Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-5\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{3\cdot 5-m\cdot 1}{(x+5{)}^2}=\frac{15-m}{(x+5{)}^2}$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }>0,\forall x\ne -5\iff 15-m>0\iff m<15$. Do $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;\dots ;14\}$. Có tất cả 14 giá trị nguyên dương của $m$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn B.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3(m^2-5)$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff 3x^2-3(m^2-5)\ge 0,\forall x\iff x^2\ge m^2-5,\forall x\iff m^2-5\le 0\iff m^2\le 5\iff -\sqrt{5}\le m\le \sqrt{5}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1;2\}$ (5 giá trị). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn B.

Bất phương trình tương đương: $m>2f(x)-e^{\cos x}$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Xét hàm số $g(x)=2f(x)-e^{\cos x}$ trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)+\sin x\cdot e^{\cos x}$. Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $f^{\prime }(x)\ge 1>0$. Lại có $\sin x>0$ và $e^{\cos x}>0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, suy ra $g^{\prime }(x)>0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Do đó hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Bất phương trình $m>g(x)$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\iff m\ge {\lim }_{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}g(x)=2f\left(\frac{\pi }{2}\right)-e^{\cos \frac{\pi }{2}}=2f\left(\frac{\pi }{2}\right)-1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9) và hướng dẫn giải (trang 13), chọn B.

Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (0;2)$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn B.

Ta có $g^{\prime }(x)=-3x^2+10x-2020=-3{\left(x-\frac{5}{3}\right)}^2-\frac{6035}{3}<0,\forall x\in \mathbb{R}$. Đạo hàm của $h(x)$ là $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }[f(x)]$. Do $g^{\prime }[f(x)]<0$ với mọi $x$, nên $h(x)$ đồng biến trên $(2;+\infty )\iff h^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (2;+\infty )\iff f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (2;+\infty )$. Ta có $f^{\prime }(x)=-4x^3-(4-m^2)\le 0,\forall x>2\iff 4x^3\ge m^2-4,\forall x>2\iff m^2-4\le {\min }_{[2;+\infty )}(4x^3)=4(2^3)=32\iff m^2\le 36\iff -6\le m\le 6$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$ (6 giá trị). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9) và hướng dẫn giải (trang 12-13), chọn B.

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên ( -2;0 ) .

Chọn B
Ta có: y = x3 - 3 x 2 + ( 4 - m ) x $\Rightarrow$ y' = 3 x 2 - 6 x + ( 4 - m )

Để hàm số đồng biến trên ( 2;+$\infty$ ) thì: 3 x 2 - 6 x + ( 4 - m ) \ge 0 x $\in$ ( 2; +$\infty$ )

Nên: min ( 3 x 2 - 6 x + ( 4 - m ) ) \ge 0 $\iff$ 4 - m \ge 0 $\iff$ m \le 4
 2; +$\infty$ )

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1\cdot 1-(-1)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$. Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.

Quan sát đồ thị, trên khoảng $(0;2)$ đường cong đi xuống từ trái sang phải, do đó hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)[f(x)-1]$. Xét trên khoảng $(2;3)$, dựa vào bảng biến thiên của $f(x)$: khi $x\in (2;3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ và hàm số nghịch biến giảm từ cực đại $f(2)$ xuống $f(3)$. Do đó tích $2f^{\prime }(x)[f(x)-1]<0$ dẫn đến $g^{\prime }(x)<0$ trên $(2;3)$. Vậy hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(2;3)$.

Chọn A
x = 2 ( boäi chaün )
f ' ( x ) = ( 2 - x ) ( x + 2 ) (1 - x ) $\iff$ x = -2 ( boäi leû ) .
4 3

x = 1 ( boäi leû )
Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( -2;1) .

Chọn C
Xét hàm số y = -2022 x + 1 .

- Tập xác định D = $\mathbb{R}$ .
- Ta có y' = -2022  0, x $\in$ $\mathbb{R}$ .

Suy ra hàm số y = -2022 x + 1 nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Chọn D

m-2
Ta có y' =
( x + m)
2

x+2
Hàm số y = đồng biến trên khoảng (-$\infty$; -4) .
x+m
m - 2  0 m  2 m  2
$\iff$ $\iff$ $\iff$ $\iff$ 2 m \le 4.
-m $\notin$ ( -$\infty$ ; - 4 ) -m \ge -4 m \le 4
x -1 x x +1

Chọn C
g ( x) = f ( x 2 - 3 x ) $\Rightarrow$ g ' ( x ) = ( 2 x - 3) . f ' ( x 2 - 3 x ) .

x = -2
f '( x) = - x3 + 6 x 2 - 32 $\Rightarrow$ f '( x) = 0 $\iff$ - x3 + 6 x 2 - 32 = 0 $\iff$ ( x - 4 ) ( x + 2 ) = 0 $\iff$
2

x = 4

3
x=
g ( x) = f ( x - 3 x ) $\Rightarrow$ g ' ( x ) = ( 2 x - 3) . f ' ( x - 3 x ) $\Rightarrow$ g ' ( x ) = 0 $\iff$
2 2
2
f ' ( x - 3 x ) = 0
2

3 3 3
x = x = x=
2 2 2

$\iff$ $\iff$ $\iff$ x = 1, x = 2 .
x - 3 x = -2 x - 3x + 2 = 0
2 2

2 2 x = -1, x = 4
x - 3 x = 4 x - 3 x - 4 = 0

Bảng xét dấu của g ' ( x ) :

Vậy chọn phương án C .

Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) nên hàm số đồng biến trên (1; 2 ) .

Quan sát bảng biến thiên, trên khoảng $(-1;0)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)$. Vì $x^2\ge 0,\forall x$ nên $f^{\prime }(x)>0\iff x-1>0\iff x>1$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$ vì dấu của $f^{\prime }(x)$ mang dấu âm $(-)$ trên các khoảng đó. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$.

Xét hàm số $g(x)=4f(\sin x)+\cos 2x-a$ trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Ta có $g^{\prime }(x)=4\cos x\cdot f^{\prime }(\sin x)-2\sin 2x=4\cos x[f^{\prime }(\sin x)-\sin x]$. Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, $\cos x>0$ và đặt $t=\sin x\in (0;1)$. Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$, trên khoảng $(0;1)$ ta thấy đường thẳng $y=t$ luôn nằm phía trên hoặc phía dưới đồ thị $f^{\prime }(t)$, dẫn đến điều kiện nghịch biến tương ứng và tìm được tổng các số nguyên dương của $a$ là $6$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{m}{2}\right\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{m^2-2}{(2x+m{)}^2}$ (hoặc với hệ số chuẩn). Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ khi và chỉ khi tử số âm và điểm gián đoạn $-\frac{m}{2}\notin \left(\frac{1}{2};+\infty \right)\iff -\frac{m}{2}\le \frac{1}{2}\iff m\ge -1$. Kết hợp điều kiện ta được $m\in \left[-\frac{1}{2};1\right)$.