Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

c) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$.
Từ $f(1)=0$ và $f^{\prime }(1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}b+c=-3\\ 2b+c=-3\end{array}\iff b=0,c=-3\Rightarrow f(x)=x^3-3x+2$.
a) Đúng: $f(2)=8-6+2=4$ nên đồ thị đi qua $I(2;4)$.
b) Sai: Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;0)$ và $(-1;4)$ là $2x+y-2=0\Rightarrow d(O,d)=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
d) Sai: Hai điểm cực trị là $A(1;0),B(-1;4)\Rightarrow AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.

Chọn D.
Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và giá trị cực tiểu của hàm số bằng $y_{CT}=3$.

Chọn B.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-3$ (từ âm sang dương) và khi qua $x=2$ (từ dương sang âm).
Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu dương).
Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn D.
Ta có $F^{\prime }(x)=f(x)=2021^x(x-3)(x+3)(x-1)(x-3)=2021^x(x-3{)}^2(x+3)(x-1)$.
Phương trình $F^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm thực là $x=3,x=-3,x=1$.
Vì $x=3$ là nghiệm bội chẵn (bội 2) nên $F^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=3$.
Tại $x=-3$ và $x=1$, $F^{\prime }(x)$ là các nghiệm đơn nên đổi dấu.
Vậy hàm số $F(x)$ có đúng 2 điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=0$, do đó hàm số có 1 điểm cực đại là $x=0$.
Chọn A.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm đơn/bội lẻ là $x=0,x=1$ và $x=2$ (bội 3). Qua cả 3 nghiệm này $f^{\prime }(x)$ đều đổi dấu, do đó hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn C.

Phương pháp: Điểm cực trị là điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua điểm đó.
Cách giải: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua các điểm $x=-2,x=1,x=6$. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn A.

Phương pháp: Tính đạo hàm $f^{\prime }(x)$ và tìm các nghiệm bội lẻ của phương trình $f^{\prime }(x)=0$.
Cách giải: $f^{\prime }(x)=4x^3(x-1{)}^2+2x^4(x-1)=2x^3(x-1)[2(x-1)+x]=2x^3(x-1)(3x-2)$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm đơn $x=0,x=\frac{2}{3},x=1$. Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn A.

Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm $x=2$, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=2$.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm là $x=0$ (nghiệm bội chẵn, bậc 2), $x=3$ (nghiệm đơn), $x=2$ (nghiệm bội lẻ, bậc 3).
Do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=2$ và $x=3$, nên hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Chọn B.
Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-21$. Cho $y^{\prime }=0\iff x^2+2x-7=0$.
Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2=-2$ và $x_1{x}_2=-7$.
Suy ra:
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=(-2{)}^2-2(-7)=4+14=18.$$

Chọn B.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-2020)-4$.
Cho $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x-2020)=4$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(t)$, đường thẳng $y=4$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ $t=-1$ và cắt đồ thị tại một điểm $t=t_0>1$.
- Tại điểm tiếp xúc $t=-1$, $f^{\prime }(t)\le 4$ ở cả hai phía lân cận nên $g^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
- Tại điểm cắt $t=t_0$, $f^{\prime }(t)$ tăng và cắt qua đường thẳng $y=4$, làm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương.
Do đó hàm số $g(x)$ chỉ có đúng 1 điểm cực tiểu (tại $x=2020+t_0$).

Chọn A.
Cộng hằng số $m^{2020}$ không làm thay đổi số điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Số điểm cực trị của hàm số $y=|g(x)|$ bằng số điểm cực trị của $g(x)$ cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $g(x)=0$.
Xét hàm số $g(x)=f(|x-1|)-n$:
- Hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị là $x=-1$ và $x=3$. Trong đó có 1 điểm cực trị dương là $x=3$.
Do đó hàm số $f(|x|)$ có $2\times 1+1=3$ điểm cực trị, tịnh tiến sang phải 1 đơn vị ta được hàm số $f(|x-1|)$ có 3 điểm cực trị.
- Xét phương trình $f(|x-1|)=n$ với $2<n<3$:
Vì $f_{CT}=1<n<f_{CD}=5$ nên đường thẳng $y=n$ cắt đồ thị $y=f(t)$ tại 3 điểm phân biệt $t_1<-1<0<1<t_2<3<t_3$.
(Do điểm uốn của đồ thị $f(x)$ tại $x=1$ có tung độ $y=3>n$, nên nghiệm nằm giữa $-1$ và $3$ là $t_2>1>0$).
Khi giải $|x-1|=t$:
+ $t=t_1<0$: phương trình vô nghiệm.
+ $t=t_2>0$: phương trình $|x-1|=t_2$ có 2 nghiệm phân biệt.
+ $t=t_3>0$: phương trình $|x-1|=t_3$ có 2 nghiệm phân biệt.
Tổng cộng phương trình $f(|x-1|)-n=0$ có 4 nghiệm phân biệt (đều là nghiệm đơn, không trùng với điểm cực trị).
Vậy tổng số điểm cực trị của hàm số là $3+4=7$ điểm cực trị.

Trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, hàm số $y=f(x)$ liên tục tại $x=-1,4,5,6$ (không xác định tại $x=1$), và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $3$ điểm $x=-1$, $x=4$ và $x=5$. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị.

Ta có $u(x)=|2x-1|+2\ge 2$. Tại $x=\frac{1}{2}$ thì $u\left(\frac{1}{2}\right)=2$, mà hàm số $f(u)$ không xác định tại $u=2$ nên $g(x)$ không xác định tại $x=\frac{1}{2}$. Với $x\ne \frac{1}{2}$ thì $u(x)>2$; trên khoảng $(2;+\infty )$ hàm số $f(u)$ chỉ có duy nhất $1$ điểm cực trị tại $u=4$. Phương trình $|2x-1|+2=4⟺|2x-1|=2$ có $2$ nghiệm phân biệt $x=\frac{3}{2}$ và $x=-\frac{1}{2}$, tại đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu. Vậy hàm số $g(x)$ có đúng $2$ điểm cực trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=4x^3{f}^{\prime }(x^4)-6x^2=4x^2\left[x{f}^{\prime }(x^4)-\frac{3}{2}\right]$. Tại $x=0$, $g^{\prime }(x)$ không đổi dấu. Với $x\ne 0$, $g^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(x^4)=\frac{3}{2x}$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ đi qua $\left(1;\frac{3}{2}\right),(3;-2),(4;0)$, đường cong $y=\frac{3}{2x}$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x^4)$ tại các nghiệm đơn sao cho đạo hàm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $4$ điểm. Vậy hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực tiểu.

Hàm số chẵn $y=f(|x|)$ có đúng $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $f(x)$ có đúng $1$ điểm cực trị dương. Ta có $f^{\prime }(x)=3(m-2)x^2+2x-(m+1)$. Với $m=2$, $f^{\prime }(x)=2x-3$ có $1$ nghiệm dương $x=\frac{3}{2}$ (thỏa mãn). Với $m\ne 2$, $f^{\prime }(x)=0$ có đúng $1$ nghiệm dương đơn khi tích hai nghiệm $P=-\frac{m+1}{3(m-2)}<0⟺m\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )$, hoặc có một nghiệm bằng $0$ và nghiệm kia dương: tại $m=-1$, $f^{\prime }(x)=-9x^2+2x=0$ có nghiệm $x=\frac{2}{9}>0$ (thỏa mãn). Vậy $m\in (-\infty ;-1]\cup [2;+\infty )$. Trong khoảng $(-20;20)$ ta loại $m\in \{0;1\}$, còn lại $39-2=37$ giá trị nguyên.

Do $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=1$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+(m^2-4)$ và $y^{\prime \prime }=2x-2m$. Hàm số đạt cực đại tại $x=3$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(3)=0\\ y^{\prime \prime }(3)<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-6m+5=0\\ 6-2m<0\end{array}\iff m=5$.

Hàm số $f(x)=x^3-(2m+1)x^2+mx+m$ luôn có $2$ điểm cực trị. Để đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có $5$ điểm cực trị thì phương trình $f(x)=(x-1)(x^2-2mx-m)=0$ phải có $3$ nghiệm phân biệt, tức $x^2-2mx-m=0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1\iff \{\begin{array}{l}{m}^2+m>0\\ 1-3m\ne 0\end{array}\iff m<-1$ hoặc $m>0$ $(m\ne \frac{1}{3})$. Với $m\in \mathbb{Z}\cap [-2021;2021]$ ta có $X=\{\pm 2021;\pm 2020;\dots ;\pm 2;1\}$, nên tổng các phần tử của $X$ bằng $1$.