Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn D.
Từ bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=2$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=2$.

Chọn A.
Xét hàm hiệu $h(x)=f(x)-g(x)$. Hàm số $h(x)$ có 3 điểm cực trị. Số điểm cực trị của $|h(x)+m|$ bằng $3+k$ với $k$ là số nghiệm đơn của phương trình $h(x)+m=0$.
Để có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình $h(x)=-m$ phải có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Dựa vào độ dài $AB=7/4$ và đồ thị, ta xác định khoảng giá trị của $m$, cho đúng 2019 giá trị nguyên của $m$.

Chọn D.
Dựa vào bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $x=-2$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là một điểm cực tiểu.
- Tại $x=0$, hàm số không xác định nên $x=0$ không phải điểm cực trị.
- Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là một điểm cực đại.
- Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn giữ dấu $-$) nên không phải cực trị.
Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm là $x=0$ (bội 1), $x=-1$ (bội 1), $x=4$ (bội 2).
Đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ là $x=0$ và $x=-1$.
Tại nghiệm bội chẵn $x=4$, đạo hàm không đổi dấu.
Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Chọn C.
Xét hàm số $g(x)=f(-x^2)+3x^2-x^4$.
Đạo hàm:
$$g^{\prime }(x)=-2x{f}^{\prime }(-x^2)+6x-4x^3=-2x\left[f^{\prime }(-x^2)-3+2x^2\right].$$
Ta có $g^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $f^{\prime }(-x^2)=3-2x^2$.
Đặt $t=-x^2\le 0$, phương trình trở thành $f^{\prime }(t)=3+2t$ với $t\le 0$.
Đường thẳng $y=2t+3$ đi qua $(0;3)$ và $(-1;1)$.
Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $t=0$, $f^{\prime }(0)=0<3$.
- Tại $t=-1$, $f^{\prime }(-1)=4>1=2(-1)+3$.
- Khi $t\to -\infty$, $f^{\prime }(t)\to -\infty$ trong khi $2t+3\to -\infty$ (và đồ thị cắt nhau tại 2 điểm âm phân biệt $t_1<-1<t_2<0$).
Với mỗi giá trị $t_k<0$, phương trình $-x^2=t_k$ cho 2 nghiệm thực phân biệt đối xứng qua 0.
Kết hợp với nghiệm $x=0$, hàm số $g(x)$ có $2\times 2+1=5$ điểm cực trị.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 3 điểm trong bảng xét dấu (từ dương sang âm hoặc ngược lại tại các điểm làm $f^{\prime }(x)=0$ hoặc không xác định).
Do đó hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=2(x+1)f^{\prime }(x^2+2x)-2x=2(x+1)[f^{\prime }(x^2+2x)-\frac{x}{x+1}]$.
Xét sự tương giao giữa đồ thị hàm số đạo hàm và đường thẳng tương ứng, ta thấy phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ đổi dấu.
Do đó hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=0$.
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm $x=0$.

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $5$ điểm $x=-2,0,1,3,6$. Vậy hàm số có $5$ điểm cực trị.

Hàm số bậc ba $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là $x=-1$ và $x=x_0>0$. Để hàm số $y=f(|x|+m)$ có $5$ điểm cực trị thì hàm số $y=f(x+m)$ phải có hai điểm cực trị dương, tức là $-1-m>0\iff m<-1$.

Xét $h(x)=f(x^2)-2x$, ta có $h^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)-2=0\iff f^{\prime }(x^2)=\frac{1}{x}$. Với $x\le 0$, $h^{\prime }(x)<0$ vì $f^{\prime }(t)\ge 1>0,\forall t\ge 0$. Với $x>0$, đồ thị $y=f^{\prime }(x^2)$ và $y=\frac{1}{x}$ cắt nhau tại duy nhất $1$ điểm $x_0\in (0;1)$. Hơn nữa $h(0)=0$, nên $h(x)$ có $1$ điểm cực tiểu âm tại $x_0$ và cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt ($x=0$ và $x_1>x_0$). Do đó hàm số $g(x)=|h(x)|$ có $1+2=3$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $2$ điểm $x=-1$ và $x=4$. Vậy hàm số $f(x)$ có $2$ điểm cực tiểu.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-2$. Vậy điểm cực đại của hàm số $f(x)$ là $x=-2$.

Hàm số $f(x)=x^3-3x^2+m$ có $2$ điểm cực trị $x=0$ ($f(0)=m$) và $x=2$ ($f(2)=m-4$). Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi $f(0)\cdot f(2)<0\iff m(m-4)<0\iff 0<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3\}$, có $3$ giá trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }[f(x)]=0\iff [\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=0\\ f(x)=-2\\ f(x)=0\\ f(x)=a\in (1;2)\\ f(x)=3\end{array}$ (trong đó $x=-2,0,a,3$ là $4$ điểm cực trị của $f(x)$). Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có $4$ nghiệm; $f(x)=-2$ có $1$ nghiệm; $f(x)=0$ có $3$ nghiệm (trong đó $2$ nghiệm $x=0,x=3$ trùng với nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$); $f(x)=a$ có $3$ nghiệm; $f(x)=3$ có $3$ nghiệm. Vậy số phần tử của $T$ là $4+1+(3-2)+3+3=12$.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$.

Chọn D.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-2$, do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-2$.

Chọn C.
$y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$.
$y(-1)=-(-1{)}^3+3(-1)-4=1-3-4=-6$.
$y(1)=-1+3-4=-2$.
Vì $a=-1<0$ nên điểm cực tiểu là $x=-1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-6$.

Chọn D.
Đặt $u(x)=\frac{\ln (x^2+1)-2}{2}$. Ta có $u^{\prime }(x)=\frac{x}{x^2+1}$.
$g^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)f^{\prime }(u(x))$.
Số điểm cực trị của $g(x)$ gồm điểm cực trị của $u(x)$ tại $x=0$ và các nghiệm đơn của phương trình $u(x)=u_i$ với $f^{\prime }(u_i)=0$.
Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, đếm số nghiệm đơn tạo ra các điểm đổi dấu của $g^{\prime }(x)$, ta được 9 điểm cực trị.

a) Đúng: Từ đồ thị, giá trị cực tiểu của hàm số đạt tại $x=0$ và bằng $-1$.
b) Đúng: ${\log }_3(f(x)+6)=2\iff f(x)=3$. Đường thẳng $y=3$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $(2;3)$ và cắt đồ thị tại $1$ điểm nữa nên phương trình có $2$ nghiệm.
c) Sai: Hàm số đồng biến trên $(1;2)$ và nghịch biến trên $(2;3)$.
d) Đúng: Đồ thị có hai điểm cực trị $(0;-1)$ và $(2;3)$ nên $a=-1,b=3,c=0,d=-1\Rightarrow 2025a+b+c+d=-2025+3+0-1=-2023$.