Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=12$ vào công thức tổng quát: $u_{12}=13\cdot 12+5=156+5=161$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=3^{-n}+1=\frac{1}{3^n}+1$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3^{n+1}}-\frac{1}{3^n}<0$. B) $u_n=\sin n$ không đơn điệu (ví dụ $\sin 1>\sin 2$ nhưng $\sin 2<\sin 3$). C) $u_{n+1}-u_n=2(n+1)-3-(2n-3)=2>0$ nên dãy tăng. D) $u_n=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}<0$. Vậy dãy tăng là $u_n=2n-3$, khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 1101): a) $u_5=\frac{5+1}{5}=\frac{6}{5}$ không phải số nguyên → Sai. b) $u_{n+1}-u_n=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0$ với mọi $n$ nên dãy tăng → Đúng. c) $S_{10}=\frac{10}{2}(2u_1+9d)=5(10-18)=-40$ → Đúng. d) $u_k=2\cdot 3^{k-1}=162\Rightarrow 3^{k-1}=81=3^4\Rightarrow k=5$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1101: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=\frac{6}{5}=1,2$ không phải số nguyên.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2>0$ nên dãy số tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=\frac{10}{2}(2\cdot 5+9\cdot (-2))=5(-8)=-40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2\cdot 3^{k-1}=162\Rightarrow 3^{k-1}=81\Rightarrow k-1=4\Rightarrow k=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu với mọi số tự nhiên $n\ge 1$ thì $u_{n+1}>u_n$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_{n+1}-u_n=8+\frac{3}{n+1}-\left(8+\frac{3}{n}\right)=3\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{-3}{n(n+1)}<0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy giảm → đúng.
b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(8+\frac{3}{n}\right)=8\ne 11$ → sai.
c) $d=\frac{u_8-u_1}{7}=\frac{7-21}{7}=-2$; $u_{16}=u_1+15d=21-30=-9$ → đúng.
d) Nếu $u_1<0$ và $q>1$ thì $u_{n+1}=u_{n}q<u_n$ (vì $u_n<0$), dãy giảm; ví dụ $u_1=-1,q=2$ cho dãy $-1,-2,-4,\dots$ giảm → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=\frac{-3}{n(n+1)}<0$ nên dãy giảm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(8+\frac{3}{n}\right)=8\ne 11$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d=\frac{7-21}{7}=-2$, $u_{16}=21+15(-2)=-9$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $u_1<0$, $q>1$ thì dãy giảm (ví dụ $-1,-2,-4,\dots$), nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $n\ge 2$, ta có $u_n=u_1+{\sum }_{k=2}^n(2k-3)=3+{\sum }_{k=2}^n(2k-3)$. Tổng ${\sum }_{k=2}^n(2k-3)=2\cdot \frac{(2+n)(n-1)}{2}-3(n-1)=(n-1)(n+2)-3(n-1)=(n-1{)}^2$. Vậy $u_n=3+(n-1{)}^2$ (kiểm tra: $u_1=3$ đúng, $u_2=4=3+1$ vì $u_2-u_1=1$ đúng). Do đó $u_{1000}=3+999^2=3+998001=998004$. Tính $\frac{u_{1000}}{109}=\frac{998004}{109}=9156$ (vì $109\times 9156=998004$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=19$, $u_2=u_1+2=21$, $u_3=u_2+2=23$. Vậy số hạng thứ ba là $u_3=23$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_{n+1}-u_n$ với mỗi dãy. A: $u_n=n^2+2025n$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=2n+2026>0$. B: $u_n=n^{2025}+2026$ tăng vì $u_{n+1}-u_n>0$. C: $u_n=\frac{2026}{2025n}$, ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2026}{2025}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{-2026}{2025n(n+1)}<0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy giảm. D: $u_n=\frac{2024}{2025}n$ tăng vì hệ số dương. Vậy dãy giảm là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=4$ vào số hạng tổng quát: $u_4=\frac{4+2}{3\cdot 4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A. Kết quả này cũng khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 1 = A cho cả Mã đề 316 và 518).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=2$ vào $u_n=\frac{4n-1}{n}$: $u_2=\frac{4\cdot 2-1}{2}=\frac{7}{2}$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 518, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=4$ vào số hàng tổng quát: $u_4=\frac{4+2}{3\cdot 4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 316, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n^2+3n+7}{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)+5}{n+1}=n+2+\frac{5}{n+1}$. Để $u_n$ nguyên thì $n+1\mid 5$, tức $n+1\in \{-5;-1;1;5\}$. Với $n\ge 1$ thì $n+1\ge 2$, chỉ còn $n+1=5\Rightarrow n=4$, khi đó $u_4=6+1=7$ nguyên. Vậy dãy có đúng 1 số hạng nguyên, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề, dãy số $(u_n)$ có công thức $u_{n+1}=2^n+1$. Áp dụng với $n=4$ ta được $u_5=u_{4+1}=2^4+1=16+1=17$. Vậy $u_5=17$, tương ứng phương án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (MD 1112, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề, dãy số $(u_n)$ có $u_{n-1}=2^n+1$. Muốn tính $u_5$, ta đặt $n-1=5\Rightarrow n=6$. Khi đó $u_5=2^6+1=64+1=65$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (MD 1111, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=-1$ và $u_{n+1}=u_n+4n$, ta có với $n\ge 2$: $u_n=u_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}4k=-1+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}=2n^2-2n-1$. Kiểm tra: $u_1=2-2-1=-1$ đúng; $u_2=-1+4=3=8-4-1$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_{n+1}=u_n+4n$ và $u_1=-1$, ta có với $n\ge 2$: $u_n=u_1+4(1+2+\cdots +(n-1))=-1+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}=2n^2-2n-1$. Kiểm tra: $u_1=2-2-1=-1$ đúng; $u_2=u_1+4=3$ và $2\cdot 4-4-1=3$ đúng. Vậy $u_n=2n^2-2n-1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thử nhận xét $u_n=10^n+n$: với $n=1$, $u_1=10+1=11$ đúng. Kiểm tra truy hồi: $10u_n+1-9n=10(10^n+n)+1-9n=10^{n+1}+n+1=u_{n+1}$ đúng với mọi $n$. Vậy $u_{2025}=10^{2025}+2025$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 5.**

**Phần 1.** Dãy số: $u_1=1$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2u_n+\frac{n-1}{n^2+3n+2}\right)=\frac{2}{3}{u}_n+\frac{1}{3}\cdot \frac{n-1}{(n+1)(n+2)}$.

Đây là phương trình truy hồi tuyến tính cấp một với hệ số $\frac{2}{3}$. Ta tìm một nghiệm riêng dạng $u_n^p=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$. Thay vào phương trình truy hồi và nhân hai vế với $n(n+1)(n+2)$:
$$An(n+2)+Bn(n+1)=\frac{2}{3}\left[A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)\right]+\frac{1}{3}n(n-1).$$
So sánh hệ số của $n^2$: $A+B=\frac{2A+2B+1}{3}\Rightarrow A+B=1$.
So sánh hệ số của $n$: $2A+B=2A+\frac{4B}{3}-\frac{1}{3}\Rightarrow B=1$, suy ra $A=0$ (kiểm tra hệ số tự do: $0=\frac{4A}{3}$ đúng).
Vậy nghiệm riêng là $u_n^p=\frac{1}{n+1}$.

Nghiệm tổng quát: $u_n=C{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}+\frac{1}{n+1}$. Với $u_1=1$: $C+\frac{1}{2}=1\Rightarrow C=\frac{1}{2}$.
$$u_n=\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}+\frac{1}{n+1}.$$
Kiểm tra: $u_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ ✓; $u_3=\frac{2}{9}+\frac{1}{4}=\frac{17}{36}$, và trực tiếp $u_3=\frac{1}{3}\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{12}\right)=\frac{17}{36}$ ✓.

Vậy $u_{2026}=\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2025}+\frac{1}{2027}$.

**Phần 2.** Gọi $q=1,003$ (lãi suất $0,3\%$/tháng, lãi kép).

- Tháng $1$ đến tháng $24$: lương $6000000$ đ, tiết kiệm mỗi tháng $30\%\cdot 6000000=1800000$ đ.
- Sau 24 tháng tăng lương $10\%$: lương tháng $25$ đến tháng $36$ là $6600000$ đ, tiết kiệm mỗi tháng $1980000$ đ.

Người đó nhận lương đầu tháng và gửi ngay vào ngân hàng, nên khoản gửi vào đầu tháng $k$ nhân với $q^{37-k}$ sau khi hết tháng $36$. Tổng tiền sau 36 tháng:
$$T=1800000\sum _{k=1}^{24}{q}^{37-k}+1980000\sum _{k=25}^{36}{q}^{37-k}=1800000\sum _{j=13}^{36}{q}^j+1980000\sum _{j=1}^{12}{q}^j.$$

Tính các tổng cấp số nhân:
- $q^{12}=1,003^{12}\approx 1,0366001$, nên ${\sum }_{j=1}^{12}{q}^j=\frac{q^{12}-1}{q-1}=\frac{0,0366001}{0,003}\approx 12,200034$.
- $q^{24}={\left(q^{12}\right)}^2\approx 1,0745398$, nên ${\sum }_{j=1}^{24}{q}^j=\frac{0,0745398}{0,003}\approx 24,846590$.
- ${\sum }_{j=13}^{36}{q}^j=q^{12}{\sum }_{j=1}^{24}{q}^j\approx 1,0366001\times 24,846590\approx 25,755980$.

Do đó:
$$T\approx 1800000\times 25,755980+1980000\times 12,200034\approx 46360764+24156067\approx 70516831\text{ đ}.$$

**Kết luận:**
1. $u_{2026}=\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2025}+\frac{1}{2027}$.
2. Sau 36 tháng, tổng số tiền người đó tiết kiệm được xấp xỉ $70516831$ đồng (khoảng $70,5$ triệu đồng).

Đáp án (theo lời giải tham khảo, trang 6): Các số tự nhiên $n$ cần tìm là các số nguyên dương thỏa mãn $n\equiv 1$ hoặc $n\equiv 3(\mathrm{mod}8)$ và $n$ không là lũy thừa của 3.

Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với tìm tất cả số tự nhiên $n$ thỏa mãn với mọi số nguyên dương $t$ thì tồn tại $k$ thỏa mãn
$$2^t\mid 3^k-n.$$
Trước hết, để ý rằng tất cả các số dư của $3^k$ modulo 8 đều thuộc tập $\{1,3\}$ do đó nếu $n$ không đồng dư 1 hoặc 3 modulo 8 thì ta có $8\nmid 3^k-n$ với mọi số tự nhiên $k$ do đó $v_2(3^k-n)⩽2$ với mọi $k$ hay dãy số trên bị chặn.
Ta sẽ chứng minh với $n$ là số nguyên dương thoả $n\equiv 1,3(\mathrm{mod}8)$ và $n$ không là lũy thừa của 3 thì dãy trên sẽ không bị chặn. Với $t=1,2,3$ thì từ điều kiện của $n$ thì dễ dàng thấy rằng tồn tại $k$ để $2^t\mid 3^k-n$. Giả sử với $t⩾3$ nào đó thì ta đã có số nguyên dương $k$ để $2^t\mid 3^k-n$, ta sẽ chỉ ra số nguyên dương $h$ mà $2^{t+1}\mid 3^h-n$. Đặt $3^k-n=2^{t}x$, nếu $x$ chẵn thì ta chọn $h=k$ thì thấy thoả mãn.
Khi mà $x$ lẻ ta xét $h=k+2^{t-2}$ thì khi này ta có
$$3^h-n=3^{2^{t-2}+k}-3^k+2^{t}x=3^k(3^{2^{t-2}}-1)+2^t\cdot x.$$
Mặt khác, theo $LTE$ ta cũng có
$$v_2(3^{2^{t-2}}-1)=v_2(3^2-1)+v_2(2^{t-3})=3+t-3=t$$
do đó ta viết được $3^k(3^{2^{t-2}}-1)$ dưới dạng $2^{t}y$ với $y$ là số lẻ, từ đó có
$$3^h-n=2^t(x+y)$$
chia hết cho $2^{t+1}$, như vậy cũng tồn tại $h$ để $2^{t+1}\mid 3^h-n$, theo quy nạp ta thấy rằng với mọi $t$ thì luôn tồn tại $k$ để $2^t\mid 3^k-n$ hay nói cách khác dãy $v_2(3^k-n)$ không bị chặn. $\square$

(AI giải đề cho tôi)
Từ công thức $u_{n-1}=2^n+1$, để tính $u_5$ ta đặt $n-1=5\Rightarrow n=6$. Khi đó $u_5=2^6+1=64+1=65$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 212, câu 4: D).