Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<x<90^{\circ }$ nên $\cos x>0$ (đúng). Từ $\tan x=\sqrt{2}$ và $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ ta có ${\cos }^{2}x=\frac{1}{3}\Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (đúng). Suy ra $\sin x=\tan x\cdot \cos x=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (đúng). Tính $\cos (x-30^{\circ })=\cos x\cos 30^{\circ }+\sin x\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}\ne \frac{3-\sqrt{6}}{6}$, nên khẳng định d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<x<90^{\circ }$ nên $\cos x>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{1}{3}$, với $\cos x>0$ nên $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\tan x\cdot \cos x=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (x-30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}\ne \frac{3-\sqrt{6}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }\ne 1$ nói chung (ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{4}$ thì bằng 2). B đúng vì đây là hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha$ với $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. C sai vì $\frac{1}{{\cot }^2\alpha }={\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1\ne 1+{\sin }^2\alpha$ nói chung. D sai vì đẳng thức đúng phải là ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ (cùng một góc), còn ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}b=1$ không đúng với mọi $a,b$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì $\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$ nên $\sin \beta >0$: $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Do đó $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{-2-2\sqrt{10}}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{9}$, tức $1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{9}$, suy ra $A=\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{9}-1=-\frac{4}{9}\approx -0,4$. Kiểm tra: với $\alpha \in (-\frac{\pi }{2};0)$, $\sin \alpha <0<\cos \alpha$ nên $A<0$, phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1) Với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ thì $\sin \alpha >0$, nên $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$.

$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{25}{169}-1=-\frac{119}{169}$.

$\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{12}{13}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{5}{13}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{12\sqrt{3}+5}{26}$.

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{12}{13}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{120}{169}$, nên $\tan 2\alpha =\frac{-120/169}{-119/169}=\frac{120}{119}$.

Vì $\frac{\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \frac{\alpha }{2}>0$: $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Bài 2) Bình phương hai vế: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{4}\Rightarrow 1+\sin 2\alpha =\frac{1}{4}\Rightarrow \sin 2\alpha =-\frac{3}{4}$.

Ta có $\cos 2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$. Vì $(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=2-(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$ nên $\cos \alpha -\sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$, suy ra $\cos 2\alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Do đó $\sin 4\alpha =2\sin 2\alpha \cos 2\alpha =2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\pm \frac{\sqrt{7}}{4}\right)=\mp \frac{3\sqrt{7}}{8}$, tức $\sin 4\alpha =\pm \frac{3\sqrt{7}}{8}$ (hai giá trị tương ứng với hai khả năng dấu của $\cos \alpha -\sin \alpha$).

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 2 (Phần 4)**

**1) Rút gọn:**

a) $E=\frac{1-{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-{\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1={\tan }^2\alpha$ (với $\cos \alpha \ne 0$).

b) $F=2({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=2({\sin }^{4}x+2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x)=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2=2$.

**2) Chứng minh:**

a) VT $=\frac{(1+\cos 2x)+\sin 2x}{(1-\cos 2x)+\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x}{2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}=\frac{2\cos x(\cos x+\sin x)}{2\sin x(\sin x+\cos x)}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x=$ VP. (đpcm)

b) VT $=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\frac{{\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }}=\frac{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ){\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )}={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =$ VP. (đpcm)

c) VT $=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{\frac{\cos \beta }{\sin \beta }-\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \beta \sin \alpha -\cos \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}=\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\cdot \frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha -\beta )}=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }=\tan \alpha \tan \beta =$ VP. (đpcm)

d) VT $=\frac{({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{(\sin x+\cos x{)}^2}=\frac{({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x{)}^2}{(\sin x+\cos x{)}^2}=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2(\sin x+\cos x{)}^2}{(\sin x+\cos x{)}^2}=(\sin x-\cos x{)}^2=$ VP. (đpcm)

**3)** Vì $ABC$ là tam giác nên $A+B+C=\pi$, suy ra $A+B=\pi -C$. Do đó:
$$\sin (A+B+2C)=\sin (\pi -C+2C)=\sin (\pi +C)=-\sin C.$$ (đpcm)

Tất cả các phép biến đổi đều đúng, các điều kiện xác định (cos, sin khác 0 ở mẫu) được đảm bảo trong miền xác định của từng biểu thức.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức rút gọn: $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$; $\cos (2\pi -x)=\cos x$; $\cos (3\pi +x)=\cos (\pi +x)=-\cos x$. Vậy $A=\sin x+\cos x-\cos x=\sin x$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin a+\cos a{)}^2=2\Rightarrow 1+2\sin a\cos a=2\Rightarrow \sin a\cos a=\frac{1}{2}$. Khi đó $P={\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a{)}^2-2{\sin }^{2}a{\cos }^{2}a=1-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\cos 80^{\circ }=\sin (90^{\circ }-80^{\circ })=\sin 10^{\circ }$. B đúng vì hàm $\tan$ đồng biến trên $(0^{\circ };90^{\circ })$ nên $\tan 30^{\circ }<\tan 60^{\circ }$. C sai vì $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-120^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$, do đó $-\sin 120^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \sin 60^{\circ }$. D đúng vì $\cos 160^{\circ }=\cos (180^{\circ }-20^{\circ })=-\cos 20^{\circ }$, nên $\cos 20^{\circ }+\cos 160^{\circ }=0$. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{-3\sin \alpha +2\cos \alpha }{5\cos \alpha +7\sin \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =2$), ta được $P=\frac{-3\tan \alpha +2}{5+7\tan \alpha }=\frac{-3\cdot 2+2}{5+7\cdot 2}=\frac{-4}{19}=-\frac{4}{19}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức lượng giác: $\cos (90^{\circ }-x)=\sin x$, $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, $\sin (90^{\circ }-x)=\cos x$, $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$.

Do đó:
$$S=\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot (-\cos x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$$

Vậy $S=1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì 90° < α < 180° nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cos α < 0. Từ sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 - 9/25 = 16/25, và vì cos α < 0 nên cos α = -4/5. Do đó tan α = sinα/cosα = (3/5)/(-4/5) = -3/4. a) Sai (cos α < 0). b) Đúng. c) Sai (cos α = -4/5). d) Sai (tan α = -3/4).
a) (AI giải đề cho tôi)
α thuộc góc phần tư thứ II nên cos α < 0, mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos²α = 1 - sin²α = 1 - 9/25 = 16/25, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì cos α < 0 nên cos α = -4/5, không phải 4/5.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan α = (3/5)/(-4/5) = -3/4, không phải 3/4.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ và $\cot \alpha =-\sqrt{2}<0$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$.

Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow 1+2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ (dương vì $\alpha$ ở góc phần tư II).

$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ (âm).

a) Đúng: $\sin \alpha >0$ vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II.
b) Đúng: ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$ nên $\sin \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$; cụ thể $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) Đúng: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) Sai: $\tan \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}\ne \frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ suy ra ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, tức $\sin \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$; cụ thể $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, giá trị âm nên mệnh đề $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức nhân đôi đúng là $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$, nên B, C, D đều đúng. Công thức $\cos 2a=2\cos a$ ở phương án A là sai (ví dụ $a=0$ thì $\cos 0=1\ne 2$). Vậy công thức sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Với tan α = 3: a) cot α = 1/tan α = 1/3, đúng. b) tan là hàm tuần hoàn chu kỳ π nên tan(α+3π) = tan α = 3 ≠ 3+3π, sai. c) tan(−α) = −tan α = −3, đúng. d) tan 2α = 2tan α/(1−tan²α) = 6/(1−9) = −3/4, nên cot 2α = −4/3, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cot α = 1/tan α = 1/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan(α+3π) = tan α = 3, không bằng 3+3π.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan(−α) = −tan α = −3.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan 2α = 2·3/(1−9) = −3/4 nên cot 2α = −4/3.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức góc kép: $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^2=1-\frac{8}{25}=\frac{17}{25}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức lượng giác: $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ (đúng), $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ (đúng), còn $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha \ne \cos \alpha$ nên khẳng định B sai.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ (với $a,b$ và $a-b$ khác $\frac{\pi }{2}+k\pi$). Thật vậy, từ công thức sin và cos của hiệu: $\tan (a-b)=\frac{\sin (a-b)}{\cos (a-b)}=\frac{\sin a\cos b-\cos a\sin b}{\cos a\cos b+\sin a\sin b}=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$. Các phương án B, C, D đều sai (B là công thức của $\tan (a+b)$, C và D không đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Vì α∈(π/2;π) nên sinα>0. Từ cosα=−3/4: sin²α=1−9/16=7/16 ⇒ sinα=√7/4 (chỉ lấy dương). a) Sai: công thức đúng là cos2α=2cos²α−1=2·(9/16)−1=1/8, không phải 2cosα. b) Sai: do α ở góc phần tư thứ II nên sinα=√7/4 (dương), không có dấu ±. c) Đúng: sinα>0 với α∈(π/2;π). d) Đúng: tanα=sinα/cosα=(√7/4)/(−3/4)=−√7/3.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos2α=2cos²α−1=2·(9/16)−1=1/8≠−3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì α∈(π/2;π) nên sinα=+√7/4, không phải ±√7/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với α∈(π/2;π) (góc phần tư thứ II) thì sinα>0.
d) (AI giải đề cho tôi)
tanα=sinα/cosα=(√7/4)/(−3/4)=−√7/3.