Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_5=2^5+1=32+1=33$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Số hàng thứ tư của dãy $(u_n)$ với $u_n=(-2{)}^n$ là $u_4=(-2{)}^4=16$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức truy hồi: $u_2=3u_1-1=3\cdot 2-1=5$; $u_3=3u_2-1=3\cdot 5-1=14$. Vậy số hàng thứ 3 của dãy là $u_3=14$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $u_n=(-1{)}^{n-1}\frac{n}{2n-1}$, thay lần lượt $n=1,2,3,4,5$:
$u_1=(-1{)}^0\cdot \frac{1}{1}=1$;
$u_2=(-1{)}^1\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{3}$;
$u_3=(-1{)}^2\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}$;
$u_4=(-1{)}^3\cdot \frac{4}{7}=-\frac{4}{7}$;
$u_5=(-1{)}^4\cdot \frac{5}{9}=\frac{5}{9}$.
Vậy năm số hạng đầu là $1;-\frac{2}{3};\frac{3}{5};-\frac{4}{7};\frac{5}{9}$.

b) Với $u_1=1$ và $u_n=n-u_{n-1}$ $(n\ge 2)$:
$u_2=2-u_1=2-1=1$;
$u_3=3-u_2=3-1=2$;
$u_4=4-u_3=4-2=2$;
$u_5=5-u_4=5-2=3$.
Vậy năm số hạng đầu là $1;1;2;2;3$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}$: nhân chéo ta được $15(n+1)=8(2n+1)$, tức $15n+15=16n+8$, suy ra $n=7$. Kiểm tra: $u_7=\frac{7+1}{2\cdot 7+1}=\frac{8}{15}$ đúng. Vậy $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ $7$ của dãy.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21. Xét tính tăng, giảm của các dãy số.

a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$. Xét hiệu:
$$u_{n+1}-u_n=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}=\frac{(n-2)(n+2)-(n-3)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\frac{n^2-4-(n^2-9)}{(n+2)(n+3)}=\frac{5}{(n+2)(n+3)}>0$$
với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số $(u_n)$ tăng.

b) $u_n=\frac{3^n}{2^n\cdot n!}>0$ với mọi $n$. Xét tỉ số:
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}\cdot \frac{2^{n}n!}{3^n}=\frac{3}{2(n+1)}\le \frac{3}{4}<1$$
với mọi $n\ge 1$. Suy ra $u_{n+1}<u_n$, vậy dãy số $(u_n)$ giảm.

c) $u_n=(-1{)}^n(2^n+1)$. Ta có $u_1=-3$, $u_2=5$, $u_3=-9$, $u_4=17$, ... Các số hạng lần lượt âm, dương xen kẽ nên dãy số không đơn điệu (không tăng và không giảm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{an+2}{n+1}$. Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{a(n+1)+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{(an+a+2)(n+1)-(an+2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}$. Khai triển: $(an+a+2)(n+1)=a{n}^2+2an+2n+a+2$ và $(an+2)(n+2)=a{n}^2+2an+2n+4$, nên tử số bằng $a-2$. Vậy $u_{n+1}-u_n=\frac{a-2}{(n+1)(n+2)}$. Vì $(n+1)(n+2)>0$ với mọi $n\ge 1$, dãy số tăng khi và chỉ khi $u_{n+1}-u_n>0$, tức là $a-2>0\iff a>2$. Kết luận: $a>2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23. Chứng minh:

a) Với mọi $n\ge 1$, ta có $n^2+1\ge 1>0$ nên $u_n=\sqrt{n^2+1}\ge \sqrt{1}=1$. Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $m=1$ (thực ra $u_n\ge 1$ với mọi $n$, dấu bằng khi $n=1$).

b) Với mọi $n\ge 1$, ta có $n^2\ge 1$ và $n\ge 1$ nên $n^2+n\ge 2>0$, do đó $u_n=-(n^2+n)\le -2$. Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn trên bởi $M=-2$ (dấu bằng khi $n=1$).

c) Với mọi $n\ge 1$: $u_n=\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2(n+2)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$.

Vì $n\ge 1$ nên $n+2\ge 3$, suy ra $0<\frac{3}{n+2}\le 1$, do đó $1\le 2-\frac{3}{n+2}<2$, tức $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$.

Vậy dãy $(u_n)$ vừa bị chặn dưới (bởi 1) vừa bị chặn trên (bởi 2), tức là dãy bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}$.

**1) Chứng minh dãy tăng:**
Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ với mọi $n\ge 1$.
Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy tăng.

**2) Chứng minh dãy bị chặn trên:**
Ta có $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, do đó:
$$u_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}.$$
Vì $\frac{1}{n+1}>0$ nên $u_n<1$ với mọi $n\ge 1$.
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số $1$.

Kết luận: dãy số $(u_n)$ tăng và bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$, tức $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$.

**1) Tính tăng, giảm:**

Với mọi $n\ge 1$, ta có:
$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}>0.$$

Vậy $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\ge 1$, do đó dãy số $(u_n)$ là dãy số **tăng**.

**2) Tính bị chặn:**

- **Bị chặn dưới:** Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_n\ge u_1=1>0$. Vậy dãy bị chặn dưới bởi $1$.

- **Bị chặn trên:** Với mọi $k\ge 2$, ta có $k^2\ge k(k-1)$, suy ra:
$$\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}(k\ge 2).$$

Do đó với $n\ge 2$:
$$u_n=1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le 1+\sum _{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1+\left(1-\frac{1}{n}\right)=2-\frac{1}{n}<2.$$

(Với $n=1$: $u_1=1<2$, bất đẳng thức vẫn đúng.)

Vậy $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$, tức dãy số $(u_n)$ **bị chặn** (bị chặn dưới bởi $1$ và bị chặn trên bởi $2$).

**Kết luận:** Dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng và bị chặn (cụ thể $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{3-5n}{2-5n}=\frac{232}{233}$: nhân chéo ta được $233(3-5n)=232(2-5n)$, tức $699-1165n=464-1160n$, suy ra $235=5n$ nên $n=47$. Vậy $\frac{232}{233}=u_{47}$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát quy luật: tháp $n$ tầng có $n$ hàng ngang, hàng thứ $k$ (từ trên xuống) có $2k$ điểm nên có $2k-1$ que ngang và $2k$ que dọc (kể cả que chân). Tổng que ngang: $1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$. Tổng que dọc: $2+4+\cdots +2n=n(n+1)$. Vậy tổng số que là $n^2+n(n+1)=2n^2+n$. Kiểm tra: $n=1$ được 3 que, $n=2$ được 10 que, $n=3$ được 21 que — khớp hình vẽ. Với $n=10$: $2\cdot 10^2+10=210$ que.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+6-(3n+6)=3>0$, nên $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3$ vào $u_n=\frac{n}{3^n-1}$: $u_1=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$; $u_2=\frac{2}{9-1}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$; $u_3=\frac{3}{27-1}=\frac{3}{26}$. Vậy ba số hạng đầu là $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=5$ và $u_{n+1}=u_n+n$: $u_2=u_1+1=6$; $u_3=u_2+2=8$; $u_4=u_3+3=11$; $u_5=u_4+4=15$. Vậy năm số hạng đầu là $5;6;8;11;15$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{2n+5}{5n-4}=\frac{7}{12}$. Nhân chéo: $12(2n+5)=7(5n-4)\Rightarrow 24n+60=35n-28\Rightarrow 11n=88\Rightarrow n=8$. Vậy $\frac{7}{12}$ là số hạng thứ $8$ của dãy, kiểm tra: $u_8=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$ đúng. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy hữu hạn là dãy có số số hạng xác định và kết thúc. Các dãy A, B, D đều có dạng tổng quát với dấu '...' kéo dài vô hạn nên là dãy vô hạn. Riêng dãy C gồm 5 số hạng: $2;5;8;11;14$, kết thúc rõ ràng, nên là dãy hữu hạn.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy có $u_1=-1,u_2=1,u_3=-1,\dots$ Với $u_n=(-1{)}^n$: $u_1=(-1{)}^1=-1$, $u_2=(-1{)}^2=1$, $u_3=(-1{)}^3=-1$, khớp với dãy đã cho. (Lưu ý $u_n=(-1{)}^{n+1}$ cho $u_1=1$, không khớp.) Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy 0.1; 0.01; 0.001; ... có $u_n=10^{-n}=\frac{1}{10^n}$. Biểu diễn thập phân: $u_1=0.1$ (không có số 0 sau dấu phẩy trước chữ số 1), $u_2=0.01$ (1 số 0), $u_3=0.001$ (2 số 0), nên $u_n$ có dạng $\mathrm{0.00...01}$ với $n-1$ số 0. Vậy đáp án B. Kiểm tra: A với $n$ số 0 cho $10^{-(n+1)}$ sai; C $=10^{-(n-1)}$ cho $u_1=1$ sai; D $=10^{-(n+1)}$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $u_n=(-1{)}^n$ nhận hai giá trị $-1$ và $1$ xen kẽ: $u_1=-1,u_2=1,u_3=-1,\dots$ Vì $u_{n+1}-u_n$ lúc dương lúc âm, dãy không tăng, không giảm (và cũng không đổi). Đáp án C.