Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Cả hai mẫu đều có giá trị nhỏ nhất thuộc nhóm [1;1,5) và lớn nhất thuộc nhóm [3,5;4), nên khoảng biến thiên $R=4-1=3$ cho cả hai mẫu. Đúng.

b) Năm 2023, $n=100$, trung vị là trung bình của giá trị thứ 50 và 51. Tần số tích lũy: 10, 30, 55 nên trung vị thuộc nhóm $[2;2,5)$: $Q_2=2+\frac{50-30}{25}\cdot 0,5=2+0,4=2,4=\frac{12}{5}$. Đúng.

c) Năm 2024, giá trị đại diện: 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25; 3,75 với tần số 14; 20; 24; 26; 10; 6. Tổng $=17,5+35+54+71,5+32,5+22,5=233$, suy ra $\bar{x}=2,33$ kg, không phải 2,47 kg. Sai.

d) Năm 2023: $\bar{x}=2,47$; $\sum n_i{x}_i^2=666,75$ nên $s^2=6,6675-2,47^2\approx 0,5666$. Năm 2024: $\bar{x}=2,33$; $\sum n_i{x}_i^2=591,25$ nên $s^2=5,9125-2,33^2\approx 0,4836$. Vì phương sai năm 2024 nhỏ hơn, cân nặng năm 2024 đồng đều hơn năm 2023. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu có min thuộc [1;1,5) và max thuộc [3,5;4), nên $R=4-1=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy 10, 30, 55; $Q_2=2+\frac{50-30}{25}\cdot 0,5=2,4=\frac{12}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $n_i{x}_i=233$ nên $\bar{x}=2,33$ kg $\ne 2,47$ kg.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s_{2023}^2\approx 0,5666>s_{2024}^2\approx 0,4836$, nên năm 2024 đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 12A có n=40, Q3 ở vị trí thứ 30. Tần số tích lũy: 5, 12, 24, 34, 40 nên Q3 thuộc nhóm [40;50): Q3 = 40 + 10·(30−24)/10 = 46 ≠ 45 → a) Sai. Lớp 12B có n=30, giá trị đại diện 15,25,35,45,55: trung bình = (3·15+5·25+8·35+2·45+12·55)/30 = 1200/30 = 40 phút ≠ 39 → b) Sai. Giá trị đại diện nhóm [10;20) là (10+20)/2 = 15 → c) Đúng. Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm = 60 − 10 = 50 phút cho cả hai lớp → d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
n=40, Q3 ở vị trí 30, thuộc nhóm [40;50): Q3 = 40 + 10·(30−24)/10 = 46 ≠ 45.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình lớp 12B = (3·15+5·25+8·35+2·45+12·55)/30 = 1200/30 = 40 phút ≠ 39.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện = (10+20)/2 = 15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên mẫu ghép nhóm = 60 − 10 = 50 phút cho cả hai lớp.

(AI giải đề cho tôi)
Thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện: 75; 125; 175; 225; 275 với tần số tương ứng 5; 10; 9; 4; 2 (n = 30). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 75+10\cdot 125+9\cdot 175+4\cdot 225+2\cdot 275}{30}=\frac{4650}{30}=155$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=5\cdot 75^2+10\cdot 125^2+9\cdot 175^2+4\cdot 225^2+2\cdot 275^2=28125+156250+275625+202500+151250=813750$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{813750}{30}-155^2=27125-24025=3100$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{3100}\approx 55,68\approx 55,7$ km. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Phần III Câu 6: 55,7).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 75; 125; 175; 225; 275 với tần số tương ứng 5; 10; 9; 4; 2, nên n = 30. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{5\cdot 75+10\cdot 125+9\cdot 175+4\cdot 225+2\cdot 275}{30}=\frac{4650}{30}=155$ (km). Phương sai mẫu: $s^2=\frac{5(75-155{)}^2+10(125-155{)}^2+9(175-155{)}^2+4(225-155{)}^2+2(275-155{)}^2}{30}=\frac{32000+9000+3600+19600+28800}{30}=\frac{93000}{30}=3100$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{3100}\approx 55,7$ km. Kết quả khớp với đáp án nguồn 55,7.

Tần số tích lũy: 5; 15; 24; 28; 30 với $n=30$.
• Ta có $\frac{n}{4}=7,5$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{n}{4}$:
$$Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=\frac{225}{2}$$
• Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{3n}{4}$:
$$Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\cdot 50=\frac{575}{3}$$
• Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=\frac{475}{6}\approx 79,2$.

a) Khoảng biến thiên về thời gian tập thể dục của học sinh lớp 12A và 12B là: $$60-10=50\text{ phuˊt}.$$ » Chọn ĐÚNG.
b) Giá trị đại diện của nhóm $[10;20)$ là 15. » Chọn ĐÚNG.
c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 12A là: $s_{12A}\approx \sqrt{150,94}\approx 12,29$ phút. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 12B là: $s_{12B}\approx \sqrt{198,33}\approx 14,08$ phút. Do $s_{12A}<s_{12B}$ nên học sinh lớp 12A có thời gian tập thể dục đồng đều hơn học sinh lớp 12B. » Chọn ĐÚNG.
d) Thời gian tập thể dục trung bình của học sinh hai lớp 12A và 12B lần lượt là: ${\overline{x}}_{12A}\approx 36,25$ phút; ${\overline{x}}_{12B}\approx 40$ phút. » Chọn SAI.
a) Khoảng biến thiên về thời gian tập thể dục của học sinh lớp 12A và 12B là: $$60-10=50\text{ phuˊt}.$$ » Chọn ĐÚNG.
b) Giá trị đại diện của nhóm $[10;20)$ là 15. » Chọn ĐÚNG.
c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 12A là: $s_{12A}\approx \sqrt{150,94}\approx 12,29$ phút. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 12B là: $s_{12B}\approx \sqrt{198,33}\approx 14,08$ phút. Do $s_{12A}<s_{12B}$ nên học sinh lớp 12A có thời gian tập thể dục đồng đều hơn học sinh lớp 12B. » Chọn ĐÚNG.
d) Thời gian tập thể dục trung bình của học sinh hai lớp 12A và 12B lần lượt là: ${\overline{x}}_{12A}\approx 36,25$ phút; ${\overline{x}}_{12B}\approx 40$ phút. » Chọn SAI.

Tần số tích lũy: 5; 15; 24; 28; 30 với $n=30$.
• Ta có $\frac{n}{4}=7,5$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{n}{4}$: $$Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}.50=\frac{225}{2}$$
• Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{3n}{4}$: $$Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}.50=\frac{575}{3}$$
• Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=\frac{475}{6}\approx 79,2$

Tìm $Q_1:Q_1-7+\frac{12.5-6}{9}.(8-7)\approx 7.722$. Tìm $Q_3:Q_3-9+\frac{37.5-35}{15}.(10-9)\approx 9.167$. Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1-9.167-7.722-1.445\approx 1.45$. (Ghi chú: bản gốc in dấu trừ trong công thức ${\Delta }_Q$; về toán học ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9.167-7.722=1.445\approx 1.45$.)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=50$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=12,5$ và $\frac{3n}{4}=37,5$.

Tần số tích lũy: $1;6;15;35;50$.

- $Q_1$ thuộc nhóm $[7;8)$ (vì $6<12,5\le 15$):
$$Q_1=7+\frac{12,5-6}{9}\cdot 1=7+\frac{6,5}{9}\approx 7,7222.$$

- $Q_3$ thuộc nhóm $[9;10)$ (vì $35<37,5\le 50$):
$$Q_3=9+\frac{37,5-35}{15}\cdot 1=9+\frac{2,5}{15}\approx 9,1667.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 9,1667-7,7222=1,4444\approx 1,44.$$

Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của các nhóm: 4; 6; 8; 10; 12 (nghìn bước) với tần số 6; 7; 6; 6; 5, n = 30. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 4+7\cdot 6+6\cdot 8+6\cdot 10+5\cdot 12}{30}=\frac{234}{30}=7,8$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=6\cdot 16+7\cdot 36+6\cdot 64+6\cdot 100+5\cdot 144=2052$, nên $s^2=\frac{2052}{30}-7,8^2=68,4-60,84=7,56$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{7,56}\approx 2,75$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 100; 300; 500; 700; 900 với tần số 29; 11; 3; 4; 3 (n=50). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{29\cdot 100+11\cdot 300+3\cdot 500+4\cdot 700+3\cdot 900}{50}=\frac{13200}{50}=264$. Tổng bình phương lệch: $29(100-264{)}^2+11(300-264{)}^2+3(500-264{)}^2+4(700-264{)}^2+3(900-264{)}^2=779984+14256+167088+760384+1213488=2935200$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{2935200}{50}=58704$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{58704}\approx 242,29\approx 242,3$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 1, 3, 5, 7 với tần số 15, 8, 7, 10. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{15\cdot 1+8\cdot 3+7\cdot 5+10\cdot 7}{40}=\frac{144}{40}=3,6$. Phương sai: $s^2=\frac{15\cdot 1^2+8\cdot 3^2+7\cdot 5^2+10\cdot 7^2}{40}-3,6^2=\frac{752}{40}-12,96=18,8-12,96=5,84$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=5$, nhóm chứa giá trị thứ 5 là $[3,0;3,5)$ (cumulative 3, 8). Vậy $Q_1=3,0+\frac{0,5(5-3)}{5}=3,2$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=15$, nhóm chứa giá trị thứ 15 là $[4,0;4,5)$ (cumulative 12, 18). Vậy $Q_3=4,0+\frac{0,5(15-12)}{6}=4,25$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=4,25-3,2=1,05$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+7+9+4+2+1=25$. Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{n}{4}=6,25$ thuộc nhóm $[65;70)$ (lũy tích đến 65 là 2): $Q_1=65+\frac{6,25-2}{7}\cdot 5=65+\frac{21,25}{7}\approx 68,036$. Tứ phân vị thứ ba ở vị trí $\frac{3n}{4}=18,75$ thuộc nhóm $[75;80)$ (lũy tích đến 75 là 18): $Q_3=75+\frac{18,75-18}{4}\cdot 5=75+0,9375=75,9375$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 75,9375-68,036\approx 7,90$, gần nhất với $7,9$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=84$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{84}{4}=21$, nằm trong nhóm $[20;40)$ nên $Q_1=20+\frac{21-10}{18}\cdot 20=20+\frac{220}{18}\approx 32,222$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 84}{4}=63$, nằm trong nhóm $[60;80)$ (cumulative đến 60 là 52) nên $Q_3=60+\frac{63-52}{20}\cdot 20=71$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=71-\frac{1100}{54}\approx 38,8$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số $n=20$. Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75;x_5=4,05$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{232,47}{20}-3,39^2=11,6235-11,4921=0,1314\approx 0,13$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=200$, nên tứ phân vị thứ nhất là giá trị đứng ở vị trí $\frac{n}{4}=50$ và tứ phân vị thứ ba là giá trị đứng ở vị trí $\frac{3n}{4}=150$.

• $Q_1$: vì tần số tích lũy của nhóm $[8,5;8,8)$ là 20 < 50 và của nhóm $[8,8;9,1)$ là 55 ≥ 50, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[8,8;9,1)$ có $n_2=35$, $c{f}_1=20$:
$$Q_1=8,8+\frac{50-20}{35}\cdot 0,3=8,8+\frac{9}{35}\approx 9,0571.$$

• $Q_3$: vì tần số tích lũy của nhóm $[9,1;9,4)$ là 115 < 150 và của nhóm $[9,4;9,7)$ là 170 ≥ 150, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[9,4;9,7)$ có $n_4=55$, $c{f}_3=115$:
$$Q_3=9,4+\frac{150-115}{55}\cdot 0,3=9,4+\frac{21}{110}\approx 9,5909.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 9,5909-9,0571=0,5338\approx 0,53.$$

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (trang 12, mã đề 1202, dòng 22): 0,53.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 42,5; 47,5; 52,5; 57,5; 62,5; 67,5 với tần số 4; 14; 8; 10; 6; 2. Tần số cộng $n=44$. Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{4\cdot 42,5+14\cdot 47,5+8\cdot 52,5+10\cdot 57,5+6\cdot 62,5+2\cdot 67,5}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53,18$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 1806,25+14\cdot 2256,25+8\cdot 2756,25+10\cdot 3306,25+6\cdot 3906,25+2\cdot 4556,25=126475$. Phương sai: $s^2=\frac{126475}{44}-{\left(\frac{2340}{44}\right)}^2\approx 46,1$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=20$. Tần số tích lũy: $3;9;14;18;20$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=5$, thuộc nhóm $[3,0;3,3)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 3):
$$Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,0+0,1=3,1.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=15$, thuộc nhóm $[3,6;3,9)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 14):
$$Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,6+0,075=3,675.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575.$$

Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn.