Điểm cực trị của đồ thị là $I(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$. Đường thẳng $d$ cắt hai tia $Ox,Oy$ tại $A(a;0),B(0;b)$ với $a,b>0$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $d$ qua $I$: $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}=1\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$. Diện tích $S=\frac{ab}{2}=\frac{1}{2uv}$ với $u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b},u+v=\frac{2}{3}$. $S$ nhỏ nhất khi $uv$ lớn nhất, tức $u=v=\frac{1}{3}\Rightarrow a=b=3$. Khi đó $d:x+y=3$ hay $y=-x+3$, nên $m=n=-1$, $3m-2n=-3+2=-1<0$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;\frac{3}{2})$, $f^{\prime }(x)=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}>0$ nên hàm đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=\frac{3}{2}$ nên hàm đạt cực đại, không phải cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(\frac{3}{2};3)$ có $f^{\prime }(x)<0$, mà $(2;3)\subset (\frac{3}{2};3)$ nên hàm nghịch biến trên $(2;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $I(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$ cắt hai tia tại $A(a;0),B(0;b)$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$; diện tích $\frac{ab}{2}$ nhỏ nhất khi $a=b=3$, khi đó $d:y=-x+3$, $3m-2n=-1<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(0;2)$, điểm cực tiểu $(2;-2)$, đồ thị đi qua $(1;0)$ và cắt trục tung tại $y=2$. Suy ra $d=2$, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với cực trị tại $x=0$ và $x=2$ nên $c=0$, $6a\cdot 2+2b=0\Rightarrow b=-3a$. Thay $f(1)=0$: $a+b+2=0\Rightarrow a-3a=-2\Rightarrow a=1,b=-3$. Vậy $y=x^3-3x^2+2$. Kiểm tra $f(2)=8-12+2=-2$ đúng. a) Điểm cực đại là $(0;2)$ chứ không phải $(2;0)$ → Sai. b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)>0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm đồng biến → Đúng. c) $c=0$ → Đúng. d) $f(4)=64-48+2=18\ne 10$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại của đồ thị là $(0;2)$, không phải $(2;0)$ (điểm $(2;-2)$ là điểm cực tiểu).
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-3x^2+2$, ta có $f^{\prime }(x)=3x(x-2)>0$ với mọi $x<0$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=0$ nên $f^{\prime }(0)=c=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-3x^2+2$, ta có $f(4)=64-48+2=18\ne 10$, nên đồ thị không đi qua $(4;10)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(3-2x)+2025$ nên $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$.

a) Với $x\in \left(-\frac{5}{2};-1\right)$ thì $t=3-2x\in (5;8)$, tại đó $f^{\prime }(t)>0$ nên $g^{\prime }(x)<0$: hàm nghịch biến. Đúng.

b) Với $x\in (1;2)$ thì $t=3-2x\in (-1;1)$, tại đó $f^{\prime }(t)>0$ nên $g^{\prime }(x)<0$: hàm nghịch biến trên $(1;2)$, không đồng biến. Sai.

c) $g^{\prime }(x)=0\iff 3-2x\in \{-1;1;5\}\iff x\in \{2;1;-1\}$. Tại mỗi điểm, $f^{\prime }$ đổi dấu nên $g^{\prime }$ đổi dấu: $x=-1$ và $x=2$ là điểm cực tiểu, $x=1$ là điểm cực đại. Vậy $g$ có 3 điểm cực trị. Đúng.

d) Theo c), hàm có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại, không phải 1 điểm cực tiểu. Sai.
a) Với $x\in \left(-\frac{5}{2};-1\right)$ thì $t=3-2x\in (5;8)$, tại đó $f^{\prime }(t)>0$, nên $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)<0$: hàm nghịch biến. Đúng.
b) Với $x\in (1;2)$ thì $t=3-2x\in (-1;1)$, và theo bảng xét dấu ta có $f^{\prime }(t)>0$ trên $(-1;1)$. Do đó $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)<0$ với mọi $x\in (1;2)$, tức hàm nghịch biến trên khoảng này chứ không đồng biến. Sai.
c) $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(3-2x)=0\iff 3-2x\in \{-1;1;5\}\iff x\in \{2;1;-1\}$. Tại mỗi điểm này $f^{\prime }$ đổi dấu nên $g^{\prime }$ đổi dấu: tại $x=-1$ ($t=5$) $g^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=1$ ($t=1$) $g^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=2$ ($t=-1$) $g^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Vậy $g$ có 3 điểm cực trị. Đúng.
d) Theo ý c), hàm có 2 điểm cực tiểu ($x=-1$ và $x=2$) và 1 điểm cực đại ($x=1$), không phải 1 điểm cực tiểu. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có cực đại tại $(-2;0)$ (tiếp xúc trục hoành) và cực tiểu tại $(0;-4)$, cắt trục hoành tại $x=1$. Suy ra $f^{\prime }(x)=a(x+2{)}^2(x-1)$; vì $f^{\prime }(0)=4a(-1)=-4\Rightarrow a=1$, tức $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$.

a) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-2$ (nghiệm kép) hoặc $x=1$. Vì $(x+2{)}^2\ge 0$, ta có $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x<1$, $x\ne -2$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$. Dấu của $f^{\prime }$ không đổi khi qua $x=-2$, chỉ đổi dấu khi qua $x=1$. Vậy $f$ chỉ có một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$) → sai.

b) Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến → sai.

c) Vì $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ nên $f(2)<f(4)$, do đó $f(2)-f(4)<0$ → sai.

d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+2{)}^2(x-1)-x+1=(x-1)[(x+2{)}^2-1]=(x-1)(x+1)(x+3)$. Trên khoảng $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x-1<0$, $x+1<0$, $x+3>0$ nên $g^{\prime }(x)>0$. Vậy $g$ đồng biến trên khoảng đó → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(x+2)^2(x-1) không đổi dấu qua x=-2 (nghiệm kép), chỉ đổi dấu qua x=1, nên f chỉ có một điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;-2) có f'(x)<0 nên f nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên (1;+∞) nên f(2)<f(4), suy ra f(2)-f(4)<0.
d) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=(x-1)(x+1)(x+3)>0 trên (-5/2;-3/2) nên g đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $f^{\prime }(x)=x^2-4$ (parabol hướng lên, cắt trục hoành tại $x=\pm 2$, $f^{\prime }(0)=-4$). Dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<2$.

a) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ (từ + sang −) và tại $x=2$ (từ − sang +), nên $f$ có hai điểm cực trị. Đúng.

b) Trên $(-\infty ,-2)$: $f^{\prime }>0$; trên $(-2,2)$: $f^{\prime }<0$, nên $f$ đạt cực đại tại $x=-2$. Đúng.

c) $y=f(2x+4)\Rightarrow y^{\prime }=2f^{\prime }(2x+4)$. $y^{\prime }=0\iff 2x+4=\pm 2\iff x=-3$ hoặc $x=-1$. Cực đại khi $2x+4=-2\iff x=-3$ (vì khi đó $f^{\prime }$ đổi dấu + sang −). Tại $x=0$: $2x+4=4$, $f^{\prime }(4)>0$ nên không cực trị. Sai.

d) $y=f(x^2-2)\Rightarrow y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x^2-2=\pm 2\iff x=\pm 2$. Xét dấu: với $|x|>2$ thì $x^2-2>2$ nên $f^{\prime }>0$, $y^{\prime }$ cùng dấu $x$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$; với $0<|x|<2$ thì $f^{\prime }<0$: $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<0$... cụ thể: $x<-2$: $y^{\prime }>0$; $-2<x<0$: $2x<0$, $f^{\prime }<0$ nên $y^{\prime }>0$? Kiểm tra lại: với $-2<x<0$, $x^2\in (0,4)$, $x^2-2\in (-2,2)$, $f^{\prime }<0$, $2x<0$ nên $y^{\prime }>0$. Với $0<x<2$: $2x>0$, $f^{\prime }<0$ nên $y^{\prime }<0$. Vậy: $x<-2$: $y^{\prime }>0$; $-2<x<0$: $y^{\prime }>0$ — tại $x=-2$ không đổi dấu? Xét kỹ hơn: với $x<-2$, $x^2-2>2$, $f^{\prime }>0$, $2x<0$ nên $y^{\prime }<0$. Sửa: $x<-2$: $y^{\prime }<0$; $-2<x<0$: $y^{\prime }>0$ (đổi dấu − sang +: cực tiểu tại $x=-2$); $0<x<2$: $y^{\prime }<0$ (đổi dấu + sang −: cực đại tại $x=0$); $x>2$: $y^{\prime }>0$ (đổi dấu − sang +: cực tiểu tại $x=2$). Vậy hàm số có ba điểm cực trị: $x=-2,0,2$. Đúng.

Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2-4$ đổi dấu tại $x=-2$ (từ + sang −) và $x=2$ (từ − sang +), nên $f$ có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ,-2)$ và $f^{\prime }<0$ trên $(-2,2)$, nên $f$ đạt cực đại tại $x=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2f^{\prime }(2x+4)=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$; cực đại tại $x=-3$ (khi $2x+4=-2$). Tại $x=0$ thì $2x+4=4$, $f^{\prime }(4)>0$, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2-2)=0$ tại $x=0,\pm 2$. Dấu của $y^{\prime }$: âm với $x<-2$, dương với $-2<x<0$, âm với $0<x<2$, dương với $x>2$. Vậy có ba điểm cực trị: cực tiểu tại $x=\pm 2$, cực đại tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f$ có 5 điểm cực trị tại các hoành độ $t\approx -2$ (cực tiểu), $t=-1$ (cực đại), $t\approx 0$ (cực tiểu), $t=1$ (cực đại), $t\approx 2$ (cực tiểu). Xét $y=f(-|x|+1)$, đặt $t=-|x|+1\le 1$. Với $x>0$: $t=1-x$ giảm từ $1$ đến $-\infty$; với $x<0$: $t=1+x$ tăng từ $-\infty$ đến $1$; tại $x=0$ thì $t=1$. Mỗi điểm cực trị $t_0<1$ của $f$ cho hai điểm cực trị $x=\pm (1-t_0)$ của hàm hợp: với $t_0\approx -2,-1,0$ ta được 6 điểm cực trị $x=\pm 3,\pm 2,\pm 1$. Riêng $t=1$ (cực đại của $f$) ứng với $x=0$: với $x<0$ thì $t$ tăng và $f$ tăng theo $t$ nên hàm hợp tăng; với $x>0$ thì $t$ giảm và $f$ giảm theo $t$ nên hàm hợp vẫn tăng; do đó hàm hợp tăng trên cả hai bên của $x=0$, $x=0$ không là điểm cực trị. Vậy tổng số điểm cực trị là 6.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2-9x$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$ — đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$, hai giá trị trái dấu nên đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung — đúng.
c) Trên $[0;5]$: $f(0)=0$, $f(3)=27-27-27=-27$, $f(5)=125-75-45=5$. Vậy GTLN bằng $5$, không phải $-5$ — sai.
d) Điểm cực trị: $(-1;f(-1))=(-1;5)$ và $(3;f(3))=(3;-27)$. Hệ số góc $k=\frac{-27-5}{3-(-1)}=\frac{-32}{4}=-8$ — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $x^3-3x^2-9x$ là $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$, hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu nên nằm về hai phía của trục tung.
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(0)=0$, $f(3)=-27$, $f(5)=5$: GTLN trên $[0;5]$ bằng $5$, không phải $-5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(-1;5)$ và $(3;-27)$, nên $k=\frac{-27-5}{3+1}=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$ (parabol cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=2$ và $x=5$): $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;5)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)\cup (5;+\infty )$.
a) Trên $(-2;2)$ đồ thị $f^{\prime }$ nằm trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$: ĐÚNG.
b) Trên $(2;+\infty )$: $f$ giảm trên $(2;5)$ và tăng trên $(5;+\infty )$ nên $\underset{(2;+\infty )}{\mathrm{Min}}f(x)=f(5)$, không phải $f(4)$: SAI.
c) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$, $x=2$, $x=5$ nên $f$ có 3 điểm cực trị: ĐÚNG.
d) $(f(2-x){)}^{\prime }=-f^{\prime }(2-x)$. Hàm nghịch biến khi $-f^{\prime }(2-x)<0\iff f^{\prime }(2-x)>0\iff 2-x\in (-2;2)\iff x\in (0;4)$: ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-2;2)$ đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (-2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;5)$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(5;+\infty )$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=5$: $\underset{(2;+\infty )}{\mathrm{Min}}f(x)=f(5)\ne f(4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=-2$, $x=2$, $x=5$, nên $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(f(2-x){)}^{\prime }=-f^{\prime }(2-x)$. Hàm nghịch biến khi $f^{\prime }(2-x)>0\iff 2-x\in (-2;2)\iff x\in (0;4)$, đúng như khẳng định.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{3000}{1+3e^{-t}}$. Tốc độ bán hàng là $f^{\prime }(t)=\frac{9000e^{-t}}{(1+3e^{-t}{)}^2}$. Xét $g(t)=f^{\prime }(t)$, ta có $g^{\prime }(t)=9000\cdot \frac{-e^{-t}(1+3e^{-t})+3e^{-2t}}{(1+3e^{-t}{)}^3}=\frac{9000e^{-t}(3e^{-t}-1)}{(1+3e^{-t}{)}^3}$. Vậy $g^{\prime }(t)=0\iff 3e^{-t}=1\iff t=\ln 3$. Với $0\le t<\ln 3$ thì $g^{\prime }(t)>0$, với $t>\ln 3$ thì $g^{\prime }(t)<0$, nên $f^{\prime }(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\ln 3\approx 1,0986$. Làm tròn đến hàng phần mười: $1,1$ năm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ có dạng parabol với điểm cực tiểu tại $x=1$, $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }(-1)=4$, $f^{\prime }(0)=2$, nên $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)=0$ chỉ tại $x=1$ (nghiệm kép). Xét $g(x)=f(x)-x$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1$. Phương trình $f^{\prime }(x)=1$ có hai nghiệm: một nghiệm $a<-1$ (trên nhánh trái của parabol) và một nghiệm $b>1$ (trên nhánh phải), vì giá trị nhỏ nhất của $f^{\prime }$ bằng $0<1$. Dấu của $g^{\prime }(x)$: với $x<a$ thì $f^{\prime }(x)<1$ nên $g^{\prime }<0$; với $a<x<b$ thì $f^{\prime }(x)>1$ nên $g^{\prime }>0$; với $x>b$ thì $f^{\prime }(x)<1$ nên $g^{\prime }<0$. Vậy $g$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=a$ (cực tiểu) và từ dương sang âm tại $x=b$ (cực đại). Hàm số $g$ có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
y' = 3ax^2 + 2bx + c có hai nghiệm phân biệt x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2). Hàm số đồng biến trên (x1; x2) nên a > 0. Theo Viète: x1 + x2 = -2b/(3a) ∈ (0; 2) nên -2b/(3a) > 0, vì a > 0 suy ra b < 0. Tích x1·x2 = c/(3a) < 0 (vì x1 < 0 < x2), với a > 0 suy ra c < 0. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nghĩa là d < 0, nhưng d không thuộc các số a, b, c. Vậy trong các số a, b, c có đúng 2 số âm (b và c).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{2x(x+13)+18}{x+13}=2x+\frac{18}{x+13}$ với $x\ne -13$. Ta có $f^{\prime }(x)=2-\frac{18}{(x+13{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow (x+13{)}^2=9\Rightarrow x=-10$ hoặc $x=-16$. Xét dấu $f^{\prime }$: $f^{\prime }>0$ khi $x<-16$ hoặc $x>-10$; $f^{\prime }<0$ khi $-16<x<-10$ (trừ $x=-13$). Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-16$ nên hàm đạt cực đại tại $x_2=-16$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-10$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x_1=-10$. Do đó $P=-2x_1+x_2=-2(-10)+(-16)=20-16=4$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(6x-2)(x-2)-(3x^2-2x+4)}{(x-2{)}^2}=\frac{3x^2-12x}{(x-2{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=4$ (đều thuộc TXĐ $x\ne 2$). $y(0)=-2$, $y(4)=\frac{48-8+4}{2}=22$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $(0;-2)$ và $(4;22)$: $\sqrt{4^2+24^2}=\sqrt{592}=4\sqrt{37}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y=f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ âm: đi từ $+\infty$ khi $x\to -\infty$, cắt trục hoành tại $x=-1$, đạt cực tiểu bằng $-3$ (tại hoành độ khoảng $x\approx -0,5$), cắt trục tung tại $f^{\prime }(0)\approx -2$, đạt cực đại bằng $2$ tại $x=1$, cắt trục hoành tại $x=3$ rồi đi xuống $-\infty$.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+x^2-2x+2=f^{\prime }(x)+(x-1{)}^2+1$.
Xét dấu của $g^{\prime }$:
- Với $x\le 3$: trên đoạn $[-1;3]$, giá trị nhỏ nhất của $f^{\prime }$ là $-3$ (tại $x\approx -0,5$), trong khi $(x-1{)}^2+1\approx 3,25$ tại đó, nên $g^{\prime }>0$. Tại $x=-1$: $g^{\prime }=0+5=5>0$; tại $x=0$: $g^{\prime }\approx -2+2=0$; tại $x=1$: $g^{\prime }=2+1=3>0$; tại $x=3$: $g^{\prime }=0+5=5>0$. Như vậy trên $(-\infty ;3]$ thì $g^{\prime }(x)\ge 0$ (nếu $g^{\prime }(0)=0$ thì $g^{\prime }$ chỉ tiếp xúc với trục hoành, không đổi dấu vì $g^{\prime }>0$ hai bên).
- Với $x>3$: $f^{\prime }(x)<0$ và giảm về $-\infty$ theo cấp bậc ba, nhanh hơn mức tăng cấp bậc hai của $(x-1{)}^2+1$, nên $g^{\prime }(x)\to -\infty$. Vì $g^{\prime }(3)=5>0$, theo định lý giá trị trung gian $g^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm đúng một lần tại điểm $x_0>3$.
Vậy $g^{\prime }(x)$ dương trên $(-\infty ;x_0)$ (trừ có thể tiếp xúc tại $x=0$) và âm trên $(x_0;+\infty )$: $g$ có đúng $1$ điểm cực trị (cực đại tại $x_0$). Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu I.1)** Xét $y=|x^2-2x-3|+2x$, với $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.

- Với $x<-1$ hoặc $x>3$: $y=x^2-2x-3+2x=x^2-3$, có $y^{\prime }=2x=0\Rightarrow x=0$ (không thuộc miền này, loại). Trên hai miền này hàm đồng biến nên không có cực trị.
- Với $-1\le x\le 3$: $y=-x^2+2x+3+2x=-x^2+4x+3$, có $y^{\prime }=-2x+4=0\Rightarrow x=2$, $y(2)=7$. Vì $y^{\prime \prime }=-2<0$ nên $x=2$ là điểm cực đại.

Tại các điểm gãy:
- Tại $x=-1$: đạo hàm trái $y^{\prime }=2x=-2<0$, đạo hàm phải $y^{\prime }=-2x+4=6>0$ → hàm đổi chiều biến thiên từ giảm sang tăng → $x=-1$ là điểm cực tiểu ($y=-2$).
- Tại $x=3$: đạo hàm trái $y^{\prime }=-2x+4=-2<0$, đạo hàm phải $y^{\prime }=2x=6>0$ → $x=3$ là điểm cực tiểu ($y=6$).

Vậy hàm số có **3 điểm cực trị**: cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=2$, cực tiểu tại $x=3$.

**Câu I.2)** Gọi số tiền gửi kì hạn thứ $k$ là $a_k=9+k$ (triệu đồng), $k=1,\dots ,12$ (tức $10,11,\dots ,21$). Lãi suất $4,5\%$/tháng theo lãi kép, hệ số nhân $r=1,045$.

Khoản gửi ở kì hạn thứ $k$ sinh lãi trong $(13-k)$ tháng, nên cuối kì hạn thứ 12 tổng số tiền nhận được:
$$S=\sum _{k=1}^{12}(9+k)\cdot 1,045^{13-k}=\sum _{j=1}^{12}(22-j)\cdot 1,045^j=22\sum _{j=1}^{12}{r}^j-\sum _{j=1}^{12}j{r}^j.$$

Tính với $r=1,045$: $r^{12}\approx 1,695881$, $r^{13}\approx 1,772196$.

- ${\sum }_{j=1}^{12}{r}^j=\frac{r(r^{12}-1)}{r-1}=\frac{1,045\cdot 0,695881}{0,045}\approx 16,15990$.
- ${\sum }_{j=1}^{12}j{r}^j=\frac{r\left(1-13r^{12}+12r^{13}\right)}{(1-r{)}^2}=\frac{1,045\cdot (1-22,046453+21,266352)}{0,002025}\approx \frac{1,045\cdot 0,219899}{0,002025}\approx 113,4814$.

Suy ra $S\approx 22\cdot 16,15990-113,4814\approx 355,518-113,481\approx 242,04$ triệu đồng.

Vậy cuối kì hạn thứ 12 người đó nhận được tổng cộng khoảng **242 triệu đồng** (làm tròn đến hàng đơn vị).