Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

Cho $\tan \alpha +\cot \alpha =2$. Xét biểu thức $P={\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha$.

Cho biểu thức $P=2{\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)}^2-\left({\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x\right)$.

Cho $\tan \alpha -\cot \alpha =2$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{1}{{\cos }^2\alpha {\sin }^2\alpha }+(\tan \alpha +\cot \alpha {)}^2$.

Cho các góc $\alpha ,\beta$ thoả mãn $0^{\circ }<\alpha ,\beta <180^{\circ }$ và $\alpha +\beta =90^{\circ }$. Tính giá trị của biểu thức $T={\sin }^6\alpha +{\sin }^6\beta +3{\sin }^2\alpha {\sin }^2\beta$.

Cho $\frac{{\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\cot }^{2}x-{\cos }^{2}x}={\tan }^{n}x$ và $\sin x+\cos x=\frac{1}{3}$. Tính giá trị biểu thức $P={\sin }^{n}x+{\cos }^{n}x$ (kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

Cho $\tan \alpha =\frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{9\left({\sin }^3\alpha +\sin \alpha {\cos }^2\alpha +{\cos }^3\alpha \right)}{{\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha }$.

Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để ngắm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất $25(\mathrm{m})$ tại một góc ngắm $\alpha$ (góc hợp bởi phương ngắm với phương ngang). Nếu giảm góc ngắm đi một nửa thì vận động viên bắn trúng mục tiêu cách mặt đất $10(\mathrm{m})$ thì khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng $10\sqrt{5}(\mathrm{m})$. Tính giá trị của $P=3{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$.

Cho $b,c$ là các số nguyên khác 0, $c\ne 2025$ và $\tan x=\frac{2b}{2025-c}$. Tính giá trị của biểu thức $A=2025{\cos }^{2}x+2b\sin x\cos x+c{\sin }^{2}x$.

Cho biểu thức $A=\frac{{\sin }^8\alpha }{8}+\frac{{\cos }^8\alpha }{27}$. Biết $\frac{{\sin }^4\alpha }{2}+\frac{{\cos }^4\alpha }{3}=\frac{1}{5}$. Tính giá trị của $5A$.

Cho góc $x$ thỏa mãn $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$. Khi đó $P=|\sin x-\cos x|=\sqrt{\frac{a}{b}}$, trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a+b$.

Cho $3{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =\frac{1}{2}$. Tính giá trị biểu thức $A=2{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha$

Không dùng máy tính, hãy tính $D={\cos }^{2}10^{\circ }+{\cos }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}30^{\circ }+\dots +{\cos }^{2}180^{\circ }$.

Biết rằng $\sin x+\cos x=\frac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức $P={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+\sin x\cos x$ bằng

Đơn giản biểu thức $P=\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\cot x}+\frac{3\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)-2\left({\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x\right)}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2-1}$ ta được

Cho $P=\frac{{\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x-4\sin x\cos x-3}{{\sin }^{3}x\cos x+{\cos }^{3}x\sin x+1}$.

Giá trị của biểu thức $P=5\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)-2\left({\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x\right)+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ bằng

Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước với độ dài của bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đó và phụ thuộc thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ $\varphi$ và ngày thứ $N$ trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời $\alpha$ còn được tính theo công thức sau:

$$\alpha =90^{\circ }-\varphi -\left|\cos \left(\left(\frac{2(N+10)}{365}-m\right)180^{\circ }\right)\right|.23,5^{\circ }.$$

Trong đó $m=0$ nếu $1\le N\le 172$; $m=1$ nếu $173\le N\le 355$, $m=2$ nếu $356\le N\le 365$.

Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ $\varphi =20^{\circ }$ là $a^{\circ }$ (Công thức tính toán nói trên chính xác tới $\pm 0,5^{\circ }$). Tính giá trị của biểu thức $P=\tan a+\cot a$ (kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

Cho $3{\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3}{4}$. Tính giá trị của biểu thức $A={\sin }^{4}x+3{\cos }^{4}x$.

Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
a) $B=\frac{8{\tan }^{2}a+3\cot a-1}{\tan a+\cot a}$ khi $\sin a=\frac{1}{3},90^0<a<180^0$
b) $C=\frac{{\sin }^{2}a+2\sin a.\cos a-2{\cos }^{2}a}{2{\sin }^{2}a-3\sin a.\cos a+4{\cos }^{2}a}$ khi $\cot a=-3$

Chứng minh biểu thức $D={\cos }^{2}x.{\cot }^{2}x+3{\cos }^{2}x-{\cot }^{2}x+2{\sin }^{2}x$ không phụ thuộc $x$.