Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

VTCP của $d$ là $\overrightarrow{u_d}=(4;-1;0)$. Vì đường thẳng $\Delta$ qua $A(2;0;-3)$ song song $d$ nên VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{u_d}=(4;-1;0)$ nên $\Delta$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=-t\\ z=-3\end{array}$.
Chọn đáp án D.

$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$

$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$

(AI giải đề cho tôi)
Điểm thuộc $d$ khi tồn tại $t$ sao cho $x=2,y=3+2t,z=4-7t$. Với $M(2;3;4)$: $t=0$ thỏa. Với $N(2;5;-3)$: $t=1$, $z=4-7=-3$ thỏa. Với $P(2;1;11)$: $t=-1$, $z=4+7=11$ thỏa. Với $Q(2;7;10)$: từ $y=7$ suy ra $t=2$, khi đó $z=4-14=-10\ne 10$, nên $Q$ không thuộc $d$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 7: D).

$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng qua $A(1;2;-1)$ và $B(2;-1;1)$ là $\overrightarrow{AB}=(1;-3;2)$. Đường thẳng đi qua $A(1;2;-1)$ có phương trình tham số: $x=1+t,y=2-3t,z=-1+2t$. Đây chính là đáp án C (đi qua A, VTCP $(1;-3;2)$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}=(2-1;5-2;4-2)=(1;3;2)$. Vì $\vec{u}=(1;b;c)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB nên $\vec{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, suy ra $b=3$ và $c=2$. Vậy $c=2$, khớp với đáp án B của đề.

Theo HD chấm (Đề 101 và 103):
$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là
$\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25)

Theo HD chấm (Đề 102 và 104):
$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là
$\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25)

Theo HD chấm (Đề 101 và 103):
$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là
$\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm thuộc $d$ khi tồn tại $t$ sao cho $x=2,y=3+2t,z=4-7t$. Với $M(2;3;4)$: $t=0$ thỏa. Với $N(2;5;11)$: $y=5\Rightarrow t=1$ nhưng $z=4-7(1)=-3\ne 11$, nên $N$ không thuộc $d$. Với $P(2;1;11)$: $y=1\Rightarrow t=-1$, $z=4+7=11$ thỏa. Với $Q(2;7;-10)$: $y=7\Rightarrow t=2$, $z=4-14=-10$ thỏa. Vậy điểm không thuộc $d$ là $N$, khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tại thời điểm $t=3$ giây, thay vào phương trình đường thẳng $d$: $x=1+\frac{1}{3}\cdot 3=2$; $y=2+\frac{2}{3}\cdot 3=4$; $z=4+3=7$. Vậy $M(2;4;7)$ và $a+b+c=2+4+7=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=3$ vào phương trình đường thẳng $d$: $x=1+\frac{1}{3}\cdot 3=2$; $y=2+\frac{2}{3}\cdot 3=4$; $z=4+3=7$. Vậy $M(2;4;7)$ và $a+b+c=2+4+7=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1201: 13).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay $B(-2;3;1)$ vào $d$: $\frac{x+2}{-1}=0$, $\frac{y-3}{2}=0$, $\frac{z-1}{3}=0$ đều bằng 0 nên $B$ thuộc $d$. Mệnh đề '$B$ không thuộc $d$' là Sai. b) $\Delta$ qua $A(3;1;2)$ và song song với $d$ phải có vecto chỉ phương tỉ lệ với $(-1;2;3)$, ví dụ $x=3-t$, $y=1+2t$, $z=2+3t$. Phương trình đã cho có vecto chỉ phương $(3;1;2)$ và đi qua $(-1;2;3)$, không phải $\Delta$ nên Sai. c) Từ phương trình chính tắc của $d$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-1;2;3)$ nên Đúng. d) $\vec{n}=(1;0;-1)$, $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1-3|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{28}}=\frac{2}{\sqrt{7}}\approx 0.7559$, nên $\theta \approx \arcsin (0.7559)\approx 49^{\circ }$, không phải $41^{\circ }$, mệnh đề Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1002: SSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $B(-2;3;1)$ vào phương trình $d$: cả ba tỉ số đều bằng 0 nên $B$ thuộc $d$. Do đó khẳng định '$B$ không thuộc $d$' là Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ song song với $d$ nên phải có vecto chỉ phương cùng phương với $\vec{u}=(-1;2;3)$ và đi qua $A(3;1;2)$, ví dụ $x=3-t$, $y=1+2t$, $z=2+3t$. Phương trình đã cho có vecto chỉ phương $(3;1;2)$ và đi qua điểm $(-1;2;3)$, nên Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tắc $d$: $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-1;2;3)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x-z+1=0$ có $\vec{n}=(1;0;-1)$. $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1\cdot 1+3\cdot (-1)|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{28}}=\frac{2}{\sqrt{7}}\approx 0.7559$, nên $\theta \approx 49^{\circ }$ (làm tròn), không phải $41^{\circ }$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x=2-t,y=1+3t,z=-1+t$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(-1;3;1)$ và đi qua điểm $(2;1;-1)$.
a) Đúng: $\vec{u}=(1;-3;-1)=-{\vec{u}}_d$ cùng phương với ${\vec{u}}_d$ nên là một vectơ chỉ phương của $d$.
b) Đúng: Với $t=0$ ta được điểm $(2;1;-1)=A$, nên $A\in d$.
c) Sai: Đường thẳng qua $B(3;-1;2)$ song song với $d$ có phương trình chính tắc $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}$, khác với phương trình đã cho (mẫu số dùng $x+3,y-1,z+2$ tức đi qua $(-3;1;-2)$).
d) Đúng: Vectơ chỉ phương của trục $Oz$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. $\cos \alpha =\frac{|1|}{\sqrt{1+9+1}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{11}}\approx 0.3015$, suy ra $\alpha \approx 72.45^{\circ }\approx 72^{\circ }$. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(1;-3;-1)=-(-1;3;1)$ cùng phương với vectơ chỉ phương $(-1;3;1)$ của $d$, nên là một vectơ chỉ phương của $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $t=0$: $x=2,y=1,z=-1$, đúng bằng tọa độ điểm $A(2;1;-1)$, vậy $A\in d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B(3;-1;2)$ song song với $d$ phải có phương trình $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}$; phương trình trong đề $\frac{x+3}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{1}$ đi qua $(-3;1;-2)$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{|(-1;3;1)\cdot (0;0;1)|}{\sqrt{11}}=\frac{1}{\sqrt{11}}\approx 0.3015\Rightarrow \alpha \approx 72.45^{\circ }\approx 72^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của AB: $\overrightarrow{AB}=(-6;2;2)$, chọn $\vec{u}=(-3;1;1)$. Đường thẳng AB đi qua A(4;0;1): $\frac{x-4}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ (hoặc $\frac{x-4}{-6}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{2}$).

b) Tâm I là trung điểm AB: $I(1;1;2)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{36+4+4}}{2}=\frac{\sqrt{44}}{2}=\sqrt{11}$, nên $R^2=11$. Phương trình mặt cầu: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1;-5)$ và điểm đi qua là $(1;3;4)$.
a) Sai: $\vec{u}=(1;3;4)$ không là vectơ chỉ phương của Δ (đó là tọa độ điểm).
b) Sai: vì $y=3+t\Rightarrow y-3=t$ nên mẫu ứng với $y-3$ phải là $1$, không phải $-1$. Phương trình chính tắc đúng là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5}$.
c) Đúng: ${\vec{u}}_d=(3;4;2)$ và ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{\Delta }=3\cdot 2+4\cdot 1+2\cdot (-5)=6+4-10=0$, nên $d\perp \Delta$.
d) Đúng: $(Oxz)$ có $y=0\Rightarrow 3+t=0\Rightarrow t=-3$; khi đó $x=1+2(-3)=-5$, $z=4-5(-3)=19$, tức $M(-5;0;19)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ là ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1;-5)$, không phải $(1;3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=3+t$ nên mẫu ứng với $y-3$ là $1$; phương trình chính tắc đúng là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{u}}_d=(3;4;2)$, ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{\Delta }=6+4-10=0$ nên $d\perp \Delta$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\Rightarrow t=-3\Rightarrow x=-5,z=19$, nên $M(-5;0;19)$.

(AI giải đề cho tôi)
Để bắn trúng hồng tâm, điểm $A(8;-19;6m+4)$ phải nằm trên đường thẳng $d$. Theo phương trình tham số: $\frac{x-1}{1}=t\Rightarrow 8-1=7=t$. Kiểm tra $y$: $y=2-3t=2-21=-19$ ✓ khớp. Tính $z$: $z=3-5t=3-35=-32$. Suy ra $6m+4=-32\Rightarrow 6m=-36\Rightarrow m=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3;-5)$. Đường thẳng cần tìm đi qua $M(-1;2;-5)$ và song song với $(d)$ nên có cùng vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3;-5)$. Phương trình chính tắc: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+5}{-5}$. Khớp với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $M(1;-2)$, $N(4;3)$ là $\overrightarrow{MN}=(3;5)$. Kiểm tra các phương án: phương án B có chỉ phương $(3;5)$ và điểm $(7;8)$. Với $t=-2$: $x=7+3(-2)=1$, $y=8+5(-2)=-2$, tức đường thẳng đi qua $M(1;-2)$; với $t=-1$: $x=4$, $y=3$, tức đi qua $N(4;3)$. Vậy phương án B thỏa mãn. Các phương án A, C, D có vecto chỉ phương khác $(3;5)$ nên sai.