Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông đầu có diện tích $S_1=a^2$. Khi nối trung điểm các cạnh, hình vuông mới có cạnh bằng $a\frac{\sqrt{2}}{2}$ (nửa đường chéo), nên diện tích bằng nửa diện tích hình vuông trước: $S_{n+1}=\frac{1}{2}{S}_n$. Vậy các diện tích lập cấp số nhân với công bội $q=\frac{1}{2}$. Tổng tất cả diện tích là $S=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$ (mẫu có bậc 2 do $5n+3n^2$).
- A: $\lim \frac{n^2-2}{5n+3n^2}=\frac{1}{3}\ne 0$.
- B: $\lim \frac{n^2-2n}{5n+3n^2}=\frac{1}{3}\ne 0$.
- C: $\lim \frac{1-2n}{5n+3n^2}=\lim \frac{1/n^2-2/n}{5/n+3}=0$.
- D: $\lim \frac{1-2n^2}{5n+3n^2}=\frac{-2}{3}\ne 0$.
Vậy chỉ dãy ở phương án C có giới hạn bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, nên tổng $S_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$. Do đó $\lim S_n=1$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(2-3n{)}^4(n+1{)}^3=(3n-2{)}^4(n+1{)}^3$. Khi $n\to \infty$, $(3n-2{)}^4\sim 81n^4$ và $(n+1{)}^3\sim n^3$, nên tích xấp xỉ $81n^7\to +\infty$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{-2+3n-2n^3}{3n-2}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $u_n=\frac{\frac{-2}{n}+3-2n^2}{3-\frac{2}{n}}$. Khi $n\to +\infty$, $\frac{-2}{n}\to 0$, $\frac{2}{n}\to 0$, nên $u_n\to \frac{3-2n^2}{3}\to -\infty$ vì $-2n^2\to -\infty$. Vậy $\lim u_n=-\infty$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\sqrt{4n^2+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3}=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}{2-\frac{3}{n}}=\frac{2-0}{2}=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $I=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{5}{n^2}}+1}{4-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{2+1}{4-1}=1$. Vậy $I=1$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n+1}-4}{\sqrt{n+1}+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}-\frac{4}{n}}{\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}+1}=\frac{0-0}{0+1}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+2n+2}-n=\frac{2n+2}{\sqrt{n^2+2n+2}+n}\to \frac{2}{1+1}=1$. Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n+2}-n+2024\right)=1+2024=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-\sqrt{2n^2+1}}{4+3n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}{\frac{4}{n}+3}=\frac{1-\sqrt{2}}{3}=\frac{a-\sqrt{b}}{c}.$$ Suy ra $a=1,b=2,c=3$ (đều nguyên dương). Vậy $a^2+b^2+c^2=1+4+9=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 65: Tính từng giới hạn dãy số.

a. Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim \frac{n+1}{n^2-2}=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0}=0$.

b. Bậc tử (3) lớn hơn bậc mẫu (2), chia cho $n^2$: $\frac{3n-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}{2+\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}\to \frac{+\infty }{2}=+\infty$. Vậy giới hạn bằng $+\infty$.

c. Chia tử và mẫu cho $5^n$ (số hạng trội): $\lim \frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n-{\left(\frac{4}{5}\right)}^n+1}{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{4}{5}\right)}^n-1}=\frac{0-0+1}{0+0-1}=-1$.

d. Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{\frac{1}{3^n}+1}{\frac{4}{3^n}+1}=\frac{0+1}{0+1}=1$.

e. Chia tử và mẫu cho $n\sqrt{n}$: $\lim \frac{1-\frac{1}{n\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}+1}=\frac{1-0}{0+1}=1$.

f. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{0+0}{1+0}=0$.

g. Nhân với biểu thức liên hợp: $\sqrt{4n^2+5n}-2n=\frac{5n}{\sqrt{4n^2+5n}+2n}=\frac{5}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}+2}\to \frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

h. Nhân với biểu thức liên hợp: $\sqrt{2n+1}-\sqrt{n}=\frac{n+1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{n}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n}}}\to \frac{1}{0}=+\infty$.

i. Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^n}=1+\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=2-\frac{1}{2^n}\to 2$ (cấp số nhân công bội $q=\frac{1}{2}$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 66: a) lim(n³+n²+n+1) = +∞ vì bậc cao nhất n³ → +∞ khi n → +∞. b) lim(−n²+n√n−1) = −∞ vì −n² trội (bậc 2 so với bậc 3/2 của n√n). c) Đặt A = ∛(1+2n−n³) − n. Nhân với liên hợp lập phương: A = [(1+2n−n³) − n³] / [∛(1+2n−n³)² + n·∛(1+2n−n³) + n²] = (1+2n−2n³)/[∛(1+2n−n³)² + n∛(1+2n−n³) + n²]. Tử số ~ −2n³; mẫu số: ∛(1+2n−n³) ~ −n nên mẫu ~ n² − n² + n² = n². Vậy lim A = lim(−2n³/n²) = −∞. d) lim(n+√(n²−n+1)) = +∞ vì cả hai số hạng đều dương và tiến ra +∞ (n → +∞, √(n²−n+1) ~ n → +∞).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P=2,131313\dots =2+0,131313\dots$. Phần tuần hoàn $0,131313\dots$ là tổng cấp số nhân: $\frac{13}{100}+\frac{13}{100^2}+\frac{13}{100^3}+\cdots =\frac{\frac{13}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{13}{99}$. Vậy $P=2+\frac{13}{99}=\frac{198+13}{99}=\frac{211}{99}$. Kiểm tra: $\frac{211}{99}\approx 2,131313\dots$ đúng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $|u_n-2|<\frac{1}{n^3}$, theo định lý kẹp: $2-\frac{1}{n^3}<u_n<2+\frac{1}{n^3}$. Vì $\lim \left(2-\frac{1}{n^3}\right)=\lim \left(2+\frac{1}{n^3}\right)=2$ nên $\lim u_n=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n-1}{3-n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}-1}=\frac{2-0}{0-1}=-2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{5/4}{1+1/3}=\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{16}$.

b) Đặt $x=2,(3)=2+0,3333\dots$. Phần tuần hoàn $0,(3)=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\cdots$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $\frac{3}{10}$ và công bội $\frac{1}{10}$, nên $0,(3)=\frac{3/10}{1-1/10}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Vậy $2,(3)=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.

Kiểm tra: $\frac{7}{3}=2,3333\dots$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $0\le |u_n-2|\le \frac{1}{3^n}$. Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{3^n}=0$, theo định lý kẹp (hai dãy bó) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }|u_n-2|=0$, suy ra $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: a) Vì $\sqrt{3}>1$ nên $\lim (\sqrt{3}{)}^n=+\infty$. b) Vì $\pi >1$ nên $\lim {\pi }^n=+\infty$. c) $\lim (n^3+2n^2-4)=\lim n^3\left(1+\frac{2}{n}-\frac{4}{n^3}\right)=+\infty$ vì $\lim n^3=+\infty$ và $\lim \left(1+\frac{2}{n}-\frac{4}{n^3}\right)=1>0$. d) $\lim (-n^4+5n^3-4n)=\lim n^4\left(-1+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}\right)=-\infty$ vì $\lim n^4=+\infty$ và $\lim \left(-1+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}\right)=-1<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=-\frac{1}{3}$ và công bội $q=-\frac{1}{3}$ (vì $\frac{1/9}{-1/3}=-\frac{1}{3}$, $\frac{-1/27}{1/9}=-\frac{1}{3}$). Vì $|q|=\frac{1}{3}<1$ nên tổng tồn tại: $$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}=-\frac{1}{4}.$$ Vậy $S=-\frac{1}{4}$. Kiểm tra lại bằng cách lấy giới hạn tổng riêng: $S_n=\frac{-\frac{1}{3}\left(1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right)}{1+\frac{1}{3}}=-\frac{1}{4}\left(1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right)\to -\frac{1}{4}$ khi $n\to \infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Quả bóng được thả từ độ cao $5m$, sau mỗi lần chạm sàn lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Ta có $u_1=5\cdot \frac{2}{3}$ và $u_{n+1}=\frac{2}{3}{u}_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Suy ra $(u_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{10}{3}$ và công bội $q=\frac{2}{3}$, do đó $u_n=\frac{10}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$. Vì $|q|=\frac{2}{3}<1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=0$, từ đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{10}{3}\cdot 0=0$. Vậy dãy số $(u_n)$ có giới hạn là 0. (Điều này cũng phù hợp thực tế: bóng nảy ngày càng thấp nên về lâu dài độ cao tiến về 0.)