Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

Tại một nhà máy sản xuất thép, hệ thống làm mát của nhà máy có thể tái sử dụng 80\% lượng nước sau mỗi lần làm mát. Ban đầu, nhà máy sử dụng $300m^3$ nước. Giả sử quá trình tái sử dụng lặp đi lặp lại mãi mãi, tổng lượng nước mà nhà máy có thể sử dụng là bao nhiêu?

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\dots ,C_n$. Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ $\left(i\in \{1,2,3,\dots ,n\}\right)$.
a) Tính cạnh của hình vuông $C_2$.
b) Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2025}{a^2}\left(S_1+S_2+\dots +S_n\right)$.

Tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2-2n+1}{n^2+2n+1}$.

Dãy số có số hàng tổng quát nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

Biết $\lim \frac{5n^3-2n+2025}{n-2n^3}=a$. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giá trị $a$ lớn hơn 0.

b) Phương trình lượng giác $\cos x=a$ vô nghiệm.

c) $x=a$ là trục đối xứng của parabol $(P):y=x^2+5x+2$.

d) Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d=3$ và $u_1=a$, thì $u_5=19$.

Cho tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm của các cạnh tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ tạo thành tam giác $A_2{B}_2{C}_2$, trung điểm của các cạnh tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ tạo thành tam giác $A_3{B}_3{C}_3$ … Gọi $P_1,P_2,P_3,...$ lần lượt là chu vi của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$, $A_3{B}_3{C}_3,...$. Tính tổng chu vi $P=P_1+P_2+P_3+...$

Tổng $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^n}+\cdots$ có giá trị là:

Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},...,\frac{(-1{)}^2}{2^n},...$ là.

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{6n-5}{3n}$.

b) $\lim \frac{-2n^2-6n+2}{8n^2-5n+4}$.

c) $\lim \frac{n^3-5n+1}{3n^2-4n+2}$.

d) $\lim \frac{-4n+1}{9n^2-n+2}$.

e) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+n+1}}{8n+3}$.

d) $\lim \frac{4^n+5^n}{3.4^n-4.5^n}$.

g) $\lim \left(5-\frac{2}{n^3}\right)$

h) $\lim \left(4-\frac{2}{n}\right)\left(5+\frac{1}{3^n}\right)$

i) $\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{2^n}$

Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng này lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $h_n$ là độ cao mà quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(h_n)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $(h_n)$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $(h_n)$.
c) Gọi $S_n$ là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ $n$. Tính $S_n$, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

Cho các dãy số $(u_n)$, $(v_n)$ và $\lim u_n=a$, $\lim v_n=+\infty$ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}$ bằng

Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
(I) $\lim n^k=+\infty$ với $k$ nguyên dương.
(II) $\lim q^n=+\infty$ nếu $|q|<1$.
(III) $\lim q^n=+\infty$ nếu $q>1$

Tính $L=\lim \frac{n-1}{n^3+3}$.

Giới hạn $\lim \frac{1-2n}{3n+1}$ bằng?

Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ có $u_n=\frac{1}{n+1}$; $v_n=\frac{3}{n+3}$. Tính $\lim \frac{u_n}{v_n}$.

$\lim \frac{100^{n+1}+3.99^n}{10^{2n}-2.98^{n+1}}$ là

$\lim \left(3^n-4^n\right)$ là

Tính giới hạn $\lim \frac{3.2^{n+1}-2.3^{n+1}}{4+3^n}$ .

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{1+2+3+...+n}{n^2+1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?