Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Với $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$, $x$ ở góc phần tư thứ IV nên $\cos x>0$, $\sin x<0$. Ta có $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow {\cos }^{2}x=\frac{1}{1+\frac{1}{9}}=\frac{9}{10}\Rightarrow \cos x=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Khi đó $\sin x=\tan x\cdot \cos x=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Câu b) $\cot 5x=\sqrt{3}\iff 5x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{\pi }{30}+\frac{k\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm $S=\left\{\frac{\pi }{30}+\frac{k\pi }{5}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức góc bù: $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$, $\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$, $\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha$. Vậy chỉ khẳng định D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức góc bù/phụ: $\tan \left(\frac{\pi }{2}-b\right)=\cot b$ (đúng với mọi $b$ có xác định). B sai vì $\sin \left(\frac{\pi }{2}-b\right)=\cos b$. C sai vì $\sin (b+\pi )=-\sin b$. D sai vì $\cos (-b)=\cos b$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a) Vì $-\pi <x<0$ và $\cos x=\frac{2}{3}>0$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin x<0$: $\sin x=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.
Suy ra $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{2/3}{-\sqrt{5}/3}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, và $\tan x=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Áp dụng công thức: $\tan \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi }{3}\tan x}=\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{5}}{2}}{1-\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2-\sqrt{15}}$.
Nhân với liên hợp $(2+\sqrt{15})$: tử số $(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2+\sqrt{15})=4\sqrt{3}+6\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}+8\sqrt{5}$; mẫu $4-15=-11$.
Vậy $\tan \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=-\frac{9\sqrt{3}+8\sqrt{5}}{11}$.

Câu 1b) $\sin \left(60^{\circ }-\frac{2x}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin (-45^{\circ })$.
Trường hợp 1: $60^{\circ }-\frac{2x}{3}=-45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow \frac{2x}{3}=105^{\circ }-k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=157,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=\frac{7\pi }{8}+k\cdot 3\pi$.
Trường hợp 2: $60^{\circ }-\frac{2x}{3}=225^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow \frac{2x}{3}=-165^{\circ }-k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=-247,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=292,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=\frac{13\pi }{8}+k\cdot 3\pi$.
Kiểm tra: với $x=\frac{7\pi }{8}$: $60^{\circ }-\frac{2}{3}\cdot 157,5^{\circ }=60^{\circ }-105^{\circ }=-45^{\circ }$, $\sin (-45^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓. Với $x=\frac{13\pi }{8}$: $60^{\circ }-195^{\circ }=-135^{\circ }$, $\sin (-135^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.
Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{7\pi }{8}+k\cdot 3\pi ;\frac{13\pi }{8}+k\cdot 3\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ (hoặc theo độ: $x=157,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }$ hoặc $x=292,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$. C đúng vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. D đúng vì $\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$. B sai vì công thức đúng là $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (dấu cộng, không phải dấu trừ). Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\frac{\pi }{2}<x<0$ nên $x$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\sin x<0$, $\tan x<0$, $\cot x<0$.

Ta có:
$$\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{4}{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=-\frac{1}{2}.$$

$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=-2.$$

Vậy $\sin x=-\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\tan x=-\frac{1}{2}$, $\cot x=-2$ (và $\cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ như đã cho).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\pi <x<-\frac{\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần tư III, do đó $\sin x<0$, $\cos x<0$, $\tan x>0$, $\cot x>0$.

Ta có:
$$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow {\cos }^{2}x=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}=\frac{16}{25}$$
Vì $\cos x<0$ nên $\cos x=-\frac{4}{5}$.

$$\sin x=\tan x\cdot \cos x=\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{5}$$

$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{4}{3}$$

Vậy: $\sin x=-\frac{3}{5}$, $\cos x=-\frac{4}{5}$, $\cot x=\frac{4}{3}$.

Kiểm tra: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ (đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A$ cho $\cos \alpha$ (với $\tan \alpha =10$ thì $\cos \alpha \ne 0$):
$$A=\frac{3\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}=\frac{3\cdot 10+1}{10-1}=\frac{31}{9}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Áp dụng công thức biến đổi tổng:
$$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}$$
$$=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}.$$

Vậy $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}\approx -0,65$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\tan (a-b)$: $$\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{2-1}{1+2\cdot 1}=\frac{1}{3}.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$: $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Do đó $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1-\sin 2x$.

a) Với $x=0$: $A=(\sin 0-\cos 0{)}^2=(0-1{)}^2=1$. Đúng.

b) $A=1-\sin 2x\ne 1+\sin 2x$ (trừ khi $\sin 2x=0$). Sai.

c) Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $A=1-\sin 2x\in [0;2]$. Đúng.

d) Nếu $\cos 2x=-1$ thì ${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x=0$ nên $\sin 2x=0$, do đó $A=1\ne -2$; hơn nữa $A\ge 0$ nên không thể bằng $-2$. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai (DSDS), khớp bảng đáp án mã đề 1102, câu 14.
a) Với $x=0$: $A=(\sin 0-\cos 0{)}^2=(0-1{)}^2=1$. Đúng, phù hợp đáp án DSDS của mã đề 1102.
b) $A={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1-\sin 2x$, không phải $1+\sin 2x$. Sai.
c) Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $A=1-\sin 2x\in \left[0;2\right]$. Đúng.
d) Nếu $\cos 2x=-1$ thì $\sin 2x=0$ (do ${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x=0$), nên $A=1-\sin 2x=1\ne -2$. Hơn nữa $A\ge 0$ nên không thể bằng $-2$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với điều kiện sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0, ta có: M = 2cos x − cos2x/cos x = (2cos²x − cos2x)/cos x = (2cos²x − (2cos²x − 1))/cos x = 1/cos x. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1102 (Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tại t=0 (nửa đêm), đồ thị cho h=12: h(0)=m+a·cos0=m+a=12. Tại t=12, mực nước thấp nhất h=8: h(12)=m+a·cos(π)=m−a=8. Giải hệ: m=10, a=2 (đều dương, thỏa mãn). Vậy T=m·a=10·2=20, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 20 = 20).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\cos x<0$, do đó $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Áp dụng công thức hiệu hai cos:
$$A=\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\cos \frac{\pi }{4}\cos x+\sin \frac{\pi }{4}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{-4+\sqrt{2}}{6}.$$

Suy ra $A=\frac{\sqrt{2}-4}{6}\approx \frac{1,414-4}{6}\approx -0,43\approx -0,4$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Kết quả khớp với đáp án nguồn $-0,4$ (bảng đáp án, mã đề 1102, câu 22).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan x\cdot \cot x=1$ nên với $\cot x=2$ ta có $\tan x=\frac{1}{\cot x}=\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot x=\frac{1}{\tan x}$, với $\tan x=4$ ta có $\cot x=\frac{1}{4}$. Kết quả trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1101, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
A = (sin x + cos x)^2 = sin^2 x + cos^2 x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x. a) Đúng. b) x = 0: A = (0+1)^2 = 1 ≠ 0, sai. c) Vì sin 2x ∈ [-1;1] nên A ∈ [0;2], không phải [-2;0], sai. d) cos 2x = 1 ⇒ sin 2x = 0 ⇒ A = 1, đúng. Khớp đáp án nguồn (mã 1101, câu 15: ĐSSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
A = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 + sin 2x.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x = 0: A = (0 + 1)^2 = 1 ≠ 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
A = 1 + sin 2x với sin 2x ∈ [-1;1] nên A ∈ [0;2], không phải [-2;0].
d) (AI giải đề cho tôi)
cos 2x = 1 ⇒ sin 2x = 0 ⇒ A = 1 + 0 = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\cos x<0$: $\cos x=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Khi đó $A=\cos \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4+\sqrt{2}}{6}\approx -0,9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-0,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $M=\frac{\cos 2x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\cos x}$ với điều kiện $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$.

Quy đồng mẫu chung $\sin x\cos x$:
$$M=\frac{\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x}{\sin x\cos x}$$

Tử số là công thức cộng của cosin: $\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x=\cos (2x-x)=\cos x$.

Suy ra $M=\frac{\cos x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x}$.

Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 6: C).