Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số tăng là dãy có $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. A: hằng số (không tăng). B: giảm. C: không đơn điệu. D: $-5<-4<-3<-2<-1$ tăng dần, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=21$ vào công thức $u_n=\frac{n-1}{2n+3}$: $u_{21}=\frac{21-1}{2\cdot 21+3}=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=u_1\cdot {\prod }_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{3k}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{3^{n-1}}=\frac{n}{3^n}$. Do đó $\frac{u_n}{n}=\frac{1}{3^n}$, nên $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{10}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{59049}\right)=\frac{29524}{59049}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức truy hồi với $n=1$: $u_2=2u_1+1=2\cdot 1+1=3$. Vậy $u_2=3$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức truy hồi: $u_2=2u_1+1=2\cdot 1+1=3$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 1: A).

Có: $u_n=\frac{n}{n+1}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$

$$\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+2).(n+1)}>0\forall n\in \mathbb{N}$$

Do đó dãy $u_n$ tăng

Mà $0<u_n=\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+1}=1\Rightarrow$ dãy $u_n$ bị chặn

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 3.**

**a) Chứng minh dãy $(a_n)$ giảm.**

Trước tiên chứng minh bằng quy nạp rằng $0<a_n<1$ với mọi $n$.

- Với $n=1$: $a_1=\frac{1}{2}\in (0;1)$.
- Giả sử $0<a_n<1$. Khi đó $a_n^2-a_n+1={\left(a_n-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$, nên $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}$ xác định và $a_{n+1}>0$. Mặt khác vì $a_n^2-a_n+1>a_n^2$ (do $1-a_n>0$) nên $a_{n+1}<1$. Vậy $0<a_{n+1}<1$.

Do đó $0<a_n<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Xét hiệu:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_n(a_n^2-a_n+1)}{a_n^2-a_n+1}=\frac{-a_n(a_n-1{)}^2}{a_n^2-a_n+1}.$$ Vì $a_n>0$, $(a_n-1{)}^2>0$ và $a_n^2-a_n+1>0$ nên $a_{n+1}-a_n<0$ với mọi $n$. Vậy $(a_n)$ là dãy số giảm. $■$

**b) Tính $\lim b_n$.**

Đặt $d_n=\frac{1-a_n}{a_n}=\frac{1}{a_n}-1$ (với $a_n\in (0;1)$ nên $d_n>0$). Khi đó:
$$d_{n+1}=\frac{1-a_{n+1}}{a_{n+1}}=\frac{(a_n^2-a_n+1)-a_n^2}{a_n^2}=\frac{1-a_n}{a_n^2}=\frac{d_n}{a_n}=d_n(1+d_n)=d_n+d_n^2.$$ Suy ra:
$$\frac{1}{d_{n+1}}=\frac{1}{d_n(1+d_n)}=\frac{1}{d_n}-\frac{1}{1+d_n}⟹\frac{1}{1+d_n}=\frac{1}{d_n}-\frac{1}{d_{n+1}}.$$ Mà $\frac{1}{1+d_n}=a_n$, nên ta có công thức truy hồi đẹp:
$$a_n=\frac{1}{d_n}-\frac{1}{d_{n+1}}.$$ Do đó:
$$b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n=\left(\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2}\right)+\left(\frac{1}{d_2}-\frac{1}{d_3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{d_n}-\frac{1}{d_{n+1}}\right)=\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_{n+1}}.$$ Vì $d_1=\frac{1-a_1}{a_1}=1$ nên $b_n=1-\frac{1}{d_{n+1}}$.

Dãy $(d_n)$ tăng ngặt và không bị chặn trên (vì $d_{n+1}=d_n+d_n^2>d_n$ với $d_n>0$, và nếu bị chặn thì tồn tại giới hạn $L\ge 1$ thỏa $L=L+L^2$, vô lý), do đó $d_n\to +\infty$ và $\frac{1}{d_{n+1}}\to 0$.

Vậy:
$$\lim b_n=1-0=1.$$

**Kiểm tra:** $a_1=\frac{1}{2},a_2=\frac{1}{3},a_3=\frac{1}{7},a_4=\frac{1}{43}$; tổng $\approx 0,9994\to 1$. Kết quả đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=3$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_3=2\cdot 3+1=7$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=u_n-\frac{1}{2}$ (điểm bất động của $x\mapsto 3x-1$ là $x=\frac{1}{2}$). Khi đó $v_n=3v_{n-1}$, nên $(v_n)$ là cấp số nhân công bội $3$ với $v_1=u_1-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$. Suy ra $u_n=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}$. Do đó $2u_n-1=-5\cdot 3^{n-1}$, nên $\frac{2u_{2026}-1}{3^{2026}}=\frac{-5\cdot 3^{2025}}{3^{2026}}=-\frac{5}{3}$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=u_n+\frac{1}{2}$. Khi đó $v_n=u_n+\frac{1}{2}=3u_{n-1}-1+\frac{1}{2}=3\left(u_{n-1}+\frac{1}{2}\right)=3v_{n-1}$, nên $(v_n)$ là cấp số nhân công bội $q=3$ với $v_1=-2+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$. Suy ra $u_n=-\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\frac{1}{2}$. Do đó $2u_n-1=-5\cdot 3^{n-1}-2$, nên $$\frac{2u_{2026}-1}{3^{2026}}=\frac{-5\cdot 3^{2025}-2}{3^{2026}}=-\frac{5}{3}-\frac{2}{3^{2026}}\approx -\frac{5}{3}.$$ Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{n+1}=\frac{n+1}{4n}{u}_n$. Suy ra $\frac{u_{n+1}}{n+1}=\frac{u_n}{4n}$, tức là dãy $a_n=\frac{u_n}{n}$ thỏa $a_{n+1}=\frac{a_n}{4}$ với $a_1=\frac{u_1}{1}=\frac{1}{4}$. Vậy $a_n=\frac{1}{4^n}$, tức $u_n=\frac{n}{4^n}$. Do đó $u_1+\frac{u_2}{2}+\cdots +\frac{u_{20}}{20}={\sum }_{n=1}^{20}\frac{1}{4^n}=\frac{\frac{1}{4}\left(1-4^{-20}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\left(1-4^{-20}\right)\approx 0,3333\approx 0,33$. Đáp án A.

1. Dễ dàng chứng minh được $u_n>3\forall n\in N^{\ast }$ bằng pp quy nạp

Mà $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{5}(u_n-3{)}^2\Rightarrow u_{n+1}-u_n>0\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow$ Đây là dãy tăng

2.
Từ công thức truy hồi ta có : $u_{n+1}-3=0,2.(u_n-3)(u_n+2)$

$$\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}-3}=\frac{1}{(u_n-3)}-\frac{1}{(u_n+2)}\Rightarrow \frac{1}{(u_n+2)}=\frac{1}{(u_n-3)}-\frac{1}{u_{n+1}-3}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{u_1+2}+\dots +\frac{1}{u_{2026}+2}=\frac{1}{u_1-3}-\frac{1}{u_{n+1}-3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{u_{n+1}-3}$$

Mà $u_n>3\forall n\in N^{\ast }\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}-3}>0\Rightarrow \frac{1}{2}-\frac{1}{u_{n+1}-3}<\frac{1}{2}\forall n\in N^{\ast }$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $u_n$ là lượng thuốc trong cơ thể ngay sau khi uống thuốc ngày thứ $n$. Sau một ngày chỉ còn $6\%$, nên lượng còn trước khi uống ngày thứ $n+1$ là $0,06\cdot u_n$, do đó $u_{n+1}=150+0,06u_n$, với $u_1=150$.
a) Lượng thuốc còn sau ngày đầu tiên: $150\cdot 6\%=9$ (mg). Đúng.
b) Ngày thứ 2: $u_2=150+0,06\cdot 150=150+9=159$ (mg). Đúng.
c) Ngày thứ 3: $u_3=150+0,06\cdot 159=150+9,54=159,54$ (mg), không phải $159,55$ mg. Sai.
d) Dãy $u_{n+1}=0,06u_n+150$ hội tụ về giới hạn $L=\frac{150}{1-0,06}=\frac{150}{0,94}\approx 159,\mathrm{5744...}$, làm tròn đến hàng phần trăm là $159,57$ mg. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$150\cdot 6\%=9$ (mg).
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=150+0,06\cdot 150=159$ (mg).
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=150+0,06\cdot 159=159,54$ (mg) $\ne 159,55$ mg.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn $L=\frac{150}{0,94}\approx 159,57$ mg.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{n+1}=\frac{(n+1)-8}{(n+1)+1}=\frac{n-7}{n+2}$, nên khẳng định D sai (D ghi $\frac{n+7}{n+2}$). Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\frac{n-7}{n+2}-\frac{n-8}{n+1}=\frac{(n-7)(n+1)-(n-8)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2-6n-7-(n^2-6n-16)}{(n+1)(n+2)}=\frac{9}{(n+1)(n+2)}>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy dãy số tăng, đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n+7}{n+3}=1+\frac{4}{n+3}$. Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{4}{n+4}-\frac{4}{n+3}=\frac{4(n+3)-4(n+4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{-4}{(n+3)(n+4)}<0$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số giảm. Đồng thời $u_{n+1}=\frac{n+8}{n+4}\ne \frac{n+8}{n+3}$ nên D sai. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào số hàng tổng quát: $u_5=\frac{2\cdot 5-3}{5^2}=\frac{10-3}{25}=\frac{7}{25}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy bị chặn là dãy có giới hạn hữu hạn hoặc bị chặn trên và dưới. Xét từng phương án: A) $u_n=2025n+1$ tăng dần không giới hạn, không bị chặn. B) $u_n=2025^n$ tăng rất nhanh, không bị chặn. C) $u_n=1-2025n$ giảm dần không giới hạn, không bị chặn. D) $u_n=\frac{2025}{n+1}$ với mọi $n\ge 1$ thỏa $0<u_n\le \frac{2025}{2}=1012,5$, nên dãy bị chặn (và $\lim u_n=0$). Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số bị chặn là dãy có tồn tại số $M$ sao cho $|u_n|\le M$ với mọi $n$. Xét từng phương án:

A) $u_n=\frac{1}{n+2025}$ với $n\ge 1$ nên $0<u_n\le \frac{1}{2026}$, do đó dãy bị chặn.

B) $u_n=2025-n$ không bị chặn dưới ($u_n\to -\infty$).

C) $|u_n|=2025^n\to \infty$ nên không bị chặn.

D) $u_n=n-2025\to \infty$ nên không bị chặn.

Vậy đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã 1201, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{3n+1}{n^2+2}=\frac{31}{102}$. Từ $3n+1=31$ suy ra $n=10$. Kiểm tra mẫu: $10^2+2=102$, thỏa mãn. Vậy $\frac{31}{102}$ là số hàng thứ 10.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{3n+1}{n^2+2}=\frac{31}{102}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta có $102(3n+1)=31(n^2+2)\iff 306n+102=31n^2+62\iff 31n^2-306n-40=0$. Biệt thức $\Delta =306^2+4\cdot 31\cdot 40=93636+4960=98596=314^2$, nên $n=\frac{306+314}{62}=10$ (nhận, $n$ nguyên dương; nghiệm kia âm). Vậy $\frac{31}{102}$ là số hạng thứ 10, tương ứng đáp án B.