Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 002: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $6x+8y-1=0$ và $6x+8y-21=0$ song song (cùng cặp hệ số $a=6,b=8$). Khoảng cách giữa chúng là $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-1-(-21)|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{20}{10}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã 002, Phần III câu 1: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Vì Δ song song với d: 3x+4y-1=0 nên b=4, Δ: 3x+4y+c=0. Khoảng cách từ A(1;2) đến Δ bằng 2: |3·1+4·2+c|/5 = |11+c|/5 = 2, suy ra |11+c|=10, tức c=-1 hoặc c=-21. Vì c>-5 nên c=-1. Vậy b+c = 4+(-1) = 3, khớp với đáp án nguồn (mã 002, Phần III câu 2 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$, $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$ nên $\cos \theta =\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$. b) Đúng. Từ $d:3x+y-6=0$ có $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$; từ $\Delta :2x-y+5=0$ có $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$. c) Đúng. $d(M,d)=\frac{|3\cdot 2+(-1)-6|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. d) Đúng. Giải hệ $3x+y=6$, $2x-y=-5$, cộng lại $5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$, $y=6-\frac{3}{5}=\frac{27}{5}$, nên $I\left(\frac{1}{5};\frac{27}{5}\right)$. Kết quả SĐĐĐ khớp đáp án mã đề 001.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \theta =\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc là $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $d:3x+y-6=0$ có $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$; từ $\Delta :2x-y+5=0$ có $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,d)=\frac{|3\cdot 2+(-1)-6|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $3x+y=6$, $2x-y=-5$ $\Rightarrow$ $x=\frac{1}{5}$, $y=\frac{27}{5}$, nên $I\left(\frac{1}{5};\frac{27}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì Δ song song với d: 3x+4y−1=0 nên b=4. Khoảng cách từ A(1;2) đến Δ: |3·1+4·2+c|/√(9+16)=|11+c|/5=2 ⇒ |11+c|=10 ⇒ c=−1 hoặc c=−21. Với c>−5 ta lấy c=−1. Vậy b+c=4+(−1)=3, khớp đáp án nguồn (mã đề 001, Phần III câu 1 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $6x+8y-1=0$ và $6x+8y-21=0$ song song (cùng hệ số $a=6,b=8$). Khoảng cách giữa chúng: $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-1-(-21)|}{\sqrt{36+64}}=\frac{20}{10}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2).

a) Đúng.
b) Đúng.
c) Đúng. Thay tọa độ điểm $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng không thỏa mãn.
d) Sai. Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và $O(0;0)$ có phương trình tham số là $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$
a) a) Đúng.
b) b) Đúng.
c) c) Đúng. Thay tọa độ điểm $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng không thỏa mãn.
d) d) Sai. Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và $O(0;0)$ có phương trình tham số là $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$

a) Đúng.
b) Đúng.
c) Đúng. Thay tọa độ điểm $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng không thỏa mãn.
d) Sai. Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và $O(0;0)$ có phương trình tham số là $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$
a) a) Đúng.
b) b) Đúng.
c) c) Đúng. Thay tọa độ điểm $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng không thỏa mãn.
d) d) Sai. Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và $O(0;0)$ có phương trình tham số là $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: x - y = 0 có vectơ pháp tuyến n = (1; -1). Hình chiếu H của M(1; 2) lên Δ có dạng H = M + t·n = (1 + t; 2 - t). Vì H thuộc Δ nên (1 + t) - (2 - t) = 0 ⟹ 2t - 1 = 0 ⟹ t = 1/2. Suy ra H = (1 + 1/2; 2 - 1/2) = (3/2; 3/2). Kiểm tra: H thuộc Δ vì 3/2 - 3/2 = 0, và MH = (-1/2; 1/2) cùng phương với n = (1; -1). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):x-2y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$. a) Vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1)$ vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=2-2=0$, nên đúng. b) $({\Delta }^{\prime })$: $2x+y=0$ có pháp tuyến $(2;1)$, kiểm tra $1\cdot 1-(-2)\cdot 2=1+4=5\ne 0$ nên hai đường thẳng không song song, cắt nhau tại nghiệm của hệ $x-2y=-5$, $2x=-y$ (nghiệm $(-1;2)$), nên đúng. c) Thay $A(1;-2)$: $1-2(-2)+5=10\ne 0$ nên $(\Delta )$ không đi qua $A$, sai. d) Khoảng cách từ $O$ đến $(\Delta )$ là $d=\frac{|5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\ne 5$, nên sai. Kết quả Đ-Đ-S-S khớp với đáp án nguồn (mã đề 1020).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(\Delta )$ có $\vec{n}=(1;-2)$, nên $\vec{u}=(2;1)$ vuông góc với $\vec{n}$ là vectơ chỉ phương. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$({\Delta }^{\prime })$ có $\overrightarrow{n^{\prime }}=(2;1)$. Vì $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{1}$ nên hai đường không song song, cắt nhau (tại $(-1;2)$). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;-2)$: $1-2(-2)+5=10\ne 0$ nên $A\notin (\Delta )$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(\Delta ))=\frac{|5|}{\sqrt{1+4}}=\sqrt{5}\ne 5$. Sai.

a) Hướng dẫn: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $3(x-1)+4(y+1)=0$ hay $3x+4y+1=0$. Kết luận: phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $3x+4y+1=0$. (0,25 điểm + 0,25 điểm)

b) Vì $A\in d_1$, giả sử $A(a;3-a)$; vì $B\in d_2$, giả sử $B(2b+6;b)$.

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}\frac{a+2b+6}{2}=1\\ \frac{3-a+b}{2}=-1\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}a+2b=-4\\ a-b=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\Rightarrow A(2;1);B(0;-3)$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=(2;4)\Rightarrow \overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{u_1}$$ Suy ra: Đường thẳng $AB$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$, một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$.

HS viết được một trong hai dạng phương trình đường thẳng của AB: (0,25)
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình là $2(x-2)-1.(y-1)=0$ hay PTTQ: $2x-y-3=0$.
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số là: $$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\end{array}$$ hoặc $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-3+2t\end{array}$$

(Điểm: 0,25 cho bước hệ phương trình trung điểm; 0,25 cho hai dạng phương trình đường thẳng.)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu $H$ của $M(1;2)$ lên đường thẳng $\Delta :x-y=0$ có dạng $H(t;t)$ (vì $H$ thuộc $\Delta$). Vecto $\overrightarrow{MH}$ vuông góc với $\Delta$ nên cùng phương với vecto pháp tuyến $(1;-1)$, tức $(t-1;t-2)=k(1;-1)$. Suy ra $t-1=-(t-2)\Rightarrow 2t=3\Rightarrow t=\frac{3}{2}$. Vậy $H\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, trùng với đáp án A (khớp với bảng đáp án mã đề 1010: câu 1 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):x-2y+5=0$ với $n=(1;-2)$.
a) Thay $A(1;-2)$: $1-2(-2)+5=10\ne 0$ nên $A\notin (\Delta )$ → Sai.
b) $d(O,(\Delta ))=\frac{|5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\ne 5$ → Sai.
c) $({\Delta }^{\prime }):2x+y=0$ có $n^{\prime }=(2;1)$. Vì $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{1}$ nên hai đường không song song, do đó cắt nhau → Đúng.
d) VTCP của $(\Delta )$ vuông góc với $n=(1;-2)$, mà $\vec{u}=(2;1)\cdot (1;-2)=2-2=0$ nên $\vec{u}=(2;1)$ là một véc tơ chỉ phương → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (mã 1010, câu 2 Phần II: S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;-2)$ vào $x-2y+5=0$: $1-2(-2)+5=10\ne 0$ nên $(\Delta )$ không đi qua $A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(\Delta ))=\frac{|5|}{\sqrt{1+4}}=\sqrt{5}\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$({\Delta }^{\prime })$ có $n^{\prime }=(2;1)$, không tỉ lệ với $n=(1;-2)$ nên hai đường thẳng cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(2;1)$ có $\vec{u}\cdot \vec{n}=2-2=0$, nên $\vec{u}$ là véc tơ chỉ phương của $(\Delta )$.

a) Hướng dẫn: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $3(x-1)+4(y+1)=0$ hay $3x+4y+1=0$. Kết luận: phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $3x+4y+1=0$. (0,25 điểm + 0,25 điểm)

b) Vì $A\in d_1$, giả sử $A(a;3-a)$; vì $B\in d_2$, giả sử $B(2b+6;b)$.

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}\frac{a+2b+6}{2}=1\\ \frac{3-a+b}{2}=-1\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}a+2b=-4\\ a-b=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\Rightarrow A(2;1);B(0;-3)$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=(2;4)\Rightarrow \overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{u_1}$$ Suy ra: Đường thẳng $AB$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$, một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$.

HS viết được một trong hai dạng phương trình đường thẳng của AB: (0,25)
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình là $2(x-2)-1.(y-1)=0$ hay PTTQ: $2x-y-3=0$.
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số là: $$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\end{array}$$ hoặc $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-3+2t\end{array}$$

(Điểm: 0,25 cho bước hệ phương trình trung điểm; 0,25 cho hai dạng phương trình đường thẳng.)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y-10=0$ (vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$) và $d_2:x-3y+9=0$ (vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa mãn $$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 103, câu 2: 45).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ song song với d: 2x + 7y - 3 = 0 nên có dạng 2x + 7y + c = 0. Vì Δ đi qua M(1; 2): 2(1) + 7(2) + c = 0 ⟹ c = -16. Vậy Δ: 2x + 7y - 16 = 0. Đưa về dạng ax + by + 8 = 0 bằng cách nhân với -1/2: -x - (7/2)y + 8 = 0, tức a = -1, b = -7/2. Khi đó T = a² + 4b² = 1 + 4·(49/4) = 1 + 49 = 50. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 103, câu 4: 50).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(2;-4)$ và $B(2;5)$ có cùng hoành độ $x=2$, đường thẳng $AB$ là đường thẳng đứng có phương trình $x=2$, không có VTPT dạng $(a;b)$ với $a\ne 0$ theo hướng $\overrightarrow{AB}=(0;9)$. Phương trình tham số phải có dạng $x=2$, $y=y_0+9t$. Kiểm tra đáp án B: $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1+t\end{array}$ — với $t=-3$ ta được $A(2;-4)$, với $t=6$ ta được $B(2;5)$, nên B thỏa mãn. Các phương án A, C, D sai vì A cho đường thẳng qua gốc tọa độ, C có $x=1\ne 2$, D có $x=2+t$ thay đổi nên không phải đường thẳng đứng qua $A$, $B$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 103, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;-4)$ và $B(2;5)$ có cùng hoành độ $x=2$ nên là đường thẳng đứng: $x=2$. Kiểm tra phương án A: $x=2$, $y=-1-t$. Với $t=3$ thì $y=-4$ (điểm A); với $t=-6$ thì $y=5$ (điểm B). Vậy A thỏa mãn. Phương án B cho đường thẳng qua gốc tọa độ (không qua A với t tùy ý vì $x=2t=2$ chỉ khi $t=1$, khi đó $y=-9\ne -4$); C có x thay đổi; D có $x=1$. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y+10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$ và $d_2:x-3y-9=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa mãn $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ song song với d: 2x+7y-3=0 nên có dạng 2x+7y+c=0. Vì Δ đi qua M(1;2): 2(1)+7(2)+c=0 ⟹ c=-16. Vậy Δ: 2x+7y-16=0. Chia hai vế cho 2 để đưa về dạng ax+by-8=0: x + (7/2)y - 8 = 0, suy ra a=1, b=7/2. Khi đó T = a² + 8b² = 1 + 8·(49/4) = 1 + 98 = 99. Kết quả khớp với đáp án nguồn (99).