Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $D(2a;0;0)$. Vì $ABCD$ hình thang cân, $AB=BC=a$, $AD=2a$ nên $B\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ nên $SA=SD$ và $SA\cdot SD=0$, suy ra $S$ nằm trên trung trực của $AD$ (tức $x=a$) và $S{A}^2=\frac{A{D}^2}{2}=2a^2$. Đặt $S(a;y;z)$: từ $S{A}^2=2a^2$ được $y^2+z^2=a^2$; từ $S{B}^2=S{A}^2-a\sqrt{3}y=3a^2$ được $y=-\frac{a}{\sqrt{3}}$, suy ra $z=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy $S\left(a;-\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$.

1) Gọi $N$ là trung điểm $SD$. Khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC$ và $MN=\frac{AD}{2}=a=BC$. Vậy $MBCN$ là hình bình hành, suy ra $BM\parallel CN\subset (SCD)$, mà $BM\not\subset (SCD)$. Do đó $BM\parallel (SCD)$.

2) $M\left(\frac{a}{2};-\frac{a}{2\sqrt{3}};\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)$, nên $\overrightarrow{BM}=\left(0;-\frac{2a}{\sqrt{3}};\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)$, $|BM|=\sqrt{\frac{4a^2}{3}+\frac{a^2}{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $|CD|=a$.
$\cos (BM,CD)=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{CD}|}{|BM||CD|}=\frac{\left|0+\frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}+0\right|}{\frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot a}=\frac{a^2}{\frac{a^2\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

3) Trọng tâm $G$ của tam giác $SCD$: $G\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{18};\frac{a\sqrt{6}}{9}\right)$ (kiểm tra: $y_G=\frac{1}{3}\left(-\frac{a}{\sqrt{3}}+\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{a\sqrt{3}}{18}>0$).

Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $A$ có pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AS}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{6}}{2};-\sqrt{3}\right)$ (theo đơn vị $a^2$), tức $(SAC)$: $\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{6}}{2}y-\sqrt{3}z=0$ (thay $C$ và $S$ đều thỏa mãn).

Điểm $H=B+t(G-B)$ với $G-B=\left(a;-\frac{4a\sqrt{3}}{9};\frac{a\sqrt{6}}{9}\right)$, tức $x=\frac{a}{2}+at$, $y=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{4a\sqrt{3}}{9}t$, $z=\frac{a\sqrt{6}}{9}t$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{a}{2}+at\right)-\frac{\sqrt{6}}{2}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{4a\sqrt{3}}{9}t\right)-\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{9}t=-\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{5a\sqrt{2}}{6}t=0$, suy ra $t=\frac{3}{5}$.

Vậy $H$ nằm giữa $B$ và $G$ với $HB=\frac{3}{5}BG$, $HG=\frac{2}{5}BG$, do đó $\frac{HB}{HG}=\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ nên $a$ không có điểm chung với $(P)$, do đó $a$ không thể cắt $b$ (vì $b\subset (P)$, nếu cắt thì giao điểm thuộc $(P)$, mâu thuẫn). Các trường hợp song song, chéo nhau, không có điểm chung đều có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Vì a // (P) nên a không có điểm chung với (P). Mà b nằm trong (P) nên a và b không thể có điểm chung, do đó a và b không thể cắt nhau. Các trường hợp song song, chéo nhau, không có điểm chung đều có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi N là trung điểm của SB. Trong tam giác SAB, HN là đường trung bình nên $HN//AB$ và $HN=\frac{AB}{2}$. Vì ABCD là hình thoi nên $AB//CD$ và $AB=CD$, do đó $HN//DK$ (với K là trung điểm CD, $DK=\frac{CD}{2}$) và $HN=DK$. Suy ra HNDK là hình bình hành, nên $HK//ND$. Vì $ND\subset (SBD)$ và $HK\not\subset (SBD)$, ta có $HK//(SBD)$. Vậy đáp án A.

Vì $I$, $J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$, $ABD$ nên $I\in AM$, $J\in AN$. Do đó mặt phẳng $(IJMN)$ chính là mặt phẳng $(AMN)$.

Trong tam giác $BCD$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel CD$. Mà $MN\subset (IJMN)$ và $CD\not\subset (IJMN)$ nên $CD\parallel (IJMN)$. Chọn B.

Gọi $K$ là tâm của hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$. Khi đó $K$ là trung điểm của $A{C}^{\prime }$ và của $A^{\prime }C$.

Trong tam giác $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }$, $A^{\prime }K$ là đường trung tuyến nên $G\in A^{\prime }K$ và $A^{\prime }G=\frac{2}{3}{A}^{\prime }K$. Mà $A^{\prime }K=\frac{1}{2}{A}^{\prime }C$ nên $G\in A^{\prime }C$ và $\frac{A^{\prime }G}{A^{\prime }C}=\frac{1}{3}$.

Trong mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$, qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt $A^{\prime }B$ tại $T$. Theo định lí Thales: $\frac{A^{\prime }T}{A^{\prime }B}=\frac{A^{\prime }G}{A^{\prime }C}=\frac{1}{3}$.

Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, qua $T$ kẻ đường thẳng song song với $A{A}^{\prime }$, cắt $AB$ tại $H$. Theo định lí Thales: $\frac{AH}{AB}=\frac{A^{\prime }T}{A^{\prime }B}=\frac{1}{3}$.

Mặt phẳng $(GTH)$ có $GT\parallel BC$ và $TH\parallel A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên $(GTH)\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, suy ra $GH\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Mặt phẳng qua $G$ song song với $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là duy nhất nên điểm $H$ thỏa mãn yêu cầu là duy nhất, với $AB=3AH$. Vậy $x=3$. Đáp số: $3$.

Theo điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu $a\not\subset (P)$ và $a$ song song với một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ thì $a\parallel (P)$. Chọn B.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$, mà $AB\subset (SAB)$ và $CD\not\subset (SAB)$, do đó $CD\parallel (SAB)$. Chọn C.

Trong mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$, dựng $M{M}^{\prime }\parallel A^{\prime }D$ ($M^{\prime }\in A{A}^{\prime }$). Áp dụng định lí Ta-lét:
$\frac{M^{\prime }A}{A{A}^{\prime }}=\frac{MA}{A{D}^{\prime }}=\frac{x}{a\sqrt{2}}$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, dựng $N{N}^{\prime }\parallel CD$ ($N^{\prime }\in BC$). Áp dụng định lí Ta-lét:
$\frac{N^{\prime }B}{BC}=\frac{ND}{BD}=\frac{x}{a\sqrt{2}}$

Suy ra $M^{\prime }A=N^{\prime }B$. Khi đó đường thẳng $M^{\prime }{N}^{\prime }$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ hoặc nằm trong mặt phẳng song song với $(A^{\prime }BC)$.

Mặt khác, $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ nên $A^{\prime }D\parallel (A^{\prime }BC)$ và $CD\parallel AB\subset (A^{\prime }BC)$. Suy ra đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$.

- Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ và $M$ là trung điểm $SC$, do đó $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SA$.
- Vì $OM\parallel SA$ và $SA\subset (SAB)$ nên $OM\parallel (SAB)$ (A đúng).
- Vì $OM\parallel SA$ và $SA\subset (SAD)$ nên $OM\parallel (SAD)$ (B đúng).
- Vì $SA\parallel OM$ mà $OM\subset (BDM)$ nên $SA\parallel (BDM)$ (C đúng).
- Mặt phẳng $(OMC)$ chính là mặt phẳng $(SAC)$. Đường thẳng $SB$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ tại đỉnh $S$, do đó $SB$ không thể song song với $(OMC)$ (D sai). Chọn D.

Chọn C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. Do đó mệnh đề "Nếu $a\parallel (\alpha )$ và $b\parallel (\alpha )$ thì $a\parallel b$" là sai.

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta SBC⟹MN\parallel SC$. Do $SC$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ tại $S$ nên $MN$ cắt $(SAD)$, tức khẳng định $MN\parallel (SAD)$ là sai. Chọn đáp án C.

Mệnh đề đúng là II và một mệnh đề nữa, tổng số mệnh đề đúng là 2. Chọn B.

Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu $b\not\subset (P)$ và $b\parallel a\subset (P)$ thì $b\parallel (P)$. Chọn B.

Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, góc giữa $BD$ và $AD$ bằng $45^{\circ }$ nên $BD$ không vuông góc với mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$. Mặt khác $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $BD\parallel (A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $BD\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; đồng thời $BD\perp AC$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $△ABC\Rightarrow MN\parallel BC$. Mà $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ nên $MN\parallel (BCD)$.

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$. Mà $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $AB\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Chọn C.
Do $a\parallel b$ và $b\parallel (P)$ nên đường thẳng $a$ song song với một đường thẳng trong $(P)$. Do đó $a$ song song với $(P)$ hoặc $a$ nằm trong $(P)$.

Ta có $M,N$ là trung điểm của $SA,SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD⟹MN\parallel AD$.
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC⟹MN\parallel BC$, do đó $MN\parallel (SBC)$ và $BC\parallel (OMN)$ là các khẳng định đúng.
Lại có $O,M$ lần lượt là trung điểm của $AC,SA$ nên $OM\parallel SC⟹OM\parallel (SCD)$ là đúng.
Mặt phẳng $(OMN)$ chứa $MN\parallel AB$ và cắt đường thẳng $CD$ (vì $CD$ cắt các đường trong mặt phẳng đáy), do đó $CD$ không song song với $(OMN)$. Khẳng định B là sai.
Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 10 có đáp án là: B.

Trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, mặt phẳng $(B_{1}AC)$ song song với mặt phẳng $(D{A}_1{C}_1)$.
Vì $M\in AC$ nên đường thẳng $B_{1}M\subset (B_{1}AC)$.
Do đó $B_{1}M\parallel (D{A}_1{C}_1)$.