Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: với $0^0<\alpha <180^0$, hai góc $\alpha$ và $180^0-\alpha$ có cùng sin nên $\sin (180^0-\alpha )=\sin \alpha$. b) Sai: vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$; từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ ta được $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$, không phải $+\frac{2\sqrt{2}}{3}$. c) Đúng: theo bảng giá trị lượng giác, $\cos 60^0=\frac{1}{2}$. d) Sai: $P=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )=\cos 180^0=-1\ne 1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $0^0<\alpha <180^0$, $\sin (180^0-\alpha )=\sin \alpha$ (tính chất hai góc bù có cùng sin).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lượng giác đặc biệt: $\cos 60^0=\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )=\cos 180^0=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^0<\alpha <180^0$ và $\tan \alpha =2>0$ nên $\alpha$ là góc nhọn, do đó $\cos \alpha >0$. Ta có ${\sin }^2\alpha =\frac{{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{5}$ nên $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$. Khi đó $$B=\frac{2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}=1.$$ Vậy $B=1$. (Cách khác: chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$, được $B=\frac{2\tan \alpha -1}{\tan \alpha +1}=\frac{4-1}{2+1}=1$.)

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$, $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$ → mệnh đề sai.
b) $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Khi đó $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$. Vậy $a=2,b=6$, $a+b=8$ → đúng.
c) $\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 3x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $3x+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$, tức $x=-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}$. Nghiệm $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ đưa ra là sai (thay $k=0$: $\sin 0=0\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}$) → mệnh đề sai.
d) Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $3x+\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$. Trên khoảng này, $\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ chỉ có nghiệm $t=\frac{4\pi }{3}$ (vì $\frac{5\pi }{3}>\frac{3\pi }{2}$), cho $x=\frac{\pi }{3}$. Vậy chỉ có 1 nghiệm → mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc phần tư thứ III: sin và cos đều âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$, nên $a=2,b=6$, $a+b=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}$; họ $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ không thỏa.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{3}$, tức 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=\cos 2x+1=2{\cos }^{2}x=2(1-{\sin }^{2}x)=2\left(1-\frac{4}{9}\right)=\frac{10}{9}\approx 1,11$. Vậy $A\approx 1,11$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\pi <x<-\frac{\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin x<0$. Từ $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ta có $\sin x=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$, suy ra $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{2}$.

Tính từng thành phần:
- $\sin (x+2025\pi )=\sin (x+\pi )=-\sin x=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
- $\tan (2025\pi -x)=\tan (\pi -x)=-\tan x=-\sqrt{2}$.

Do đó $T=9\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}+\sqrt{3}\cdot (-\sqrt{2})=3\sqrt{6}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}\approx 4,90$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$ và $\sin \alpha <0$. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$. Khi đó $\sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Vậy $\cos \alpha +\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A,B,C$ là ba góc của tam giác $ABC$ nên $A+B+C=180^{\circ }$, suy ra $A+B=180^{\circ }-C$.
Do đó:
$$\cos (A+B+2C)=\cos ((A+B)+2C)=\cos (180^{\circ }-C+2C)=\cos (180^{\circ }+C).$$
Áp dụng công thức góc bù trừ: $\cos (180^{\circ }+C)=-\cos C$.
Vậy $\cos (A+B+2C)=-\cos C$ (điều phải chứng minh).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}\cos (k\pi )+\cos \frac{\pi }{4}\sin (k\pi )=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-1{)}^k+0=(-1{)}^k\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Giải thích: với $k$ chẵn, $k=2m$ thì $\frac{\pi }{4}+2m\pi$ là góc đồng vị với $\frac{\pi }{4}$ nên $\sin \left(\frac{\pi }{4}+2m\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Với $k$ lẻ, $k=2m+1$ thì $\frac{\pi }{4}+(2m+1)\pi =\frac{\pi }{4}+\pi +2m\pi$, và $\sin \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=(-1{)}^k\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2}}{2},& k\text{ cha˘˜n}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2},& k\text{ lẻ}\end{array}$, với mọi $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường (đoạn $AH$), $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống tường. Theo hình vẽ: $\tan \alpha =\frac{40}{x}$ và $\tan 2\alpha =\frac{90}{x}$. Áp dụng công thức góc kép: $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\cdot \frac{40}{x}}{1-\frac{1600}{x^2}}=\frac{80x}{x^2-1600}$. Suy ra $\frac{90}{x}=\frac{80x}{x^2-1600}\Rightarrow 90(x^2-1600)=80x^2\Rightarrow 10x^2=144000\Rightarrow x^2=14400\Rightarrow x=120$ (m). Vậy khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng $120$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức hiệu: $\sin (x-a)=\sin x\cos a-\cos x\sin a$ với $a=\frac{\pi }{6}$, ta có $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x$. So với các phương án: A sai dấu (cos dương), B sai hệ số, D sai dấu sin. Đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P$ cho $\cos \alpha$ (với $\cos \alpha \ne 0$ vì $\tan \alpha =-2$): $P=\frac{\tan \alpha +3}{1+3\tan \alpha }=\frac{-2+3}{1+3(-2)}=\frac{1}{-5}=-0,2$. Điều kiện $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ chỉ xác định dấu của sin, cos nhưng không ảnh hưởng kết quả vì biểu thức chỉ phụ thuộc $\tan \alpha$. Vậy $P=-0,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan 30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$ và $\sin 120^0=\sin 60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{6}$. Do đó $\tan 30^0+\sin 120^0=\frac{2\sqrt{3}}{6}+\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia cả tử và mẫu cho $\cos x$ (vì $\cot x=2$ nên $\cos x\ne 0$): $A=\frac{2\tan x+3}{3\tan x-2}$. Với $\cot x=2$ thì $\tan x=\frac{1}{2}$, do đó $A=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+3}{3\cdot \frac{1}{2}-2}=\frac{1+3}{\frac{3}{2}-2}=\frac{4}{-\frac{1}{2}}=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: Công thức đúng là $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$, nên khẳng định B (dấu cộng) là sai. Các khẳng định A, C, D đều là công thức lượng giác đúng. Đáp án B trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 3x-\sin x=2\cos \frac{3x+x}{2}\sin \frac{3x-x}{2}=2\cos 2x\sin x$ và mẫu số $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$. Do đó $y=\frac{2\cos 2x\sin x}{\cos 2x}=2\sin x$ (với $\cos 2x\ne 0$). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1: Công thức đúng là $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$, nên khẳng định A (viết dấu cộng) là sai. Các khẳng định B, C, D đều là các công thức lượng giác đúng: $\sin 2a=2\sin a\cos a$; $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$; ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A=\frac{2\sin x+3\cos x}{3\sin x-2\cos x}$ cho $\cos x$ (vì $\cot x=2$ nên $\cos x\ne 0$): $A=\frac{2\tan x+3}{3\tan x-2}$. Vì $\cot x=2$ nên $\tan x=\frac{1}{2}$. Do đó $A=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+3}{3\cdot \frac{1}{2}-2}=\frac{1+3}{\frac{3}{2}-2}=\frac{4}{-\frac{1}{2}}=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin 3x-\sin x=2\cos \frac{3x+x}{2}\sin \frac{3x-x}{2}=2\cos 2x\sin x$. Mẫu số: $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$. Do đó $y=\frac{2\cos 2x\sin x}{\cos 2x}=2\sin x$ (với $\cos 2x\ne 0$). Kết quả trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $A+C=180^{\circ }-B$. Khi đó: $\cos (A+C)=\cos (180^{\circ }-B)=-\cos B$ (A sai); $\sin (A+C)=\sin (180^{\circ }-B)=\sin B$ (B sai); $\tan (A+C)=\tan (180^{\circ }-B)=-\tan B$ (C đúng, với $B\ne 90^{\circ }$); $\cot (A+C)=-\cot B$ (D sai). Vậy mệnh đề đúng là C.