Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì $\pi <\beta <2\pi$ và $\cos \beta =-\frac{2}{3}<0$ nên $\beta$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \beta =-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. Khi đó $$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{-2+2\sqrt{10}}{9}\approx \frac{-2+6,3249}{9}\approx 0,4805\approx 0,48.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vào lúc 3 rưỡi chiều (15h30), số giờ tính từ 5 giờ sáng là $t=15,5-5=10,5$. Thay vào công thức: $S(10,5)=80\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}\cdot 10,5\right)\right|=80\left|\cot \frac{7\pi }{8}\right|$. Vì $\frac{7\pi }{8}=\pi -\frac{\pi }{8}$ nên $\cot \frac{7\pi }{8}=-\cot \frac{\pi }{8}$. Ta có $\cot \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\tan 22,5^{\circ }}=\sqrt{2}+1\approx 2,4142$. Vậy $S=80(\sqrt{2}+1)\approx 193,14\approx 193$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức: A đúng vì $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. B đúng vì $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. C đúng vì $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. D sai vì công thức đúng là $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, không phải $\sin a\sin b-\cos a\cos b$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ và $\cos \alpha =-\frac{1}{2}$ nên $\alpha =120^{\circ }$.
Suy ra ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$; ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{3/4}{1/4}=3$; $\cos (180^{\circ }-\alpha )=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.
Do đó $P=18\cdot \frac{3}{4}+10\cdot 3+2025\cdot \frac{1}{2}=13,5+30+1012,5=1056$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: đồng nhất thức đúng là ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ cùng một góc; ví dụ $a=0,b=\pi$ thì ${\sin }^{2}0+{\cos }^2\pi =1$. Thật ra với $a=0,b=\pi$ ta được $0+1=1$, nhưng với $a=b=\pi /4$ thì $1/2+1/2=1$... xét $a=0,b=\pi /2$: $0+0=0\ne 1$, nên khẳng định sai.

b) Đúng: $f(-x)=(-x{)}^2\sin (-x)=-x^2\sin x=-f(x)$ với mọi $x$, nên hàm số lẻ.

c) Đúng: $f(\pi /2)=\cot (\pi /2)=\frac{\cos (\pi /2)}{\sin (\pi /2)}=\frac{0}{1}=0$.

d) Đúng: $\sin (2x+\pi /3)=\sin x$.
• TH1: $2x+\pi /3=x+k2\pi \Rightarrow x=-\pi /3+2k\pi$; nghiệm dương nhỏ nhất $5\pi /3$.
• TH2: $2x+\pi /3=\pi -x+k2\pi \Rightarrow 3x=2\pi /3+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$.
Với $k=0$: $x=\frac{2\pi }{9}\approx 0,70$ nhỏ hơn $5\pi /3$, vậy $x_0=\frac{2}{9}\pi$, $m+n=2+9=11$. Khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồng nhất thức chỉ đúng khi cùng một góc: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$. Ví dụ $a=0,b=\pi /2$ thì ${\sin }^{2}0+{\cos }^2(\pi /2)=0\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=(-x{)}^2\sin (-x)=-x^2\sin x=-f(x)$, nên hàm số lẻ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cot (\pi /2)=\frac{\cos (\pi /2)}{\sin (\pi /2)}=\frac{0}{1}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình: TH1 $x=-\pi /3+2k\pi$ (nghiệm dương nhỏ nhất $5\pi /3$); TH2 $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $x_0=\frac{2\pi }{9}$, nên $m+n=2+9=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức lượng giác cơ bản: A sai vì $\tan x\cdot \cot x=1$ (với $x$ xác định); B sai vì ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-\cos 2x\ne 1$ nói chung; C sai vì ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\ne 0$; D đúng theo đồng nhất thức cơ bản ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ với mọi $x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

Đáp án: 1,24. Ta có $\sin a=\frac{3}{5}$, $0^{\circ }<a<90^{\circ }\Rightarrow \cos a=\frac{4}{5}$. $E=\sin 2a+\cos 2a=2\sin a\cos a+1-2{\sin }^{2}a=\frac{31}{25}=1,24$.

Đáp án: 110. Ta có $\alpha$ là góc tù thỏa mãn $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$ suy ra $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$. $$A={\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha +\sqrt{2}\sin x\cos x={\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +\sqrt{2}\sin x\cos x.$$ Suy ra $A=\frac{29}{81}$ nên tổng $a+b=110$. (Nguồn ghi 'sin x cos x' thay vì 'sin α cos α' ở một số chỗ — giữ nguyên theo nguồn.)

Ta có: $\tan \alpha =\frac{CH}{AH}=\frac{13}{x}$ ; $\tan 2\alpha =\frac{BH}{x}\iff \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{BH}{x}=\frac{27}{x}$. Suy ra $\frac{2.\frac{13}{x}}{1-{\left(\frac{13}{x}\right)}^2}=\frac{27}{x}\Rightarrow x\approx 68\text{m}$. Vậy vận động viên nằm bắn cách bức tường 68 mét. (Hướng dẫn chấm trang 11-12 ghi 'nằm bán cách bức tường' — lỗi chính tả có sẵn trong nguồn, giữ nguyên.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6: Áp dụng công thức nhân đôi: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$. Do đó khẳng định đúng là $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Kiểm tra các phương án: A sai vì ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$; B sai vì $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$; D sai vì $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồng nhất thức cơ bản: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ đúng với mọi $x$, nên chọn D. Các phương án khác sai: A sai vì tổng bằng 1 chứ không bằng 0; B sai vì ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-\cos 2x$ không bằng 1 nói chung; C sai vì với $x$ xác định, $\tan x\cdot \cot x=1$. Lời giải nguồn (trang 13, Câu 2 mã đề 101) cũng chọn công thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ (ở đó in ở vị trí A do thứ tự phương án khác); với đề hiện tại (mã đề 0101, trang 1) công thức đúng ở vị trí D, khớp đáp án nguồn trang 9: D.

Đáp án: 110. Ta có $\alpha$ là góc tù thỏa mãn $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$ suy ra $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$. $$A={\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha +\sqrt{2}\sin x\cos x={\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +\sqrt{2}\sin x\cos x.$$ Suy ra $A=\frac{29}{81}$ nên tổng $a+b=110$. (Nguồn ghi 'sin x cos x' thay vì 'sin α cos α' ở một số chỗ — giữ nguyên theo nguồn.)

Đáp án: 1,24. Ta có $\sin a=\frac{3}{5}$, $0^{\circ }<a<90^{\circ }\Rightarrow \cos a=\frac{4}{5}$. $E=\sin 2a+\cos 2a=2\sin a\cos a+1-2{\sin }^{2}a=\frac{31}{25}=1,24$.

Ta có: $\tan \alpha =\frac{CH}{AH}=\frac{12}{x}$ ; $\tan 2\alpha =\frac{BH}{x}\iff \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{BH}{x}=\frac{25}{x}$. Suy ra $\frac{2.\frac{12}{x}}{1-{\left(\frac{12}{x}\right)}^2}=\frac{25}{x}\Rightarrow x=60\mathrm{m}$. Vậy vận động viên nằm bắn cách bức tường 60 mét.

Công thức nhân đôi: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ (vì $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x$). Các phương án B, C, D đều sai (đúng phải là $\cos 2x=1+2{\sin }^{2}x$ sai dấu; $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$; ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Nguồn trang 13 (Câu 3, mã đề tương ứng) ghi lời giải: Chọn A; bảng đáp án trang 9 (Câu 8, mã đề 101) cũng cho A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức lượng giác góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng). Kiểm tra các phương án khác: $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ nên A sai; $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ nên B sai; $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ nên C sai. Vậy khẳng định đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 11: D).

Hướng dẫn chấm:
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, $\alpha \in \left(90^{\circ };180^{\circ }\right)$ nên $\sin \alpha >0$. (0,25 điểm)
$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$, $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$. (0,25 điểm)
$P=\frac{\tan \alpha -4\cot \alpha +2}{\tan \alpha +\cot \alpha }=\frac{-2\sqrt{2}-4.\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+2}{-2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{4-4\sqrt{2}}{9}$. (0,5 điểm)

Hướng dẫn chấm:
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, $\alpha \in \left(0^{\circ };90^{\circ }\right)$ nên $\sin \alpha >0$. (0,25 điểm)
$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, $\tan \alpha =2\sqrt{2}$. (0,25 điểm)
$P=\frac{\tan \alpha -4\cot \alpha +2}{\tan \alpha +\cot \alpha }=\frac{2\sqrt{2}-4\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}+2}{2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{4+4\sqrt{2}}{9}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ đúng với mọi $\alpha$. Kiểm tra các phương án khác: $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (sai ở A); $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (sai ở C); $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (sai ở D). Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 3: B).