Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là điểm đầu gậy tựa vào tường (thuộc mặt phẳng tường $(Q)$) và $B$ là điểm đầu gậy chạm sàn (nằm ngoài $(Q)$); chiếc gậy là đoạn thẳng $AB$ với $A\in (Q)$, $B\notin (Q)$.

Giả sử $AB$ song song với một mép tường $d$. Vì mọi mép của tường đều nằm trong mặt phẳng tường nên $d\subset (Q)$.

Khi đó $AB\parallel d$, $d\subset (Q)$ và $AB\not\subset (Q)$ (vì $B\notin (Q)$), suy ra theo định lí về tính chất song song giữa đường thẳng và mặt phẳng: $AB\parallel (Q)$.

Nhưng nếu $AB\parallel (Q)$ thì $AB$ và $(Q)$ không có điểm chung, mâu thuẫn với $A\in AB\cap (Q)$ (đầu gậy $A$ tựa vào tường).

Vậy không thể đặt chiếc gậy song song với một trong các mép của bức tường mà nó tựa vào.

(AI giải đề cho tôi)
A sai: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. B đúng: theo tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng, nếu $a//(P)$ thì trong $(P)$ tồn tại đường thẳng $b$ sao cho $b//a$ (lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$, giao tuyến $b=(\alpha )\cap (P)$ thì $b//a$). C sai: $a$ có thể chéo với $b$. D sai: $a$ và $b$ có thể chéo nhau (ví dụ $a$ song song với một đường thẳng trong $(P)$ khác $b$). Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $d\not\subset (\alpha )$:
- A đúng: theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, nếu $d//(\alpha )$ thì trong $(\alpha )$ tồn tại đường thẳng $\Delta$ sao cho $\Delta //d$.
- B sai: nếu $d//(\alpha )$ và $b\subset (\alpha )$ thì $b$ và $d$ có thể song song hoặc chéo nhau (ví dụ $d$ song song với đường thẳng $a\subset (\alpha )$, lấy $b$ cắt $a$ trong $(\alpha )$ thì $b$ và $d$ chéo nhau). Vậy B là khẳng định sai.
- C đúng: $d$ cắt $(\alpha )$ tại $A$, $d^{\prime }\subset (\alpha )$ nên $d$ và $d^{\prime }$ không thể song song; nếu $A\in d^{\prime }$ thì chúng cắt nhau, nếu $A\notin d^{\prime }$ thì chúng chéo nhau.
- D đúng: $d//c$, $c\subset (\alpha )$ và $d\not\subset (\alpha )$ nên theo định lý nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng, $d//(\alpha )$.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các mệnh đề khi $a//(P)$:
(1) Sai: $a$ chỉ song song (hoặc chéo) với các đường thẳng trong $(P)$, không song song với mọi đường thẳng. Ví dụ trong mặt phẳng chứa $a$ và cắt $(P)$, giao tuyến $b$ của mặt phẳng đó với $(P)$ thì $a//b$, nhưng các đường thẳng khác trong $(P)$ có thể chéo với $a$.
(2) Đúng: theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, tồn tại đường thẳng $b\subset (P)$ sao cho $b//a$.
(3) Đúng: lấy $b\subset (P)$ với $b//a$; mọi đường thẳng $c\subset (P)$, $c//b$, $c\ne b$ đều song song với $a$, nên có vô số đường thẳng như vậy.
(4) Đúng: đường thẳng $b\subset (P)$ với $b//a$ thì $a$ và $b$ đồng phẳng (hai đường thẳng song song luôn đồng phẳng).
Vậy có 3 mệnh đề đúng, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình: $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$. Với $(SAB)$: $MN$ cắt mặt này tại $M$ (vì $M\in SA\subset (SAB)$) nên không song song; tương tự $MN$ cắt $(SCD)$ tại $N$ và cắt $(SBC)$ tại $N$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: Đây là tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng. Nếu $a\parallel (P)$ thì trong $(P)$ tồn tại đường thẳng $b$ sao cho $b\parallel a$ (lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$, cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$; khi đó $b\parallel a$).
- B không chắc chắn đúng: Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba chỉ song song với nhau khi chúng phân biệt; đề không nói 'phân biệt' nên hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
- C sai: Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song (ví dụ ba mặt phẳng chứa ba cạnh bên của hình lăng trụ cắt hai mặt đáy).
- D sai: Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ hai cạnh của hình lập phòng cùng vuông góc với một cạnh).
Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN//AC$.
Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $MN//(ABCD)$.
Các phương án B, C, D sai vì $MN$ cắt các mặt phẳng $(SAB)$, $(SCD)$ tại $M$, $N$ tương ứng (nên không song song), còn với $(SBC)$ thì $MN$ không nằm trong $(SBC)$ nhưng cũng không thể kết luận song song — thực tế $MN$ chéo với các đường thẳng trong $(SBC)$ và có thể cắt mặt phẳng này tùy hình chóp; nói chung chỉ có khẳng định $MN//(ABCD)$ chắc chắn đúng.
Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Vì $AQ=2QB$ nên $\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, tức $\vec{Q}=\frac{2}{3}\vec{b}$. Trọng tâm tam giác $ABD$: $\vec{G}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{QG}=\vec{G}-\vec{Q}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{3}-\frac{2\vec{b}}{3}=\frac{\vec{d}-\vec{b}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$. Vậy $GQ\parallel BD$. Vì $BD\subset (BCD)$ và $G\notin (BCD)$ nên $GQ\parallel (BCD)$ → phương án B đúng. Kiểm tra các phương án khác: $P$ là trung điểm $CB$ nên $P\in (BCD)$, do đó đường thẳng $PQ$ cắt $(BCD)$ tại $P$, không song song (A sai). Trong tam giác $ABC$, $\frac{AQ}{AB}=\frac{2}{3}\ne \frac{CP}{CB}=\frac{1}{2}$ nên $PQ$ không song song $AC$, do đó $PQ$ cắt $(ACD)$ (C sai). Về D: $G\in ABD$, $P\in BCD$... xét mặt phẳng $(GDP)$: không có dữ kiện nào cho thấy $Q$ thuộc mặt phẳng này; thực tế với hệ vectơ trên, $\vec{Q}=\frac{2}{3}\vec{b}$ không biểu diễn được qua tổ hợp của $\vec{G},\vec{P}$ trong mọi trường hợp tổng quát, nên D sai. Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}$. Vì $M$ thuộc $BC$ với $MB=2MC$ nên $\vec{M}=\frac{\vec{B}+2\vec{C}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{MG}=\vec{G}-\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{D}-2\vec{C}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}$ không cùng phương, do đó $MG$ song song $(ACD)$ (và $MG$ không nằm trong $(ACD)$ vì $M\in BC$ không thuộc $(ACD)$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ nên $a$ không có điểm chung với $(P)$ (hoặc $a\subset (P)$); tương tự với $(Q)$. Giả sử $a$ cắt $d$ tại điểm $M$. Vì $d\subset (P)$ và $d\subset (Q)$ nên $M\in (P)$ và $M\in (Q)$, suy ra $a$ có điểm chung với $(P)$ và với $(Q)$, mâu thuẫn với $a$ song song cả hai mặt phẳng. Vậy $a$ và $d$ không cắt nhau, không trùng nhau. Hai đường thẳng không cắt nhau và không trùng nhau thì hoặc song song hoặc chéo nhau. Nếu $a,d$ chéo nhau thì tồn tại mặt phẳng chứa $d$ và song song với $a$; nhưng mọi mặt phẳng chứa $d$ đều cắt $(P)$ theo $d$... Cách chứng minh chuẩn: lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$. Vì $a\parallel (P)$ nên $a\parallel b$; do $a,d$ không cắt nhau và $b\subset (P)$, $d\subset (P)$ nên $b\parallel d$ hoặc $b\equiv d$. Từ đó $a\parallel d$ (vì $a\parallel b$, $b\parallel d$, $a$ không nằm trong $(P)$). Thực chất: $a$ không thể chéo với $d$ vì nếu chéo thì qua $d$ có mặt phẳng song song với $a$, nhưng mọi mặt phẳng chứa $d$ đều cắt $(P)$ (hoặc trùng $(P)$) theo giao tuyến qua $d$, dẫn đến mâu thuẫn. Kết luận: $a\parallel d$. Vậy mệnh đề a) sai, b) sai, c) đúng, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\equiv d$ thì $a\subset (P)$ và $a\subset (Q)$, khi đó $a$ không song song với $(P)$ theo nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng (phải không có điểm chung). Mâu thuẫn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ song song với cả $(P)$ và $(Q)$, $a$ không có điểm chung với $(P),(Q)$, mà $d\subset (P)\cap (Q)$, nên $a$ không cắt $d$. Nếu $a,d$ chéo nhau thì qua $d$ tồn tại mặt phẳng song song với $a$; nhưng mặt phẳng đó cắt $(P)$ theo giao tuyến đi qua $d$, khi đó giao tuyến này song song với $a$ và nằm trong $(P)$, suy ra $a$ song song với đường thẳng trong $(P)$ đi qua $d$, từ đó suy ra $a\parallel d$, không chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$, $(\alpha )$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$. Vì $a\parallel (P)$ nên $a\parallel b$. Trong $(\alpha )$: nếu $b$ cắt $d$ tại $M$ thì $M\in (P)\cap (Q)=d$, và $M\in b\subset (\alpha )$... hơn nữa $M\in (P)$ nên $a$ không qua $M$. Vì $a\parallel b$ và $d$ cắt $b$ trong $(P)$, ta chứng minh được $a\parallel d$: giả sử $a$ không song song $d$, vì $a,d$ không cắt nhau (do $a$ không có điểm chung với $(P)$ chứa $d$) nên $a,d$ chéo nhau; nhưng đường thẳng $b\subset (P)$ với $b\parallel a$ và $b$ cắt $d$ (nếu $b\parallel d$ thì $a\parallel d$, xong). Vậy luôn có $a\parallel d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a$ cắt $d$ tại $M$ thì $M\in (P)$ và $M\in (Q)$, suy ra $a$ có điểm chung với $(P)$, mâu thuẫn với $a\parallel (P)$. Vậy $a,d$ không cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $MN$ là đoạn nối trung điểm của $AB$ và $CD$, do đó $MN\parallel AD\parallel BC$.

a) $MN\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$ (vì $M\in AB$, $N\in CD$ không nằm trong mặt phẳng $(SBC)$), nên $MN\parallel (SBC)$. Đúng.

b) $MN\parallel AD$ với $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$, nên $MN\parallel (SAD)$. Đúng.

c) Trong tam giác $SAB$, $P$ là trung điểm $SA$, $M$ là trung điểm $AB$ nên $PM\parallel SB$. Vì $PM\subset (MNP)$ và $SB\not\subset (MNP)$ nên $SB\parallel (MNP)$, tức $SB$ KHÔNG cắt mặt phẳng $(MNP)$. Sai.

d) Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;2;0),C(2;2;0),S(s;t;u)$ với $u\ne 0$. Khi đó $M(1;0;0),N(2;1;0),P(\frac{s}{2};\frac{t}{2};\frac{u}{2})$. Vectơ pháp tuyến của $(MNP)$: $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=(1;1;0)\times (\frac{s}{2}-1;\frac{t}{2};\frac{u}{2})=(\frac{u}{2};-\frac{u}{2};\frac{t-s+2}{2})$. Với $C(2;2;0)$: $\overrightarrow{MC}=(1;2;0)$, tích vô hướng $\vec{n}\cdot \overrightarrow{MC}=\frac{u}{2}-u=-\frac{u}{2}\ne 0$. Vậy $C$ không thuộc $(MNP)$ và $SC$ không song song với mặt phẳng, do đó $SC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$. Đúng.

Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel BC$ (đoạn nối trung điểm), $BC\subset (SBC)$, $MN\not\subset (SBC)$ nên $MN\parallel (SBC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel AD$ (đoạn nối trung điểm), $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$PM$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $PM\parallel SB$, với $PM\subset (MNP)$, $SB\not\subset (MNP)$, suy ra $SB\parallel (MNP)$, không cắt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng tọa độ kiểm tra: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{MC}=-\frac{u}{2}\ne 0$ nên $SC$ không song song và không nằm trong $(MNP)$, do đó $SC$ cắt $(MNP)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 15.** Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng, tâm lần lượt là $O$, $O^{\prime }$; $M\in AE$ với $AM=\frac{1}{3}AE$, $N\in BD$ với $BN=\frac{1}{3}BD$.

**a) $O{O}^{\prime }\parallel (ADF)$**

Xét tam giác $BDF$:
- $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $BD$.
- $O^{\prime }$ là tâm hình bình hành $ABEF$ nên $O^{\prime }$ là trung điểm của $BF$ (vì $BF$ là đường chéo của hình bình hành $ABEF$).

Vậy trong tam giác $BDF$, $O{O}^{\prime }$ là đường trung bình, suy ra
$$O{O}^{\prime }\parallel DF.$$

Mà $DF\subset (ADF)$ và $O{O}^{\prime }\not\subset (ADF)$ (vì $O,O^{\prime }$ không thuộc mặt phẳng $(ADF)$: nếu $O\in (ADF)$ thì $B\in (ADF)$, suy ra $A,B,D,F$ đồng phẳng, mâu thuẫn với giả thiết hai hình bình hành không cùng mặt phẳng). Do đó
$$O{O}^{\prime }\parallel (ADF).$$

**b) $MN\parallel (CDFE)$**

Vì $ABCD$ và $ABEF$ là các hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$, do đó $DC\parallel EF$ và $DC=EF$, tức bốn điểm $C,D,F,E$ xác định một mặt phẳng (chứa hai đường thẳng song song $DC$ và $EF$).

Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, $\overrightarrow{AE}=\vec{w}$. Khi đó
$$\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}.$$

Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\vec{w},$$
$$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\vec{u}+\frac{1}{3}(\vec{v}-\vec{u})=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}-\frac{1}{3}\vec{w}=\frac{1}{3}\left(2\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}\right).$$

Lấy điểm $K$ trên tia $DC$ sao cho $CK=DC$ (nghĩa là $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{DC}=\vec{u}$). Khi đó
$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{u}=2\vec{u}+\vec{v},$$
$$\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AE}=2\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=3\overrightarrow{MN}.$$

Vậy $MN\parallel EK$.

Mà $K$ thuộc đường thẳng $DC\subset (CDFE)$ nên $EK\subset (CDFE)$, và $MN\not\subset (CDFE)$ (vì $M\in AE$, nếu $MN\subset (CDFE)$ thì $M\in (CDFE)$, suy ra mặt phẳng $(AEK)$ trùng $(CDFE)$, khi đó $A\in (CDFE)$, tức $A,B,C,D,E,F$ đồng phẳng — mâu thuẫn giả thiết).

Do đó $MN$ song song với mặt phẳng $(CDFE)$. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. Suy ra $MN\parallel BD$ (tính chất đường trung bình). Xét mặt phẳng $(BCD)$: ta có $BD\subset (BCD)$, $MN\not\subset (BCD)$ (vì $M\in AB$, $N\in AD$ mà $AB,AD$ không nằm trong $(BCD)$), và $MN\parallel BD$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng (đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó thì song song với mặt phẳng), ta được $MN\parallel (BCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Trong tam giác $ABD$, $G_1$ là trọng tâm nên $M{G}_1=\frac{1}{3}MB$ (với $M$ nằm trên trung tuyến $MB$), tức $\overrightarrow{M{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}$. Trong tam giác $ACD$, $G_2$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{M{G}_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{M{G}_2}-\overrightarrow{M{G}_1}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy $G_1{G}_2\parallel BC$.

Xét mặt phẳng $(ABC)$: đường thẳng $BC\subset (ABC)$ và $G_1\notin (ABC)$ (vì $G_1$ nằm trong tam giác $ABD$, không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ do tứ diện không phẳng). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $G_1{G}_2\parallel (ABC)$.

Xét mặt phẳng $(BCD)$: đường thẳng $BC\subset (BCD)$ và $G_1\notin (BCD)$ (vì $G_1$ thuộc mặt phẳng $(ABD)$, mà $(ABD)$ cắt $(BCD)$ theo giao tuyến $BD$ và $G_1$ không nằm trên $BD$). Suy ra $G_1{G}_2\parallel (BCD)$.

Vậy $G_1{G}_2$ song song với cả hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(BCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $F$ là trung điểm của $SD$. Xét tam giác $SDC$: $E$ là trung điểm của $SC$, $F$ là trung điểm của $SD$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $SDC$, do đó $EF\parallel CD$ và $EF=\frac{CD}{2}=\frac{2a}{2}=a$. Mà $AB=a$ và $AB\parallel CD$ (vì $ABCD$ là hình thang) nên $EF\parallel AB$ và $EF=AB$. Suy ra tứ giác $ABEF$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên $ABEF$ là hình bình hành. Do đó $BE\parallel AF$. Lại có $AF\subset (SAD)$ và $BE\not\subset (SAD)$ (vì $B\notin (SAD)$). Vậy $BE\parallel (SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Phát biểu của bạn Minh ĐÚNG. Giải thích: Gọi $a$ là đường ray trượt ở mép trên cánh cửa, $b$ là đường ray trượt ở mép dưới cánh cửa, $(\alpha )$ là mặt đáy của tủ quần áo. Vì cánh cửa trượt có dạng hình chữ nhật nên hai mép trên và mép dưới song song với nhau, tức là $a\parallel b$. Đường ray dưới $b$ nằm trong mặt đáy $(\alpha )$, còn đường ray trên $a$ không nằm trong $(\alpha )$ (vì $a$ nằm ở mép trên của cánh cửa, khác mặt đáy). Xét mặt phẳng $(\beta )$ chứa cánh cửa hình chữ nhật, khi đó $(\beta )$ chứa $a$ và cắt $(\alpha )$ theo giao tuyến $b$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu một đường thẳng ($a$) song song với một đường thẳng ($b$) nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và không nằm trong $(\alpha )$ thì $a\parallel (\alpha )$. Vậy đường ray trượt ở mép trên cửa song song với mặt đáy của tủ quần áo, phát biểu của bạn Minh đúng. (Ngoài ra, vì cánh cửa trượt được thiết kế song song với mặt đáy và di chuyển bình thường, đường ray trên luôn giữ song song với mặt đáy ở mọi vị trí của cửa.)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cố định đó là mặt phẳng (sàn nhà). Giải thích: Mép trên của cánh cửa là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng của cánh cửa, và đường thẳng này luôn song song với đường thẳng giao của mặt phẳng cánh cửa với mặt sàn (tức là mép dưới của cửa), vì cánh cửa có dạng hình chữ nhật nên hai mép trên và dưới song song với nhau. Mặt sàn là mặt phẳng cố định, và mép dưới của cửa luôn nằm trên (hoặc song song với) mặt sàn. Do đó, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng nào đó thì nó song song với mặt phẳng đó, ta suy ra mép trên của cửa luôn song song với mặt sàn, bất kể cửa được mở ở vị trí nào.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, vì $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hai mặt song song nên $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$. Mà $A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ và $B{C}^{\prime }\not\subset (AC{D}^{\prime })$, suy ra $B{C}^{\prime }\parallel (AC{D}^{\prime })$. Các phương án khác sai: $B{C}^{\prime }$ cắt $(A{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại $B$, cắt $(ACD)$ tại $C$, cắt $(CD{D}^{\prime })$ tại $C$. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (đề 1008, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, tức $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$. Mà $A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ nên $B{C}^{\prime }\parallel (AC{D}^{\prime })$. Các phương án khác sai: $B{C}^{\prime }$ cắt $(CD{D}^{\prime })$ tại $C^{\prime }$, cắt $(A{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại $B$, và $B{C}^{\prime }$ không song song $(ACD)$ vì $C\in (ACD)$ nhưng $C^{\prime }\notin (ACD)$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang $AD\parallel BC$ với $AD=2BC$, giao điểm $O$ của $AC$ và $BD$ thỏa $\frac{OD}{OB}=\frac{OA}{OC}=\frac{AD}{BC}=2$, tức $\frac{OB}{OD}=\frac{1}{2}$. Trong tam giác $SBD$: $M\in SD$ với $MD=2MS\Rightarrow \frac{SM}{MD}=\frac{1}{2}$, và $\frac{BO}{OD}=\frac{1}{2}$. Vậy $\frac{SM}{MD}=\frac{BO}{OD}$, suy ra theo định lý Thales $OM\parallel SB$. Mà $SB\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$. Đáp án C.