Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Đây là tam thức bậc hai với $3a\ne 0$, điều kiện là: $\{\begin{array}{l}3a>0\\ {\Delta }^{\prime }\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ b^2-3ac\le 0\end{array}$.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta có $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (-\infty ;-2)$ và $x\in (1;4)$.
Vì $(-3;-2)\subset (-\infty ;-2)$ nên hàm số nghịch biến trong khoảng $(-3;-2)$.

Chọn đáp án D.

Xét từng hàm số:
- Các hàm số đa thức bậc chẵn $y=x^4+3x^2+1$ và $y=x^2+x+1$ có đạo hàm đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số phân thức $y=\frac{x-1}{x+2}$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số $y=x^3+x^2+5x+1$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$ và $y^{\prime }=3x^2+2x+5$.
Tam thức bậc hai $3x^2+2x+5$ có $a=3>0$ và ${\Delta }^{\prime }=1^2-3\cdot 5=-14<0$, nên $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy trong 4 hàm số đã cho, có đúng $1$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn đáp án B.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$.

Xét hàm số $y=-2x^3+3x^2-6x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Đạo hàm $y^{\prime }=-6x^2+6x-6=-6(x^2-x+1)=-6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{9}{2}<0,\forall x\in \mathbb{R}$.

Do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến khi $f^{\prime }(x)\le 0$, tức là phần đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới trục hoành $Ox$.
Từ hình vẽ, trên khoảng $\left(1;\frac{11}{5}\right)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm dưới trục hoành, nên hàm số $f(x)$ nghịch biến.
Chọn đáp án D.

Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
Từ đồ thị, ta thấy nhánh đồ thị đi lên từ trái sang phải trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, tức là $y^{\prime }>0,\forall x\ne -1$.
Chọn đáp án B.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm mang dấu dương ($f^{\prime }(x)>0$) trên khoảng $(1;+\infty )$ và $(-\infty ;-1)$. Trong các phương án, hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$ (cũng như $(-1;0)$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn D.

Xét hàm số $y=x^3+x$, ta có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn C.

Nhìn đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.

+ Xét phương án A: Ta có $y^{\prime }=-3x^2+1=0⟺x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Hàm số đồng biến trên $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Phương án A không thỏa mãn.

+ Xét phương án B: Ta có $y^{\prime }=\frac{-4}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$. Phương án B không thỏa mãn.

+ Xét phương án C: Ta có $y^{\prime }=4x^3-2x=0⟺x=0$ hoặc $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Hàm số đồng biến trên $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};0\right)$ và $\left(\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$. Khi đó hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$. Phương án C thỏa mãn.

Hàm số $f(x)=2022^x-2022^{-x}$ xác định $\forall x\in \mathbb{R}$, là hàm số lẻ và có $f^{\prime }(x)=(2022^x+2022^{-x})\ln 2022>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta có $f(m)+f(3m+2021)<0⟺f(m)<-f(3m+2021)=f(-3m-2021)⟺m<-3m-2021⟺m<-\frac{2021}{4}=-505,25$.

Vậy số nguyên $m$ lớn nhất là $-506$.

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên các khoảng mà $f^{\prime }(x)\le 0$. Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (-\infty ;-2)$ và khi $x\in (1;3)$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Đặt $t=\cos x$. Khi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, hàm số $t(x)=\cos x$ nghịch biến và nhận giá trị trong $(0;1)$. Hàm số $y(x)$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi hàm số $g(t)=\frac{t+m}{t+2}$ nghịch biến trên $(0;1)\iff g^{\prime }(t)=\frac{2-m}{(t+2{)}^2}<0\iff 2-m<0\iff m>2$. Với $m\in [-10;10]$ và $m$ nguyên, ta có $m\in \{3,4,5,6,7,8,9,10\}$, tổng cộng có 8 giá trị nguyên. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.

Xét hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+3x+1$, ta có đạo hàm $y^{\prime }=x^2-x+3={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.

Chọn D.
Trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.
Vì $-\frac{1}{2}\in (-1;0)$ nên $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)>0$.

Chọn D.
Xét hàm số $y=x^3-3x^2+5$ trên $\mathbb{R}$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6x>0\iff [<table><tbody><tr><td>x>2</td></tr><tr><td>x<0</td></tr></tbody></table>$. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$.

Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+4(m-1)x=-4x[x^2-(m-1)]$.
Hàm số nghịch biến trên $(1;3)\iff y^{\prime }\le 0,\forall x\in (1;3)$.
Vì $x\in (1;3)>0$ nên $-4x<0$. Do đó:
$y^{\prime }\le 0\iff x^2-(m-1)\ge 0\iff m-1\le x^2\iff m\le x^2+1,\forall x\in (1;3).$
Xét hàm số $g(x)=x^2+1$ trên $[1;3]$ có $g^{\prime }(x)=2x>0$, hàm số đồng biến trên $[1;3]$.
Do đó $m\le g(1)=1^2+1=2$.
Vậy $m\in (-\infty ;2]$.