Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$.
Vì điểm $M(0;4)$ thuộc đồ thị hàm số nên $f(0)=a^2=4\iff a=\pm 2$.
Vì $M(0;4)$ là điểm cực trị của hàm số nên $f^{\prime }(0)=b=0$.
Để $x=0$ là điểm cực đại thì $f^{\prime \prime }(0)<0$:
Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a\Rightarrow f^{\prime \prime }(0)=2a<0\iff a<0$.
Do đó ta chọn $a=-2$.
Hàm số là $f(x)=x^3-2x^2+4$.
Tính giá trị tại $x=3$:
$f(3)=3^3-2(3^2)+4=27-18+4=13$.
Chọn D.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6(m+1)x+3(3m+7)$.
Hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm phân biệt, tương đương:
$${\Delta }^{\prime }=[3(m+1){]}^2-3\cdot 3(3m+7)>0\iff 9(m^2+2m+1-3m-7)>0\iff m^2-m-6>0\iff [\begin{array}{c}m<-2\\ m>3\end{array}$$

Chọn B.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$ (với giá trị cực tiểu bằng 0).

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=-1$ (bội 1) và $x=\frac{5}{2}$ (bội 3). Mẫu số $x^2>0,\forall x\ne 0$. Đạo hàm đổi dấu khi qua $x=-1$ và $x=\frac{5}{2}$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2-3$.
$y^{\prime }=0\iff 3(x^2-1)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x& =-1\end{array}$
Bảng biến thiên cho thấy đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-1$.
Do đó $x=-1$ là điểm cực đại của hàm số, và giá trị cực đại là:
$y_{\text{cđ}}=y(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$.
Chọn D.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Với $x\ne 0$, ta có $y=x^{2/3}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{2}{3}{x}^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Tại $x=0$, $y^{\prime }$ không xác định, nhưng hàm số $y$ liên tục tại $x=0$ và $y(0)=0$.
Xét dấu của $y^{\prime }$:
- Khi $x<0$ thì $\sqrt[3]{x}<0\Rightarrow y^{\prime }<0$ (hàm số nghịch biến).
- Khi $x>0$ thì $\sqrt[3]{x}>0\Rightarrow y^{\prime }>0$ (hàm số đồng biến).
Đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, do đó $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
Chọn B.

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn $[-2;2]$, ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-1;2)$.
Do đó hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại điểm $x=-1$.
Chọn B.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Quan sát bảng xét dấu:
- Khi qua $x=-1$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=-1$ là một điểm cực trị (điểm cực tiểu).
- Khi qua $x=0$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu $+$).
- Khi qua $x=3$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=3$ là một điểm cực trị (điểm cực đại).
Vậy hàm số có tất cả 2 điểm cực trị.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Ta có đạo hàm:
$$y^{\prime }=x^2+2x-3.$$
$$y^{\prime }=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-3</td></tr></tbody></table>$$
Đạo hàm cấp hai: $y^{\prime \prime }=2x+2$.
- Tại $x=1$: $y^{\prime \prime }(1)=4>0⟹x=1$ là điểm cực tiểu của hàm số.
- Tại $x=-3$: $y^{\prime \prime }(-3)=-4<0⟹x=-3$ là điểm cực đại của hàm số.

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Ta có $x^2\ge 0,\forall x$, do đó $x=0$ là nghiệm bội chẵn và không làm đổi dấu của $f^{\prime }(x)$.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm là $x=-1$ và nghiệm của tam thức $g(x)=x^2+2mx+5$.
Để hàm số $f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị thì đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua đúng một nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
- Trường hợp 1: $g(x)=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép:
$${\Delta }^{\prime }=m^2-5\le 0⟺-\sqrt{5}\le m\le \sqrt{5}.$$
Vì $m\in \mathbb{Z}⟹m\in \{-2,-1,0,1,2\}$.
Khi đó $x=-1$ là nghiệm đơn duy nhất làm đổi dấu $f^{\prime }(x)$, thỏa mãn.
- Trường hợp 2: $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng $-1$:
$$g(-1)=0⟺(-1{)}^2+2m(-1)+5=0⟺6-2m=0⟺m=3.$$
Với $m=3$, $g(x)=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$.
Khi đó $f^{\prime }(x)=x^2(x+1{)}^2(x+5)$, đạo hàm chỉ đổi dấu qua nghiệm đơn $x=-5$, thỏa mãn.
Kết hợp hai trường hợp: $m\in \{-2,-1,0,1,2,3\}$.
Vậy tập $S$ có tất cả 6 phần tử.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Với $a\ge b>1$, đặt $t={\log }_{a}b$. Vì $1<b\le a$ nên $0<t\le 1$.
Ta biến đổi biểu thức $P$:
$${\log }_{ab}a=\frac{1}{{\log }_a(ab)}=\frac{1}{1+{\log }_{a}b}=\frac{1}{1+t}⟹\frac{1}{{\log }_{ab}a}=1+t.$$
Và:
$${\log }_a\frac{a}{b}={\log }_{a}a-{\log }_{a}b=1-t.$$
Khi đó:
$$P=1+t+\sqrt{1-t},t\in (0;1].$$
Xét hàm số $f(t)=1+t+\sqrt{1-t}$ trên $(0;1]$:
$$f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-t}}.$$
$$f^{\prime }(t)=0⟺2\sqrt{1-t}=1⟺1-t=\frac{1}{4}⟺t=\frac{3}{4}\in (0;1].$$
Bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{3}{4}$.
Khi đó $b=a^t=a^{3/4}⟹k=\frac{3}{4}$.
Vì $\frac{3}{4}\in (0;1)$, ta chọn đáp án A.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=0$ và đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=1$. Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=1$.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=3$ và giá trị cực đại bằng $2$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x-2{)}^2$ chỉ đổi dấu qua nghiệm đơn $x=0$ (nghiệm $x=2$ là nghiệm bội chẵn), nên hàm số có đúng $1$ điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=0\iff x=-1\Rightarrow y=6$ hoặc $x=3\Rightarrow y=-26$. Đường thẳng $AB$ đi qua $(-1;6)$ và $(3;-26)$ có phương trình $y=-8x-2$, đi qua điểm $N(1;-10)$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+m^2-m-1=0$ có ${\Delta }^{\prime }=m+1>0\iff m>-1$. Theo hệ thức Vi-ét, $x_1+x_2=2m$ và $x_1{x}_2=m^2-m-1$. Bất phương trình trở thành $(x_1+x_2{)}^2-x_1{x}_2-3m^2+m-5\le 0\iff 4m^2-(m^2-m-1)-3m^2+m-5\le 0\iff 2m-4\le 0\iff m\le 2$. Kết hợp $m>-1,m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1;2\}$, có $3$ giá trị.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=0$ và $x=2$. Hàm số $g(x)=f(x^2-8x+m)$ có đúng $3$ điểm cực trị khi $0\le m-16<2\iff 16\le m<18$, với $x_3=4$ và $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2-8x+m-2=0$. Khi đó $x_1^2+x_2^2+x_3^2=64-2(m-2)+16=84-2m=50\iff m=17\in [16;18)$. Vậy $S=\{17\}$.

Chọn A.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=-2$ (nghiệm bội 1), $x=0$ (nghiệm bội 2), $x=1$ (nghiệm bội 3). Đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua các nghiệm bội lẻ $x=-2$ và $x=1$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ}=3$.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
$y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$.
$y^{\prime \prime }=2x+2\Rightarrow y^{\prime \prime }(1)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.