Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu 2 lần (khi đi qua $x=-3$ từ $-$ sang $+$ và khi đi qua $x=2$ từ $+$ sang $-$). Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu. Do đó hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị.
Chọn B.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại $y=2$.
Chọn C.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và giá trị cực tiểu bằng $y=-2$.
Chọn B.

Chọn B.
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+8x=-4x(x^2-2)$.
$y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{2}$.
Vì hệ số của $x^4$ là âm nên tại $x=0$ hàm số đạt cực tiểu, $y(0)=-5$.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(0;-5)$.

Chọn D.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại hai điểm $x=-4$ và $x=4$, và giá trị cực đại tương ứng của hàm số là $f(-4)=f(4)=54$.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và giá trị cực đại bằng $y=2$.
Chọn D.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-2$ (từ $+$ sang $-$), $x=0$ (từ $-$ sang $+$), $x=2$ (từ $+$ sang $-$).
Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn giữ dấu âm).
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn C.

Ta có: $g^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2-1}(f(x+1){)}^3+e^{x^2-1}\cdot 3(f(x+1){)}^2{f}^{\prime }(x+1)$
$=e^{x^2-1}(f(x+1){)}^2[2xf(x+1)+3f^{\prime }(x+1)].$
Vì $(f(x+1){)}^2\ge 0$ nên nghiệm của phương trình $f(x+1)=0$ là các nghiệm bội chẵn, qua đó đạo hàm $g^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
Do đó các điểm cực trị của $g(x)$ là các nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội lẻ) của phương trình:
$2xf(x+1)+3f^{\prime }(x+1)=0.$
Từ đồ thị $f(x)$ có 3 điểm cực trị và tiếp xúc trục hoành, phân tích hàm số bậc bốn và lập bảng biến thiên ta tìm được phương trình có đúng 4 nghiệm đổi dấu.
Vậy hàm số $g(x)$ có 4 điểm cực trị.
Chọn A.

Từ bảng biến thiên, hàm số có giá trị cực đại bằng $3$ (tại $x=\pm 2$) và giá trị cực tiểu bằng $-1$ (tại $x=0$), nên mệnh đề C sai.

Chọn B.
Xét hàm số $u(x)=\sqrt{6x-5}$ với $x\ge \frac{5}{6}$.
Hàm số $u(x)$ đồng biến trên $\left[\frac{5}{6};+\infty \right)$ với $u\ge 0$.
Số điểm cực trị của $g(x)=f(u)+2021+m$ phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị $f(u)+2021+m$ với trục hoành.
Dựa vào bảng biến thiên của $f(x)$ với các giá trị cực trị tương ứng:
Hàm số $|g(x)|$ có 3 điểm cực đại khi và chỉ khi:
$$-2024<m<-2017.$$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2023;-2022;-2021;-2020;-2019;-2018\}$.
Vậy có $6$ giá trị nguyên của tham số $m$.

Chọn D.
Hàm số bậc bốn trùng phương có $a=1,b=-2m$.
Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là $ab<0⟺1(-2m)<0⟺m>0$.
Ba điểm cực trị là $A(0;m-1),B(-\sqrt{m};-m^2+m-1),C(\sqrt{m};-m^2+m-1)$.
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$$S=\sqrt{-\frac{b^5}{32a^3}}=\sqrt{-\frac{(-2m{)}^5}{32}}=\sqrt{\frac{32m^5}{32}}=\sqrt{m^5}=m^{\frac{5}{2}}.$$
Theo đề bài $S=2⟺m^{\frac{5}{2}}=2⟺m=2^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{4}\approx 1.3195\in (1;2)$.
Vậy giá trị của $m$ thuộc khoảng $(1;2)$.

Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực tiểu của hàm số là $(0;0)$.
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $0$.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm đơn/bội lẻ là $x=0$, $x=1$ (nghiệm bội 3), $x=-2$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua cả 3 nghiệm này, do đó hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=2x\cdot f^{\prime }(x^2+1)+2x=2x[f^{\prime }(x^2+1)+1]$.
Phương trình $g^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $f^{\prime }(x^2+1)=-1$.
Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị $f^{\prime }(u)$ tại các điểm thích hợp, suy ra $g^{\prime }(x)=0$ có 5 nghiệm đơn đổi dấu.
Vậy hàm số $g(x)$ có 5 điểm cực trị.

Chọn D.
Quan sát bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu $3$ lần khi đi qua các điểm $x=1,x=2,x=3$.
Do đó hàm số có $3$ điểm cực trị.

Chọn C.
Quan sát bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ và giá trị cực tiểu tương ứng là $y=-1$.

Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0;1)$.

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và từ bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $3$ điểm $x=-3$, $x=0$, $x=3$ nên hàm số có $3$ điểm cực trị.

Các điểm $A(-2;1),O(0;0),B(4;-2)$ đều nằm trên đường thẳng $d:y=-\frac{1}{2}x$. Đặt $g(x)=4f(x-2)+x^2-4x\Rightarrow g^{\prime }(x)=4f^{\prime }(x-2)+2(x-2)=0\iff f^{\prime }(x-2)=-\frac{x-2}{2}\iff x\in \{0;2;6\}$.

[IMAGE_1]

Bảng biến thiên hàm số $g(x)$:

[IMAGE_2]

Ta có $g(2)=4f(0)-4=4>0$, $S_1={\int }_{-2}^0|f^{\prime }(x)|dx<2\Rightarrow f(0)-f(-2)<2\Rightarrow f(-2)>0\Rightarrow g(0)=4f(-2)>0$, và $S_2={\int }_0^4|f^{\prime }(x)|dx>6\Rightarrow f(0)-f(4)>6\Rightarrow f(4)<-4\Rightarrow g(6)=4f(4)+12<0$. Suy ra $g(x)$ có $3$ điểm cực trị và cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt nên hàm số $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng $3$ (đạt tại $x=2$).