Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân đôi $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Với $\sin x=\frac{1}{2}$ ta có $\cos 2x=1-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-2\cdot \frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{9}$. Mặt khác $(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin 2x$. Suy ra $\sin 2x=\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tổng hai cos: $\cos (120^{\circ }+x)+\cos (120^{\circ }-x)=2\cos 120^{\circ }\cos x=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cos x=-\cos x$. Do đó $P=-\cos x-\cos x=-2\cos x$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân đôi góc: $\sin (x+y)\sin (x-y)={\sin }^{2}x-{\sin }^{2}y$. Với $x=a$, $y=\frac{\pi }{4}$: $P={\sin }^{2}a-{\sin }^2\frac{\pi }{4}={\sin }^{2}a-\frac{1}{2}=\frac{1-\cos 2a}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Với $\sin \alpha =\frac{1}{2}$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (chọn dấu âm vì $\cos \alpha <0$), tức $\alpha =\frac{5\pi }{6}$.
a) $\cos \alpha >0$ sai vì $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\cos \alpha <0$.
b) $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ sai vì $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
c) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng.
d) $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}=\sin \alpha$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (góc phần tư II) nên $\cos \alpha <0$, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (dấu âm vì $\alpha$ ở góc phần tư II), khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\sin \alpha$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in [0;\pi ]$ và $\cos x=\frac{5}{13}>0$ nên $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right)$, do đó $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$ và $\tan x=\frac{12}{5}$. Áp dụng công thức tổng hai góc: $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=\frac{\frac{12}{5}+1}{1-\frac{12}{5}}=\frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}}=-\frac{17}{7}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tan(a-b): $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{3}}{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{1+3\sqrt{3}}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức nhân đôi: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$, nên khẳng định đúng là B. Các phương án A, C sai hệ số; D là công thức của $\cos 2a$ chứ không phải $\sin 2a$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot {\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$: $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{5}{12}$.

$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{5}{13}\cdot \frac{1}{2}+\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{26}-\frac{6\sqrt{3}}{13}=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}$.

$\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }=\frac{-\frac{5}{12}-1}{1-\frac{5}{12}}=\frac{-\frac{17}{12}}{\frac{7}{12}}=-\frac{17}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$.

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{24}{25}$.

$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{10}-\frac{4}{10}=-\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le -2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $3\le y\le 7$. Vậy $\max y=7$ (khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$) và $\min y=3$ (khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$).

b) Dùng công thức tổng hai sin: $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)+\sin \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)=2\sin x\cos \frac{2\pi }{3}=2\sin x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\sin x$. Vì $-1\le -\sin x\le 1$ nên $\max y=1$ (khi $\sin x=-1$, tức $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$) và $\min y=-1$ (khi $\sin x=1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x<0$. Ta có $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức: A đúng vì $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. C đúng vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. D đúng vì $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. B sai vì công thức đúng là $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, không phải $\sin a\sin b-\cos a\cos b$. Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot {\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{32}{25}=-\frac{7}{25}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan a=-2$ và $a\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $a$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos a>0$, $\sin a<0$. Ta có $\cos a=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}a}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin a=\tan a\cdot \cos a=\frac{-2}{\sqrt{5}}$. Tính $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2\cdot \frac{4}{5}=-\frac{3}{5}$. Vậy $A=\sin a-2\cos 2a=-\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{6}{5}=\frac{6-2\sqrt{5}}{5}\approx 0,31$.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức đúng của góc kép: $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$. Phương án B viết $\cos 2a={\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$, sai vì $\cos 2a$ không luôn bằng 1 (ví dụ $a=\pi /3$ thì $\cos 2a=-1/2$). Vậy công thức sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$. Với $u=4x,v=2x$: $B=\cos 4x-\cos 2x=-2\sin 3x\sin x$. Vậy đáp án D. Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{4}$, $B=\cos \pi -\cos \frac{\pi }{2}=-1$ và $-2\sin \frac{3\pi }{4}\sin \frac{\pi }{4}=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-1$, khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên cosα<0: cosα=-√(1-144/169)=-5/13 → a đúng. cos2α=1-2sin²α=1-288/169=-119/169 → b đúng. sin(α+π/3)=sinα·1/2+cosα·√3/2=6/13-5√3/26=(12-5√3)/26 → c đúng. tanα=sinα/cosα=-12/5; tan(α+π/4)=(-12/5+1)/(1-(-12/5)·1)=(-7/5)/(17/5)=-7/17 ≠ 7/17 → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cosα=-√(1-sin²α)=-5/13 vì α ở góc phần tư thứ II.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos2α=1-2sin²α=1-2·144/169=-119/169.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin(α+π/3)=(12/13)(1/2)+(-5/13)(√3/2)=(12-5√3)/26.
d) (AI giải đề cho tôi)
tanα=-12/5 nên tan(α+π/4)=(-12/5+1)/(1+12/5)=-7/17, không bằng 7/17.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha ,\beta <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$ và $\sin \beta >0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ và $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$.
a) $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ SAI vì $\cos \alpha =\frac{4}{5}>0$.
b) $\sin \beta =\frac{25}{169}$ SAI vì $\sin \beta =\frac{5}{13}$ (giá trị $\frac{25}{169}$ là ${\sin }^2\beta$).
c) $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{36+20}{65}=\frac{56}{65}$ ĐÚNG.
d) $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{48+15}{65}=\frac{63}{65}$ ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$; $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$, không phải $-\frac{4}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$, không phải $\frac{25}{169}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65}$.