Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số có số hạng tổng quát $u_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ với $n\ge 1$. Xét hiệu $u_{n+1}-u_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\left(\frac{1}{2}-1\right)=-\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}<0$ với mọi $n\ge 1$. Vậy $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$, tức dãy số giảm. Ví dụ: $1>\frac{1}{2}>\frac{1}{4}>\cdots$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+6-(3n+6)=3>0$ với mọi $n$, nên dãy số $(u_n)$ tăng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy bị chặn là dãy có tồn tại hai số $m,M$ sao cho $m\le u_n\le M$ với mọi $n$. Xét từng dãy:

- A) $u_n=2n\to +\infty$, không bị chặn.
- B) $u_n=\frac{2n+1}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$, với $n\ge 1$ ta có $1\le u_n<2$, nên dãy bị chặn (chặn dưới $1$, chặn trên $2$).
- C) $u_n=\frac{2n+1}{3}\to +\infty$, không bị chặn.
- D) $u_n=3-2n\to -\infty$, không bị chặn.

Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{4n+5}{n+1}=4+\frac{1}{n+1}$: a) $u_1=\frac{9}{2}$ đúng. b) $u_1=\frac{9}{2},u_2=\frac{13}{3},u_3=\frac{17}{4}$, tổng $=\frac{54+52+51}{12}=\frac{157}{12}$ không nguyên nên sai. c) $u_{20}=\frac{85}{21}$ đúng. d) Vì $0<\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{2}$ nên $u_n\le \frac{9}{2}$ với mọi $n$, dãy bị chặn trên, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{4+5}{1+1}=\frac{9}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1+u_2+u_3=\frac{9}{2}+\frac{13}{3}+\frac{17}{4}=\frac{157}{12}$ không phải số nguyên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=\frac{80+5}{21}=\frac{85}{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=4+\frac{1}{n+1}\le 4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$ nên dãy bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=-1$; $u_2=u_1+3=-1+3=2$; $u_3=u_2+3=2+3=5$. Vậy ba số hạng đầu tiên là $-1;2;5$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=-1$; $u_2=u_1+3=-1+3=2$; $u_3=u_2+3=2+3=5$. Vậy ba số hạng đầu tiên là $-1;2;5$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=20$ vào công thức tổng quát: $u_{20}=\frac{3}{20+2}=\frac{3}{22}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=15$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_{15}=\frac{5}{15+5}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_5=\frac{5+2}{3\cdot 5+3}=\frac{7}{18}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=n^2-2n+4$: a) $u_1=1-2+4=3\ne 4$ nên sai. b) $u_5=25-10+4=19$, $u_3=9-6+4=7$, $u_5-u_3=12\ne -5$ nên sai. c) $u_{11}=121-22+4=103\ne 105$ nên sai. d) $u_1=3$, $u_5=19$, $u_8=64-16+4=52$; $u_5-u_1=16\ne u_8-u_5=33$ nên không lập thành cấp số cộng, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=1^2-2\cdot 1+4=3\ne 4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=19$, $u_3=7$ nên $u_5-u_3=12\ne -5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{11}=121-22+4=103\ne 105$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=3$, $u_5=19$, $u_8=52$; hiệu $16\ne 33$ nên không là cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_0=2\cdot 10^9$ là số vi khuẩn ban đầu. Sau mỗi 4 giờ: vi khuẩn tăng $15\%$ rồi bị tiêu diệt $4\cdot 10^8$ con, tức $a_n=1,15a_{n-1}-4\cdot 10^8$. Trước lần dùng thuốc thứ năm nghĩa là đã thực hiện 4 liều và vi khuẩn đang tăng trưởng sau liều thứ tư.

$a_1=2,3\cdot 10^9-0,4\cdot 10^9=1,9\cdot 10^9$

$a_2=1,9\cdot 1,15\cdot 10^9-0,4\cdot 10^9=1,785\cdot 10^9$

$a_3=1,785\cdot 1,15\cdot 10^9-0,4\cdot 10^9=1,65275\cdot 10^9$

$a_4=1,65275\cdot 1,15\cdot 10^9-0,4\cdot 10^9=1,5006625\cdot 10^9$

Trước lần dùng thuốc thứ năm, vi khuẩn tăng thêm $15\%$:
$a_4\cdot 1,15=1,5006625\cdot 1,15\cdot 10^9=1,725761875\cdot 10^9$.

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần dùng thuốc thứ năm là $1725761875$ vi khuẩn (xấp xỉ $1,73\cdot 10^9$).

(AI giải đề cho tôi)
Số hàng thứ tư là $u_4=(-2{)}^4=16$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào công thức tổng quát: $u_5=\frac{5-3}{5+1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Vậy số hàng thứ 5 của dãy số bằng $\frac{1}{3}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy A: $1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};...$ không đơn điệu tăng (có số âm xen kẽ). Dãy B: hằng số $1;1;1;...$ không tăng. Dãy C: $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...$ giảm. Dãy D: $1;3;5;7;9;...$ có $u_{n+1}=u_n+2>u_n$ với mọi $n$, nên là dãy số tăng. Khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A là dãy không đổi (1; 1; 1; ...) nên không giảm; B có $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n<u_n$ với mọi $n$ nên là dãy giảm; C đổi dấu luân phiên nên không đơn điệu; D tăng. Vậy dãy giảm là B, khớp đáp án nguồn (mã 101, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=21$: $u_{21}=\frac{21-1}{21^2+2\cdot 21+3}=\frac{20}{441+42+3}=\frac{20}{486}=\frac{10}{243}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $v_{1003}=(-1{)}^{1003}=-1\ne 1$ nên SAI. b) $(v_n)$ nhận hai giá trị $-1,1$ xen kẽ nên không đơn điệu, không phải dãy giảm → SAI. c) $u_{n+1}-u_n=2$ là cấp số cộng công sai 2, không phải cấp số nhân → SAI. d) $u_n\cdot a_n=(2n+2)(2n-7)=4n^2-10n-14$, với $n\ge 1$ dãy tăng và giá trị nhỏ nhất tại $n=1$ là $-20$, nên dãy bị chặn dưới bởi $-20$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v_{1003}=(-1{)}^{1003}=-1\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(v_n)$ nhận hai giá trị $-1$ và $1$ xen kẽ nên không đơn điệu, không phải dãy giảm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2$ nên $(u_n)$ là cấp số cộng công sai 2, không phải cấp số nhân.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n\cdot a_n=4n^2-10n-14\ge -20$ với mọi $n\ge 1$ (min tại $n=1$), nên dãy bị chặn dưới.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_{n+1}-u_n$ với mỗi dãy:
- A: $u_n=n^2$ tăng nên không giảm.
- B: $u_n=\frac{1}{n^2}$, ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-(n+1{)}^2}{n^2(n+1{)}^2}=\frac{-2n-1}{n^2(n+1{)}^2}<0$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy giảm.
- C: $u_n=2n-1$ tăng.
- D: $u_n=n^3-3$ tăng.
Vậy dãy số giảm là $u_n=\frac{1}{n^2}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $-1;1;-1;1;\dots$ có $u_1=-1$, $u_2=1$, tức $u_n=(-1{)}^n$ (vì $(-1{)}^1=-1$, $(-1{)}^2=1$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=21$: $u_{21}=\frac{21-1}{21^2+2\cdot 21+3}=\frac{20}{441+42+3}=\frac{20}{486}=\frac{10}{243}$. Vậy đáp án B.