Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $[11;13)$ với 10 ngày, nên số Mốt thuộc nhóm này. Khớp đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 126, câu 7).

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài mỗi nhóm là hiệu hai đầu mút của một nhóm, ví dụ nhóm $[15;20)$: $20-15=5$. Vậy độ dài mỗi nhóm là $5$, chọn đáp án D. Điều này khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất. Ở đây tần số lớn nhất là 21, ứng với nhóm $[450;500)$. Vậy nhóm chứa mốt là $[450;500)$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+9+12+10+6=42$. a) Đúng. b) Sai — giá trị đại diện của nhóm $[6;8)$ là $\frac{6+8}{2}=7$, không phải 10. c) Trung vị ở vị trí thứ $\frac{42}{2}=21$; tần số tích lũy: 5, 14, 26 nên vị trí 21 thuộc nhóm $[4;6)$ → Đúng. d) Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{42}{4}=10,5$; tần số tích lũy 5, 14 nên vị trí 10,5 thuộc nhóm $[2;4)$, không phải $[0;2)$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (a Đ, b S, c Đ, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+9+12+10+6=42$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện của nhóm $[6;8)$ là $\frac{6+8}{2}=7$, không phải 10.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị ở vị trí thứ $\frac{42}{2}=21$; tần số tích lũy 5, 14, 26 nên vị trí 21 thuộc nhóm $[4;6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{42}{4}=10,5$; tần số tích lũy 5, 14 nên vị trí 10,5 thuộc nhóm $[2;4)$, không phải $[0;2)$.

Cỡ mẫu : $n=m_1+\dots +m_5=24+57+42+29+8=160$



a) Giá trị trung bình: $\overline{X}=\frac{24\cdot 4,5+57\cdot 7,5+42\cdot 10,5+29\cdot 13,5+8\cdot 16,5}{24+57+42+29+8}$

Lượng nước tiêu thụ trung bình của các hộ gia đình là $9,375m^3/$ tháng.

b) Tần số lớn nhất là 57 nên mốt thuộc nhóm $[6;9)$. Ta có: $j=2;a_2=6;a_3=9;h=a_3-a_2=9-6=3;m_2=57;m_1=24;m_3=42$

Mốt của mẫu số liệu là: $M_0=a_2+\frac{m_2-m_1}{\left(m_2-m_1\right)+\left(m_2-m_3\right)}\cdot h$

$\Rightarrow M_0=6+\frac{57-24}{(57-24)+(57-42)}\cdot 3=8,0625\simeq 8$.

Lượng nước có nhiều hộ dùng nhất là $8m^3/$ tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện của nhóm $[162;166)$ là trung bình cộng của hai đầu mút: $(162+166)/2=164$. Đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã 0112, câu 2: A).

a) Ta có: $n=12+28+45+30+10=125$

Do đó $\overline{x}=\frac{75.12+125.28+175.45+225.30+275.10}{125}=\frac{871}{5}=174,2$
Mức điện năng trung bình mà các hộ gia đình trong khu dân cư tiêu thụ trong tháng 9 là $174,2$ kWh
b) Cỡ mẫu là $n=12+28+45+30+10=125$
Do đó $x_1,\dots ,x_{125}$ là lượng nước tiêu thụ của 125 hộ gia đình và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó tứ phân vị thứ ba là $Q_3=\frac{x_{94}+x_{95}}{2}$ thuộc nhóm $[200;250)$.
$\Rightarrow Q_3=200+\frac{\frac{125.3}{4}-(12+28+45)}{30}.(250-200)=\frac{2575}{12}$
Vậy, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là $\frac{2575}{12}$ kWh

a) Ta có: $n=24+58+41+29+8=160$

Do đó $\overline{x}=\frac{4,5\cdot 24+7,5\cdot 58+10,5\cdot 41+13,5\cdot 29+16,5\cdot 8}{160}=\frac{1497}{160}$
Lượng nước trung bình mà các hộ gia đình trong khu dân cư tiêu thụ trong tháng 9 là $\frac{1497}{160}{m}^3$
b) Cỡ mẫu là $n=24+58+41+29+8=160$
Do đó $x_1,\dots ,x_{160}$ là lượng nước tiêu thụ của 160 hộ gia đình và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{x_{40}+x_{41}}{2}$ thuộc nhóm $[6;9)$.
$\Rightarrow Q_1=6+\frac{\frac{160}{4}-24}{58}\cdot (9-6)=\frac{198}{29}$
Vậy, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là $\frac{198}{29}{m}^3$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $115\in [113;118)$ (đầu mút trái đóng, phải mở), chiều cao 115 cm thuộc nhóm $[113;118)$. Khớp đáp án nguồn (Câu 8, mã 0111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tương ứng các nhóm $[0;30),[30;60),[60;90),[90;120),[120;150),[150;180)$ là $11,25,36,15,8,5$; các giá trị đại diện là $15,45,75,105,135,165$.

**1) Số trung bình:**
$$\bar{x}=\frac{15\cdot 11+45\cdot 25+75\cdot 36+105\cdot 15+135\cdot 8+165\cdot 5}{100}=\frac{165+1125+2700+1575+1080+825}{100}=\frac{7470}{100}=74,7\text{ (phuˊt)}.$$

**2) Mốt:** Nhóm có tần số lớn nhất là $[60;90)$ với $n_2=36$, $n_1=25$, $n_3=15$, $h=30$:
$$M_o=60+\frac{36-25}{(36-25)+(36-15)}\cdot 30=60+\frac{11}{32}\cdot 30=70,3125\text{ (phuˊt)}.$$

**3) Số trung vị:** $\frac{n}{2}=50$; tần số tích lũy: $11,36,72,\dots$ nên nhóm chứa trung vị là $[60;90)$, với $c=36$, $h=30$:
$$M_e=60+\left(50-36\right)\frac{30}{36}=60+\frac{420}{36}\approx 71,67\text{ (phuˊt)}.$$

**4) Tứ phân vị:**
- $\frac{n}{4}=25$: tần số tích lũy $11<25\le 36$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[30;60)$, $c=11$:
$$Q_1=30+(25-11)\frac{30}{25}=30+16,8=46,8\text{ (phuˊt)}.$$
- $Q_2=M_e\approx 71,67$ (phút).
- $\frac{3n}{4}=75$: tần số tích lũy $72<75\le 87$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[90;120)$, $c=72$:
$$Q_3=90+(75-72)\frac{30}{15}=90+6=96\text{ (phuˊt)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=85$. Giá trị đại diện các nhóm: $0,925;0,975;1,025;1,075;1,125$.
a) Số trung bình $\bar{x}=\frac{10\cdot 0,925+20\cdot 0,975+35\cdot 1,025+15\cdot 1,075+5\cdot 1,125}{85}=\frac{86,375}{85}\approx 1,016$ → đúng.
b) Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $[1,0;1,05)$ với tần số 35, không phải $[1,05;1,1)$ → sai.
c) $\frac{n}{4}=21,25$, nhóm chứa $Q_1$ là $[0,95;1,0)$: $Q_1=0,95+\frac{21,25-10}{20}\cdot 0,05=0,978125\approx 0,98$ → đúng.
d) $\frac{3n}{4}=63,75$, nhóm chứa $Q_3$ là $[1,0;1,05)$: $Q_3=1,0+\frac{63,75-30}{35}\cdot 0,05\approx 1,048\ne 1,248$ → sai.
Tóm lại: a) $\bar{x}=\frac{86,375}{85}\approx 1,016$; b) nhóm chứa mốt là $[1,0;1,05)$ vì có tần số lớn nhất 35; c) $Q_1=0,95+\frac{21,25-10}{20}\cdot 0,05=0,978125\approx 0,98$; d) $Q_3=1,0+\frac{63,75-30}{35}\cdot 0,05\approx 1,048\ne 1,248$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=11+25+36+15+8+5=100$.

**1) Số trung bình:**
$$\bar{x}=\frac{15\cdot 11+45\cdot 25+75\cdot 36+105\cdot 15+135\cdot 8+165\cdot 5}{100}=\frac{7470}{100}=74,7\text{ (phuˊt)}.$$

**2) Mốt:** Nhóm có tần số lớn nhất là $[60;90)$ với $n_2=36$, nhóm trước có $n_1=25$, nhóm sau có $n_3=15$:
$$M_o=60+\frac{30(36-25)}{(36-25)+(36-15)}=60+\frac{330}{32}=70,3125\text{ (phuˊt)}.$$

**3) Số trung vị:** $\frac{n}{2}=50$, tích lũy đến $[30;60)$ là $36<50\le 72$ nên trung vị thuộc $[60;90)$:
$$M_e=60+\frac{30\left(50-36\right)}{36}=60+\frac{35}{3}\approx 71,67\text{ (phuˊt)}.$$

**4) Tứ phân vị:**
- $\frac{n}{4}=25$: tích lũy đến $[0;30)$ là $11<25\le 36$ nên $Q_1\in [30;60)$:
$$Q_1=30+\frac{30(25-11)}{25}=30+16,8=46,8\text{ (phuˊt)}.$$
- $Q_2=M_e=\frac{215}{3}\approx 71,67$ (phút).
- $\frac{3n}{4}=75$: tích lũy đến $[60;90)$ là $72<75\le 87$ nên $Q_3\in [90;120)$:
$$Q_3=90+\frac{30(75-72)}{15}=90+6=96\text{ (phuˊt)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=11+25+36+15+8+5=100$.

**1. Số trung bình:**
$$\bar{x}=\frac{15\cdot 11+45\cdot 25+75\cdot 36+105\cdot 15+135\cdot 8+165\cdot 5}{100}=\frac{165+1125+2700+1575+1080+825}{100}=\frac{7470}{100}=74,7\text{ (phuˊt)}.$$

**2. Mốt:** Nhóm có tần số lớn nhất là $[60;90)$ với $n_4=36$, nhóm trước có $n_3=25$, nhóm sau có $n_5=15$:
$$M_o=60+\frac{36-25}{(36-25)+(36-15)}\cdot 30=60+\frac{11}{32}\cdot 30=70,3125\text{ (phuˊt)}.$$

**3. Số trung vị:** $n=100$, cần giá trị thứ $50$. Tần số tích lũy: $11;36;72;...$ nên nhóm chứa trung vị là $[60;90)$, với $n_c=11+25=36$, $n_m=36$:
$$M_e=60+\left(\frac{50-36}{36}\right)\cdot 30=60+\frac{35}{3}\approx 71,67\text{ (phuˊt)}.$$

**4. Tứ phân vị:**
- $Q_1$: giá trị thứ $25$, thuộc nhóm $[30;60)$ ($n_c=11$, $n_m=25$):
$$Q_1=30+\frac{25-11}{25}\cdot 30=30+16,8=46,8\text{ (phuˊt)}.$$
- $Q_2=M_e=60+\frac{35}{3}\approx 71,67$ (phút).
- $Q_3$: giá trị thứ $75$, thuộc nhóm $[90;120)$ ($n_c=72$, $n_m=15$):
$$Q_3=90+\frac{75-72}{15}\cdot 30=90+6=96\text{ (phuˊt)}.$$

Vậy $\bar{x}=74,7$; $M_o=70,3125$; $M_e\approx 71,67$; $Q_1=46,8$; $Q_2\approx 71,67$; $Q_3=96$ (phút).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=11+19+15+5=50$, nên trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 25 và 26. Ta có $11<25,26\le 30$, nên cả hai giá trị này nằm trong nhóm $[30;60)$. Trung vị: $Me=30+\left(\frac{50}{2}-11\right)\cdot \frac{30}{19}=30+\frac{14\cdot 30}{19}=30+\frac{420}{19}\approx 52.1$ (phút). Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $Me\approx 52.1$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là số người nhóm $[30;40)$ và $b$ là số người nhóm $[40;50)$. Tổng: $6+12+a+b+2=46\Rightarrow a+b=26$. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm nằm ở nhóm $[30;40)$ (vì độ tuổi dự báo nhiều nhất là 34): $M{e}_{Mo}=30+\frac{a-12}{(a-12)+(a-b)}\cdot 10=34$. Suy ra $\frac{a-12}{2a-12-b}=0,4\Rightarrow a-12=0,8a-4,8-0,4b\Rightarrow 0,2a+0,4b=7,2\Rightarrow a+2b=36$. Kết hợp $a+b=26$ ta được $b=10$, $a=16$. Vậy số người nhóm tuổi $[40;50)$ là 10 người (kiểm tra: mốt $=30+\frac{4}{4+6}\cdot 10=34$ đúng).

(AI giải đề cho tôi)
2 giờ = 120 phút. Số học sinh có thời gian sử dụng điện thoại ít hơn 120 phút là số học sinh thuộc nhóm [0;60) và [60;120): $4+7=11$ (học sinh). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=21+10+7+5+3=46$. Cần trao danh hiệu cho $25\%$ số học sinh cao nhất, tức $46\cdot 0,25=11,5$, làm tròn lên 12 học sinh. Xét hàm phân vị thứ 75: vị trí $\frac{75}{100}\cdot 46=34,5$, tức quan sát thứ 35. Lũy tích: nhóm $[2;4)$ có 21, đến hết $[4;6)$ có 31, đến hết $[6;8)$ có 38. Vậy quan sát thứ 35 thuộc nhóm $[6;8)$ với tần số 7. Giá trị phân vị: $x=6+\frac{34,5-31}{7}\cdot 2=6+1=7$ (kg). Vậy cô giáo trao danh hiệu cho các bạn mang đến ít nhất 7 kg giấy vụn.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 14: Cỡ mẫu $n=100$, các giá trị đại diện: $15,45,75,105,135,165$.

1) Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{11\cdot 15+25\cdot 45+36\cdot 75+15\cdot 105+8\cdot 135+5\cdot 165}{100}=\frac{7470}{100}=74,7\text{ (phuˊt)}.$$

2) Mốt: nhóm chứa mốt là $[60;90)$ có $n_2=36$, $n_1=25$, $n_3=15$:
$$M_o=60+\frac{36-25}{(36-25)+(36-15)}\cdot 30=60+\frac{11}{32}\cdot 30=70,3125\text{ (phuˊt)}.$$

3) Số trung vị: $\frac{n}{2}=50$, tần số tích lũy đến $[30;60)$ là $36<50\le 72$ nên trung vị thuộc $[60;90)$:
$$M_e=60+\frac{50-36}{36}\cdot 30=60+\frac{35}{3}\approx 71,67\text{ (phuˊt)}.$$

4) Tứ phân vị:
- $\frac{n}{4}=25$: tần số tích lũy đến $[0;30)$ là $11<25\le 36$ nên $Q_1\in [30;60)$:
$$Q_1=30+\frac{25-11}{25}\cdot 30=46,8\text{ (phuˊt)}.$$
- $Q_2=M_e\approx 71,67$ phút.
- $\frac{3n}{4}=75$: tần số tích lũy đến $[60;90)$ là $72<75\le 87$ nên $Q_3\in [90;120)$:
$$Q_3=90+\frac{75-72}{15}\cdot 30=96\text{ (phuˊt)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+21+25+30+8=90$, nên $\frac{n}{4}=22,5$. Tích lũy: nhóm $[15;20)$ có 6, nhóm $[20;25)$ có 27 ≥ 22,5 nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[20;25)$ với $n_1=6$, $n_2=21$, $c=5$. Do đó $Q_1=20+\frac{22,5-6}{21}\cdot 5=20+\frac{82,5}{21}\approx 23,9$ (phút).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=11+25+36+15+8+5=100$.

**1) Số trung bình:**
$$\bar{x}=\frac{15\cdot 11+45\cdot 25+75\cdot 36+105\cdot 15+135\cdot 8+165\cdot 5}{100}=\frac{165+1125+2700+1575+1080+825}{100}=\frac{7470}{100}=74,7\text{ (phuˊt)}$$

**2) Mốt:** Nhóm có tần số lớn nhất là $[60;90)$ với $n_m=36$, nhóm trước có $n_{m-1}=25$, nhóm sau có $n_{m+1}=15$, độ dài nhóm $h=30$:
$$M_o=60+\frac{36-25}{(36-25)+(36-15)}\cdot 30=60+\frac{11}{32}\cdot 30=60+\frac{165}{16}\approx 70,31\text{ (phuˊt)}$$

**3) Số trung vị:** Vị trí $\frac{n}{2}=50$. Tần số tích lũy: $11;36;72;...$ nên nhóm chứa trung vị là $[60;90)$, với $cf=36$, $f=36$:
$$Me=60+\frac{50-36}{36}\cdot 30=60+\frac{35}{3}\approx 71,67\text{ (phuˊt)}$$

**4) Các tứ phân vị:**
- $Q_1$: vị trí $\frac{n}{4}=25$, nhóm chứa là $[30;60)$ với $cf=11$, $f=25$:
$$Q_1=30+\frac{25-11}{25}\cdot 30=30+16,8=46,8\text{ (phuˊt)}$$
- $Q_2=Me\approx 71,67$ phút.
- $Q_3$: vị trí $\frac{3n}{4}=75$, nhóm chứa là $[90;120)$ với $cf=72$, $f=15$:
$$Q_3=90+\frac{75-72}{15}\cdot 30=90+6=96\text{ (phuˊt)}$$