Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn A.
$y^{\prime }$ đổi dấu khi đi qua $x=-2,x=0,x=2$ nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Chọn B.
Từ bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$ của hàm số $f(x)$, ta thấy hàm số đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-2$ và $x=2$, nhưng $f(x)$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ nên hàm số chỉ có đúng $1$ điểm cực tiểu tại $x=-2$.

Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $-1$ (đạt tại $x=2$).

Chọn C.
Ta có:
$$y^{\prime }=\frac{13(x^2+1)-2x(13x-9)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-13x^2+18x+13}{(x^2+1{)}^2}.$$
Giả sử hai điểm cực trị là $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$, khi đó $x_1,x_2$ là nghiệm của $-13x^2+18x+13=0$.
Tại điểm cực trị ta có $y=\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}=\frac{13}{2x}$.
Ta có:
$$y_1=\frac{13}{2x_1}=\frac{13x_1^2}{2x_1^3}=\frac{13}{2}{x}_1-9.$$
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình:
$$y=\frac{13}{2}x-9\iff 13x-2y-18=0.$$
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $AB$ là:
$$d(O,AB)=\frac{|-18|}{\sqrt{13^2+(-2{)}^2}}=\frac{18}{\sqrt{173}}.$$

Chọn C.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{3}{x}^2$, $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^2$.
Số nghiệm của $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^2$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và đồ thị parabol $y=\frac{1}{3}{x}^2$.
Theo đồ thị, hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $a<b<c$.
Qua các điểm đó, $g^{\prime }(x)$ đổi dấu lần lượt là: âm sang dương tại $a$, dương sang âm tại $b$, và âm sang dương tại $c$.
Do đó hàm số có 2 điểm cực tiểu (tại $x=a$ và $x=c$).


Chọn D.
Căn cứ vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ}=5$.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn), $x=3$ (nghiệm bội chẵn 4) và $x=-1$ (nghiệm bội chẵn 2).
Do $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn $x=1$, nên hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn D.
Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=f(|x|-1)$ bằng $2k+1$, trong đó $k$ là số điểm cực trị dương của hàm số $h(x)=f(x-1)$.
Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị là $x_1<x_2<x_3$ với $x_1\in (-1;0)$, $x_2\in (0;1)$, $x_3>1$.
Khi đó hàm số $h(x)=f(x-1)$ có các điểm cực trị là $x_i+1$.
Vì $x_1>-1$ nên $x_1+1>0$, $x_2+1>0$, $x_3+1>0$. Cả 3 điểm cực trị đều dương, suy ra $k=3$.
Vậy số điểm cực trị của hàm số $y=f(|x|-1)$ là $2\cdot 3+1=7$.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=x^3+(2-m)x^2+(1-2m)x+m^2-m$.
Phân tích thành nhân tử: $y^{\prime }=(x-m+1)(x^2+x-m)$.
Để hàm số có đúng ba điểm cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, tức là phương trình $g(x)=x^2+x-m=0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $m-1$:
1) $\Delta =1+4m>0\iff m>-\frac{1}{4}$.
2) $g(m-1)\ne 0\iff (m-1{)}^2+(m-1)-m\ne 0\iff m^2-2m\ne 0\iff m\ne 0$ và $m\ne 2$.
Kết hợp $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{1;3;4;5;6;7;8;9;10\}$, có tất cả 9 giá trị nguyên.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (do đó liên tục tại $x=-2,x=2,x=3$) và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=-2,x=2,x=3$ (không xác định tại $x=1$). Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$, và giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}}=y(0)=4$.

Dựa vào bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu $4$ lần khi $x$ đi qua các điểm $-3,-1,1,4$. Vậy hàm số $f(x)$ có $4$ điểm cực trị.

Vì $f^{\prime }(x)$ là tam thức bậc hai đạt cực tiểu tại $x=0$ với $f^{\prime }(0)=-3$ và $f^{\prime }(1)=0$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Kết hợp $f(0)=2$ suy ra $f(x)=x^3-3x+2$. Xét $p(x)=f^3(x)-3f^2(x)-2021$ trên $(0;+\infty )$, ta có $p^{\prime }(x)=3f^{\prime }(x)f^2(x)-6f^{\prime }(x)f(x)=3f^{\prime }(x)f(x)(f(x)-2)$. Trên $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$, $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$ và $f(x)-2=x(x^2-3)$, nên $p^{\prime }(x)=9x(x+1)(x+2)(x-1{)}^3(x^2-3)$ đổi dấu qua $2$ điểm cực trị dương là $x=1$ và $x=\sqrt{3}$. Do đó hàm chẵn $h(x)=p(|x|)$ có $2\cdot 2+1=5$ điểm cực trị, với $h(0)=-2025$, $h(\pm 1)=-2021$, $h(\pm \sqrt{3})=-2025$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }h(x)=+\infty$. Suy ra phương trình $h(x)=0$ có đúng $2$ nghiệm đơn (một âm, một dương), nên hàm số $g(x)=|h(x)|$ có $5+2=7$ điểm cực trị.

Chọn A.
Quan sát đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1;2)$.
Do đó giá trị cực đại của hàm số bằng $2$.

Chọn A.
Ta có $g^{\prime }(x)=(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x-3)$.
$g^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x^2-2x-3=x_i$ với $x_i\in \{-3,-2,a,b,3,c,5\}$.
Xét parabol $u(x)=x^2-2x-3$ có đỉnh tại $(1;-4)$, bề lõm hướng lên.
Vì tất cả các giá trị $x_i>-4$ nên mỗi phương trình $u(x)=x_i$ đều có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Có 6 nghiệm mà tại đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu (nghiệm bội lẻ) và điểm $x=1$, tổng cộng cho ta 13 điểm cực trị.
Vậy hàm số $g(x)$ có 13 điểm cực trị.

Chọn B.
Đặt $u=|x^2+2x+m|=|(x+1{)}^2+m-1|$.
Để hàm số $f(u)$ có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình $u(x)=x_0$ phải có số nghiệm thích hợp tương ứng với các điểm cực trị của hàm $f$.
Tìm điều kiện của $m$ thuộc $[-2021;2021]$, ta thu được 2020 giá trị nguyên của tham số $m$.

Chọn A.
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x^2-1)$; $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$.


Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x_0=-1$.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=4x^3-4(m+1)x=4x(x^2-(m+1))$.
$y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m+1\end{array}\right]$.
Hàm số có 3 điểm cực trị khi $m+1>0\iff m>-1$.
Khi đó tọa độ các điểm cực trị là:
$A(0;2)$, $B(\sqrt{m+1};-(m+1{)}^2+2)$, $C(-\sqrt{m+1};-(m+1{)}^2+2)$.
Ta có: $OA=2$ và $BC=2\sqrt{m+1}$.
Theo giả thiết: $BC>2OA\iff 2\sqrt{m+1}>2\cdot 2\iff \sqrt{m+1}>2\iff m+1>4\iff m>3$ (thỏa mãn $m>-1$).

Chọn B.
Từ giả thiết $x{f}^{\prime }(x-1)=(x-3)f^{\prime }(x)$:
- Thay $x=0$ ta được $-3f^{\prime }(0)=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=0$.
- Thay $x=1$ ta được $f^{\prime }(0)=-2f^{\prime }(1)\Rightarrow f^{\prime }(1)=0$.
- Thay $x=2$ ta được $2f^{\prime }(1)=-f^{\prime }(2)\Rightarrow f^{\prime }(2)=0$.
Vì $y=f(x)$ là hàm số bậc 4 nên $f^{\prime }(x)$ là đa thức bậc 3. Do đó $f^{\prime }(x)$ có đúng 3 nghiệm phân biệt $0,1,2$, suy ra $f^{\prime }(x)=ax(x-1)(x-2)$ ($a\ne 0$).
Xét hàm số $g(x)=f(x^2)$, ta có:
$$g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)=2x\cdot a{x}^2(x^2-1)(x^2-2)=2a{x}^3(x-1)(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).$$
Các nghiệm đơn của $g^{\prime }(x)$ là: $x=0$ (nghiệm bội 3, đổi dấu), $x=1,x=-1,x=\sqrt{2},x=-\sqrt{2}$ (nghiệm bội 1, đổi dấu).
Như vậy $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua tất cả 5 nghiệm trên, do đó hàm số $y=f(x^2)$ có đúng 5 điểm cực trị.