Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{3n+1}{n^2+2}=\frac{31}{102}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta có $102(3n+1)=31(n^2+2)\iff 306n+102=31n^2+62\iff 31n^2-306n-40=0$. Biệt thức $\Delta =306^2+4\cdot 31\cdot 40=93636+4960=98596=314^2$, nên $n=\frac{306+314}{62}=10$ (nhận, $n$ nguyên dương; nghiệm âm loại). Vậy $\frac{31}{102}$ là số hàng thứ $10$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số hàng thứ 8 của dãy là $u_8=8^2+1=64+1=65$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=4$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_4=8-3\cdot 4=8-12=-4$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=4$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_4=8-3\cdot 4=8-12=-4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào công thức: $u_5=\frac{2\cdot 5^2-1}{5^2+3}=\frac{50-1}{25+3}=\frac{49}{28}=\frac{7}{4}$. Kết quả khớp với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 2103 (Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_5=\frac{2\cdot 5^2-1}{5^2+3}=\frac{50-1}{25+3}=\frac{49}{28}=\frac{7}{4}$. Kết quả trùng với đáp án D và khớp với đáp án của đề (mã đề 1246, Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, dãy số $(u_n)$ gọi là dãy giảm nếu $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Do đó đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Do đó đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3$ vào $u_n=\frac{2n}{2^n+1}$: $u_1=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$; $u_2=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$; $u_3=\frac{6}{8+1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Vậy ba số hạng đầu tiên là $\frac{2}{3};\frac{4}{5};\frac{2}{3}$, khớp với đáp án A (đáp án ma đề 101 câu 1 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy tăng là dãy có $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. A: $1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};...$ không tăng (dãy xen kẽ dấu). B: $1;3;5;7;9;...$ có $u_{n+1}-u_n=2>0$ nên là dãy tăng. C: $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...$ là dãy giảm. D: dãy không đổi. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_n$ là lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ $n$. Ta có $a_1=81$. Trước mỗi lần uống, lượng thuốc cũ còn lại $5\%$, nên $a_{n+1}=a_n\cdot 0,05+81$.

a/ Tính trực tiếp:
- $a_1=81$ (mg)
- $a_2=81\cdot 0,05+81=4,05+81=85,05$ (mg)
- $a_3=85,05\cdot 0,05+81=4,2525+81=85,2525\approx 85,25$ (mg)

Vậy sau khi uống viên thuốc ngày thứ 3, lượng thuốc trong cơ thể khoảng $85,25$ mg.

b/ Ta có $a_{n+1}=0,05a_n+81$. Dạng chuẩn: $a_{n+1}-L=0,05(a_n-L)$ với $L=\frac{81}{1-0,05}=\frac{81}{0,95}=\frac{1620}{19}\approx 85,\mathrm{2631...}$

Suy ra $a_n=\frac{1620}{19}+\left(81-\frac{1620}{19}\right)(0,05{)}^{n-1}$. Vì $|0,05|<1$ nên $(0,05{)}^{n-1}\to 0$ khi $n\to \infty$, do đó khi dùng thuốc trong thời gian rất dài, lượng thuốc trong cơ thể tiến tới $\frac{1620}{19}\approx 85,26$ mg.

Vậy lượng thuốc trong cơ thể xấp xỉ $85,26$ mg.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy giảm là dãy có mọi số hạng sau nhỏ hơn số hạng đứng trước. A: $3;0;9$ không giảm ($9>0$). B: $\frac{1}{5}>\frac{1}{10}>\frac{1}{15}$ nên là dãy giảm. C: $\frac{1}{9}<\frac{1}{6}<\frac{1}{3}$ là dãy tăng. D: $7;7;7$ là dãy không đổi. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy giảm là dãy có các số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước. A: $\frac{1}{9}<\frac{1}{6}<\frac{1}{3}$ là dãy tăng. B: $7;7;7$ là dãy không đổi (cả tăng và giảm theo nghĩa rộng, nhưng không phải dãy giảm ngặt). C: $3;0;9$ không đơn điệu. D: $\frac{1}{5}>\frac{1}{10}>\frac{1}{15}$ là dãy giảm. Khớp đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{n-2}{n+1}=1-\frac{3}{n+1}$ tăng theo $n$ (vì $\frac{3}{n+1}$ giảm), không giảm. B) $u_n=2n+5$ tăng. C) $u_n=\frac{1}{n}$: $u_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=u_n$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy giảm. D) $u_n=n^2$ tăng. Vậy dãy giảm là $u_n=\frac{1}{n}$, khớp đáp án nguồn (đề 102, Câu 5 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{n-2}{n+1}$, ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{n-1}{n+2}-\frac{n-2}{n+1}=\frac{(n-1)(n+1)-(n-2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2-1-(n^2-4)}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy tăng. B) $u_n=-2n+5$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=-2<0$. C) $u_n=\frac{1}{n}$ giảm vì $u_{n+1}<u_n$. D) $u_n=-n^2$ giảm vì $-(n+1{)}^2<-n^2$. Vậy dãy tăng là phương án A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A tăng ($1;3;5;7;9;\dots$). B có $u_n=-\frac{n+1}{n+2}$, $u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{(n+3)(n+2)}<0$ nên dãy giảm (các số hạng $-\frac{2}{3}>-\frac{3}{4}>-\frac{4}{5}>\cdots$). C là dãy xen kẽ dấu nên không giảm. D không đơn điệu do có số hạng 5 sau $-4$. Vậy dãy giảm là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=-\frac{n+1}{n+2}$, ta có $u_{n+1}-u_n=-\frac{n+2}{n+3}+\frac{n+1}{n+2}=\frac{-(n+2{)}^2+(n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\frac{-1}{(n+2)(n+3)}<0$ nên dãy giảm. B) $-1;-2;-3;-4;5\dots$ không đơn điệu (nhảy từ $-4$ lên $5$). C) $1;3;5;7;9;\dots$ là dãy tăng. D) $1;-\frac{1}{3};\frac{1}{9};-\frac{1}{27};\dots$ là dãy không đơn điệu (đổi dấu liên tục). Vậy dãy giảm là dãy A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=3-4n$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=-4<0$. B) $u_n=\frac{1}{n}$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<0$. C) $u_n=(-1{)}^n$ không đơn điệu (đan dấu). D) $u_n=\frac{n}{n+1}$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1{)}^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy tăng là đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp theo công thức truy hồi: $u_1=2$; với $n=2$: $u_2=u_1+2=2+2=4$; với $n=3$: $u_3=u_2+3=4+3=7$. Vậy $u_3=7$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=(5/2{)}^n$ với $u_{n+1}-u_n=(5/2{)}^n(5/2-1)>0$ nên dãy tăng. B) $u_n=1/2^n$ giảm vì $u_{n+1}/u_n=1/2<1$. C) $u_n=1/n^2$ giảm. D) $u_n=(-1{)}^n$ không đơn điệu. Vậy dãy tăng là A, khớp đáp án nguồn (Câu 2: A).