Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị từ đạo hàm và bảng biến thiên (Toán học Lớp 12)

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $3$ điểm $x=-1,x=0,x=1$ (qua $x=2$ đạo hàm không đổi dấu), nên hàm số có $3$ điểm cực trị. Chọn C.

Quan sát bảng biến thiên:
- Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to +\infty$, do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề "Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $-3$" là sai (giá trị cực đại của hàm số là $-3$, không phải giá trị lớn nhất).

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x-2)(x+2)$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có bốn nghiệm đơn là $-2,0,1,2$. Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: dương trên $(-\infty ;-2)$, âm trên $(-2;0)$, dương trên $(0;1)$, âm trên $(1;2)$, dương trên $(2;+\infty )$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-2$ và $x=1$, do đó hàm số có 2 điểm cực đại. Chọn D.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x\Rightarrow y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0,y=-2\\ x=\pm 1,y=-3\end{array}\right]$.



Hàm số có giá trị cực đại bằng $-2$ tại điểm $x=0$.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Chọn A.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là $M(0;3)$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, điểm cực tiểu của đồ thị là $(0;-1)$, do đó giá trị cực tiểu của hàm số là $y=-1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Ta có đạo hàm $y^{\prime }=(-x^3+3x-1{)}^{\prime }=-3x^2+3$. Khẳng định a đúng.

b) Cho $y^{\prime }=0\iff -3x^2+3=0\iff x^2=1\iff x=\pm 1$.
Trên khoảng $(-1;1)$, ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên $(-1;1)$. Khẳng định b sai.

c) Hai điểm cực trị có hoành độ $x_1=-1$ và $x_2=1$.
Vì $x_1\cdot x_2=-1<0$ nên hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung $Oy$. Khẳng định c đúng.

d) Trên đoạn $[0;2]$:
- $y(0)=-1$
- $y(1)=1$
- $y(2)=-2^3+3(2)-1=-8+6-1=-3$
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ là ${\min }_{[0;2]}y=y(2)=-3\ne 3$. Khẳng định d sai.

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}}=f(-1)=3$.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x<0\iff x\in (0;2)$.
b) Đúng: ${\lim }_{x\to +\infty }(x^3-3x^2+4)=+\infty$.
c) Sai: Hai điểm cực trị là $A(0;4)$ và $B(2;0)$, nên $AB=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
d) Sai: Ta có $f(x)=(x+1)(x-2{)}^2$, nên $\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ (với $x\ne -1$) chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng là $x=2$.

Xét hàm số $y=x^4+2x^2$, ta có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$. Phương trình $y^{\prime }=0$ có đúng một nghiệm đơn $x=0$ và đổi dấu qua $x=0$, do đó hàm số có đúng một điểm cực trị. Chọn B.

Chọn B

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+2)(x-1)(x-1)=x(x+2)(x-1{)}^2$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm đơn là $x=0,x=-2$ và một nghiệm kép $x=1$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn D.

Hàm số $y=f(x)$ có điểm cực trị khi đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu. Quan sát đồ thị $f^{\prime }(x)$, đồ thị cắt trục hoành và đổi dấu tại đúng 1 điểm. Vậy hàm số có 1 điểm cực trị. Chọn D.

Ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua các điểm $-3,1,5$ nên hàm số có $3$ điểm cực đại. Chọn D.

a) Đúng. Từ đồ thị, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0;3)$ nên giá trị cực đại của hàm số bằng $3$.
b) Sai. Trên khoảng $(0;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-1$ đạt được tại điểm $x=2$ (không phải $x=-1$).
c) Sai. Trên khoảng $(0;2)$, đồ thị đi xuống từ $3$ xuống $-1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
d) Đúng. Phương trình $f(x)-1=0\iff f(x)=1$. Vì $-1<1<3$ nên đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số tại đúng $3$ điểm phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại tương ứng là $y_{\text{CĐ}}=2$.

Từ đồ thị, điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ $(-1;3)$, do đó giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ}=3$.

a) Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-1}$. Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=0⟺(x-1{)}^2=4⟺x=3$ hoặc $x=-1$. Tại $x=3$ hàm số đạt cực tiểu và $y_{CT}=3$. Điểm cực tiểu là $(3;3)⟹a=3,b=3⟹a^2+b=9+3=12$ (Đúng).
b) Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x-2)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$, do đó tiệm cận xiên là $y=x-2$ (Đúng).
c) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không bằng $12$ (Sai).
d) Khảo sát tương giao đồ thị để tìm các giá trị nguyên của $m$ thoả mãn điều kiện nghiệm cho đúng $9$ giá trị nguyên (Đúng).