Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không nghịch biến trên hợp của hai khoảng này (vì không liên tục tại $x=1$) và không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (8.B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=x^3-3x^2-14$, $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- B: $y=x^3-x^2+12x-9$, $y^{\prime }=3x^2-2x+12$ có $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 12=4-144=-140<0$ và hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=\frac{2x-2}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=x^4+2x^2$, $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (10.B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không thể nói nghịch biến trên $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ hay trên $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn 12.B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^3-3x^2-1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-x^2+6x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-2x+6$ với $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 6=4-72=-68<0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{x-2}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng không xác định tại $x=-1$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^4+2x^2-1$ có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1.B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(-1)(x-1)-(-x+2)(1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-x+1+x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nhưng không nghịch biến trên hợp $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ (do không liên tục tại $x=1$) và không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (2.B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (đạt giá trị $-2$) và một điểm cực đại tại $x=0$ (đạt giá trị $-1$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$, tương ứng đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án đã cho (C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 12 (Mã đề 132): hàm số có điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-2$) và điểm cực đại tại $x=2$ (giá trị $2$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án D của câu 12 trong bảng mã đề 132.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(3;2024)\subset (2;+\infty )$ là khoảng nghịch biến. Đáp án A sai vì trên $(0;2)$ hàm đồng biến; C sai vì $(-\infty ;2)$ chứa $(0;2)$ nơi hàm đồng biến; D sai vì $(0;+\infty )$ chứa $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ (đổi dấu từ âm sang dương) và $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1$ (tiếp xúc, không đổi dấu). Trên $(-2;1)$ và $(1;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đồng biến trên các khoảng này. Trong các đáp án, chỉ có $(1;+\infty )$ thỏa mãn. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2-18x-24=6(x-4)(x+1)$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<4$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;4)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-3x(x-2)>0\iff 0<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, hàm số $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=1$ và $x=3$. Trên khoảng $(1;3)$ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$, do đó $f(x)$ đồng biến trên $(1;3)$. Trên $(-\infty ;-2)$ và $(3;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f(x)$ nghịch biến; trên $(0;2)$ chứa điểm $x\in (0;1)$ nơi $f^{\prime }(x)<0$ nên $f(x)$ không đồng biến. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-5)$ và $(-1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-5;-1)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$, khớp với đáp án C trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
A) $y=x^2+2x+3$ có $y^{\prime }=2x+2$ đổi dấu tại $x=-1$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B) $y=x^3+x+1$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
C) $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D) $y=\frac{x+1}{x+3}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol bậc hai với bề lõm hướng lên trên, đỉnh tại $(1;-3)$ (đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ trên trục tung). Với parabol $a>0$, hàm số nghịch biến trên khoảng bên trái đỉnh $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên khoảng bên phải đỉnh $(1;+\infty )$. Do đó A sai (hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$), B sai, D sai (khoảng $(-\infty ;-3)$ không phải khoảng nghịch biến theo đỉnh). Phát biểu đúng là C: hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+3x-5$, ta có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-3(x-1)(x+1)>0\iff -1<x<1$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{2x+1}{x-3}$, $y^{\prime }=\frac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3{)}^2}=\frac{-7}{(x-3{)}^2}<0$ trên từng khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$, nhưng hàm không nghịch biến trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3\}$ (không so sánh được giá trị qua điểm gián đoạn).
- B: $y=-x^3+2x^2-15x-1$, $y^{\prime }=-3x^2+4x-15$. Tam thức có $a=-3<0$, $\Delta =16-4\cdot (-3)\cdot (-15)=16-180=-164<0$ nên $y^{\prime }<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ = tập xác định của nó.
- C: $y=-2x^2+1$ chỉ nghịch biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=x^3-2x^2+2024x+5$, $y^{\prime }=3x^2-4x+2024$ có $\Delta =16-4\cdot 3\cdot 2024<0$, $a>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$: hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy hàm nghịch biến trên tập xác định là hàm ở đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;0)$, tại $x=0$ hàm số không xác định (đồ thị đi từ $-\infty$ đến $+\infty$, có tiệm cận đứng), $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;1)$, và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$, tức là nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$ (trừ điểm $x=0$ không thuộc tập xác định). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 14: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=2$) và cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $y=-2$). Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức $(a;b)=(0;2)$, nên $a=0$, $b=2$. Do đó $a+2b=0+2\cdot 2=4$.