Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$ (với giá trị cực đại bằng 4).

Chọn B.
Xét hàm số $g(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m^2$.
$g^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=0\iff x=0,x=-1,x=2$.
Hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị với các giá trị cực trị là $g(0)=m^2,g(-1)=m^2-5,g(2)=m^2-32$.
Hàm số $y=|g(x)|$ có đúng 5 điểm cực trị khi phương trình $g(x)=0$ có 2 nghiệm đơn phân biệt, tức là đồ thị $g(x)$ cắt trục hoành tại 2 điểm, dẫn đến số giá trị nguyên của $m$ là 10.

Chọn A.
Ta có $g^{\prime }(x)=(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x)=2(x-1)f^{\prime }(x^2-2x)$.
Giải phương trình $g^{\prime }(x)=0$ và xét dấu, hàm số $g(x)$ có tất cả 7 điểm cực trị.

Chọn B.
Hàm số $y=f(|x|)$ có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị và có đúng 1 điểm cực trị dương (tức là $x_1\le 0<x_2$).
Điều kiện đưa đến phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
Giải các điều kiện ta tìm được 5 giá trị nguyên của tham số $m$.

Chọn D.
Ta có $g(x)=2f(x+2)+x^2+4x+3$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x+2)+2x+4=2[f^{\prime }(x+2)+(x+2)]$.
Phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x+2)=-(x+2)$.
Từ đồ thị hàm số, đường thẳng $y=-u$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(u)$ tại các điểm xác định.
Lập bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$, suy ra hàm số có đúng một điểm cực tiểu.

Ta có $y^{\prime }=4x^3+2bx=2x(2x^2+b)$.
$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x^2& =-\frac{b}{2}\end{array}$
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có 3 nghiệm phân biệt, tức là $-\frac{b}{2}>0\iff b<0$.
Chọn C.

Quan sát bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua các điểm $x=0$ và $x=2$.
Do đó số điểm cực tiểu của hàm số $y=f(x)$ là 2.
Chọn D.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=6x^2-6x=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x& =1\end{array}$
Qua $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=0$ là điểm cực đại của hàm số.
Với $x=0\Rightarrow y=-1$.
Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(0;-1)$.
Chọn B.

- Trường hợp 1: $m=0\Rightarrow y=-3x^2-5$. Đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới, chỉ có điểm cực đại, không có cực tiểu (loại).
- Trường hợp 2: $m\ne 0$. Hàm số trùng phương chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi hệ số $a>0$ và $b\ge 0$:
$\{\begin{array}{l}m>0\\ m-3\ge 0\end{array}\iff m\ge 3$.
Vậy $m\ge 3$.
Chọn D.

Xét hàm số $f(x)=x^3+m{x}^2+nx-1$. Ta có:
- $f(0)=-1<0$.
- $f(1)=1+m+n-1=m+n>0$.
- $f(2)=8+4m+2n-1=7+2(2m+n)<0$.
- ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
Vì $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và:
$f(0)\cdot f(1)<0\Rightarrow f(x)=0$ có nghiệm $x_1\in (0;1)$;
$f(1)\cdot f(2)<0\Rightarrow f(x)=0$ có nghiệm $x_2\in (1;2)$;
$f(2)<0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty \Rightarrow f(x)=0$ có nghiệm $x_3\in (2;+\infty )$.
Vì $f(x)$ là đa thức bậc ba nên $f(x)=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt dương: $0<x_1<x_2<x_3$.
Do đó đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt phần dương của trục hoành tại 3 điểm phân biệt và có 2 điểm cực trị đều có hoành độ dương ($x_{cd}\in (x_1;x_2)$ và $x_{ct}\in (x_2;x_3)$).



Xét hàm số $y=f(|x|)$:
Đồ thị là hàm số chẵn, nhận trục tung làm trục đối xứng. Vì $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị dương nên $y=f(|x|)$ có $2\times 2+1=5$ điểm cực trị.
Đồng thời đồ thị $y=f(|x|)$ cắt trục hoành tại $2\times 3=6$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua $Oy$.



Xét hàm số $y=|f(|x|)|$:
Đồ thị thu được bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục hoành của đồ thị $y=f(|x|)$ và lấy đối xứng phần phía dưới qua trục hoành.
Tại mỗi giao điểm với trục hoành (có 6 giao điểm đơn), đồ thị tạo thành 1 điểm cực trị.
Cùng với 5 điểm cực trị ban đầu của $y=f(|x|)$, tổng số điểm cực trị của hàm số $y=|f(|x|)|$ là $5+6=11$ điểm cực trị.
Chọn C.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên, hàm số có điểm cực đại tại $x=x_1$ và điểm cực tiểu tại $x=x_3$. Tại $x=x_2$ hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Chọn D.
Ta có $G^{\prime }(x)=6x^{5}f(x^6)-3x^2=3x^2[2x^{3}f(x^6)-1]$.
$x=0$ là nghiệm bội chẵn. Với $x<0$ thì $2x^{3}f(x^6)-1<0$ (vô nghiệm). Với $x>0$, đặt $t=x^3>0$, phương trình $f(t^2)=\frac{1}{2t}$ có 3 nghiệm phân biệt đổi dấu. Vậy hàm số có đúng 3 điểm cực trị.

Chọn B.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
- Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, giá trị cực đại bằng $5$.
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, giá trị cực tiểu bằng $-6$.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ là mệnh đề đúng.

Chọn C.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff x^{2021}(x-1{)}^{2020}(x+1)=0$ có 3 nghiệm:
- $x=0$: nghiệm bội lẻ (bội 2021), do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=0$.
- $x=1$: nghiệm bội chẵn (bội 2020), do đó $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=1$.
- $x=-1$: nghiệm bội lẻ (bội 1), do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-1$.
Vậy hàm số đã cho có đúng 2 điểm cực trị.

Chọn C.
Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x+m$.
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt:
${\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-3m=9-3m>0\iff m<3$.
Theo định lý Vi-ét:
$\{<table><tbody><tr><td>x_1+x_2=2</td></tr><tr><td>x_1{x}_2=\frac{m}{3}</td></tr></tbody></table>$
Theo giả thiết:
$x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=10\iff (x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2=10\iff 2^2-3\cdot \frac{m}{3}=10\iff 4-m=10\iff m=-6$.
Giá trị $m=-6$ thỏa mãn điều kiện $m<3$.
Do đó $m_0=-6\in (-7;-1)$.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị cực đại $y=2$).

Ta có $y=x-3+\frac{1}{x+1}\Rightarrow y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Hai điểm cực trị là $A(0;-2)$ và $B(-2;-6)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$, $\overrightarrow{AM}=(1;-1)\Rightarrow S_{△MAB}=\frac{1}{2}|(-2)(-1)-(-4)(1)|=3$.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$.
Chọn B.

Căn cứ vào bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua các điểm $x=-1$ và $x=1$.
Do đó hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.
Chọn B.

Ta có $g^{\prime }(x)=2(x-2)f^{\prime }(x^2-4x+3)-6(x-2)+2(x-2{)}^3$
$=2(x-2)[f^{\prime }(x^2-4x+3)+(x-2{)}^2-3]=2(x-2)[f^{\prime }(x^2-4x+3)+x^2-4x+1]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =2\\ f^{\prime }(x^2-4x+3)& =2-(x^2-4x+3)\end{array}$



Đặt $t=x^2-4x+3$, phương trình trở thành $f^{\prime }(t)=2-t$.
Từ đồ thị, đường thẳng $y=2-t$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ tại 4 điểm phân biệt có hoành độ $t\in \{-2,0,1,2\}$.
Do đó:
$[\begin{array}{rl}{x}^2-4x+3& =-2\\ x^2-4x+3& =0\\ x^2-4x+3& =1\\ x^2-4x+3& =2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}(x-2{)}^2& =-1\text{ (voˆ nghiệm)}\\ x& =1,x=3\\ x& =2\pm \sqrt{2}\\ x& =2\pm \sqrt{3}\end{array}$
Cùng với nghiệm $x=2$, đạo hàm $g^{\prime }(x)=0$ có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt sắp thứ tự:
$2-\sqrt{3}<2-\sqrt{2}<1<2<3<2+\sqrt{2}<2+\sqrt{3}$.



Qua mỗi nghiệm đơn này, $g^{\prime }(x)$ đổi dấu, tạo nên các điểm cực trị đan xen.
Bảng xét dấu cho thấy $g(x)$ có 3 điểm cực đại và 4 điểm cực tiểu.
Chọn B.