Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot \frac{1}{9}=\frac{7}{9}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (theo công thức biến đổi tổng thành tích), nên khẳng định a đúng. Với $x\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, $\sin x<0$ và $\cos x<0$ nên $g(x)<0$, khẳng định b đúng. Phương trình $g(x)=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$ ta được $x=\frac{3\pi }{4}$ và $x=\frac{7\pi }{4}$, tức có đúng 2 nghiệm, khẳng định c đúng. Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $\max g(x)=\sqrt{2}\ne 2$, khẳng định d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ cả $\sin x$ và $\cos x$ đều âm nên $g(x)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=0\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$; trong $[0;2\pi ]$ có $x=\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$: đúng 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\max g(x)=\sqrt{2}$, không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức hiệu hai cos: $\cos (a-b)-\cos (a+b)=2\sin a\sin b$. Do đó $2\sin a\sin b=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$, suy ra $\sin a\sin b=\frac{1}{24}\approx 0,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x<0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, suy ra $\cos x=-\frac{4}{5}$. Khi đó $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$ và $\cot x=\frac{1}{\tan x}=-\frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ công thức biến đổi tổng - hiệu: $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ (A sai), $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (B sai), $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (C sai), $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (D đúng). Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Các hằng đẳng thức lượng giác đúng là $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$. Do đó: A đúng vì $2{\sin }^{2}a=1-\cos 2a$; B đúng vì $\sin 2a=2\sin a\cos a$; D đúng vì $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$. Khẳng định C sai vì $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$, không phải $2\cos a-1$. Kiểm tra với $a=\frac{\pi }{3}$: $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$, còn $2\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)-1=2\cdot \frac{1}{2}-1=0\ne -\frac{1}{2}$. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức hạ bậc: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, với $x=2\alpha$ ta có $\cos 4\alpha =1-2{\sin }^{2}2\alpha$, suy ra ${\sin }^{2}2\alpha =\frac{1-\cos 4\alpha }{2}$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hàm tan có chu kì $\pi$, ta có $\tan (3\pi +\alpha )=\tan \alpha$ (do $3\pi =k\pi$ với $k=3$). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi: $P=\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2-1=2\cdot \frac{4}{25}-1=\frac{8}{25}-1=-\frac{17}{25}$. Vậy $P=-\frac{17}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<x<90^{\circ }$ nên $\cos x>0$. Áp dụng hệ thức cơ bản: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$. Suy ra $\cos x=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$ (do $\cos x>0$ với góc nhọn). Vậy $\cos x=\frac{3}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$, ta có các công thức góc bù: $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$, $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, $\cot (180^{\circ }-x)=-\cot x$, $\tan (180^{\circ }-x)=-\tan x$ (khi các hàm có xác định). Vậy chỉ phương án D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$. Thay vào: $A=\frac{3\cdot \frac{5}{13}+4\cdot (-\frac{12}{13})-2}{2\cdot \frac{5}{13}-5\cdot (-\frac{12}{13})}=\frac{\frac{15-48-26}{13}}{\frac{10+60}{13}}=\frac{-59}{70}\approx -0,843\approx -0,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ },\alpha \ne 90^{\circ }$, ta có các công thức góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, do đó $\tan (180^{\circ }-\alpha )=\frac{\sin (180^{\circ }-\alpha )}{\cos (180^{\circ }-\alpha )}=-\tan \alpha$ (đúng) và $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (đúng). Mệnh đề $\cos (180^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$ sai vì đúng phải là $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$.
Thay vào $A=\frac{3\sin \alpha +4\cos \alpha -2}{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$:
Tử số: $3\cdot \frac{5}{13}+4\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)-2=\frac{15-48}{13}-2=-\frac{33}{13}-\frac{26}{13}=-\frac{59}{13}$.
Mẫu số: $2\cdot \frac{5}{13}-5\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{10+60}{13}=\frac{70}{13}$.
Vậy $A=\frac{-59/13}{70/13}=-\frac{59}{70}\approx -0,842\approx -0,8$ (làm tròn đến hàng phần mười). Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ },\alpha \ne 90^{\circ }$, ta có các công thức góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ nên mệnh đề B sai, $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (đúng), $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (đúng). Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{49}}=-\sqrt{\frac{45}{49}}=-\frac{3\sqrt{5}}{7}$.

b) $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

- Trường hợp 1: $2x=k2\pi \iff x=k\pi$.
- Trường hợp 2: $2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

Vậy tập nghiệm $S=\left\{k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì sin(-75°) = -sin75°. B sai vì tan(α+180°) = tanα (tan chu kỳ π). C đúng vì cos(π−α) = −cosα với mọi α. D sai vì sin(π/2−α) = cosα.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$, $\tan \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{12}{5}$.

b) i) $\cos 2x=1\iff 2x=2k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

ii) $\sin \left(\frac{\pi }{5}-x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
Trường hợp 1: $\frac{\pi }{5}-x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{20}-k2\pi =-\frac{\pi }{20}+k2\pi$.
Trường hợp 2: $\frac{\pi }{5}-x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{11\pi }{20}+k2\pi$.
Vậy $S=\left\{-\frac{\pi }{20}+k2\pi ;-\frac{11\pi }{20}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất hàm số chẵn/lẻ của các hàm lượng giác: $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$ (hàm $\cos$ là hàm chẵn), còn $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$, $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$, $\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$. Vậy các khẳng định A, B, D đều sai, chỉ có khẳng định C là đúng.