Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số có giới hạn tại $x=2$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải. Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 2^{-}}(2x^2-x+1)=8-2+1=7$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 2^{+}}(x^2+ax+1)=4+2a+1=5+2a$. Yêu cầu $5+2a=7\Rightarrow a=1$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x-1$, $g(x)=x^3$ đều liên tục tại $x=1$: a) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1-1=0\ne 3$ → Sai. b) ${\lim }_{x\to 1}g(x)=1^3=1$ → Đúng. c) ${\lim }_{x\to 1}[3f(x)-g(x)]=3\cdot 0-1=-1$ → Đúng. d) ${\lim }_{x\to 1}\frac{[f(x){]}^2}{g(x)}=\frac{0^2}{1}=0\ne 1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}(x-1)=0\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}{x}^3=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 0-1=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{0^2}{1}=0\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$. a) Với $x\le 1$, ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\left(-\frac{x}{2}\right)=0\ne -2$ → Sai. b) ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\frac{3-2}{3+1}=\frac{1}{4}\ne +\infty$ → Sai. c) ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x-2}{x+1}=1$ → Đúng. d) $f(1)=-\frac{1}{2}$; ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\frac{1}{2}$; ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}$. Ba giá trị bằng nhau nên $f$ liên tục tại $x_0=1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to 0$ (thuộc nhánh $x\le 1$): ${\lim }_{x\to 0}\left(-\frac{x}{2}\right)=0\ne -2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, nên ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\frac{1}{4}\ne +\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x-2}{x+1}=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=-\frac{1}{2}$, giới hạn trái $=-\frac{1}{2}$, giới hạn phải $=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}$; ba giá trị bằng nhau nên hàm liên tục tại $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 69:

a. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x^2-4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+3}{x+2}=\frac{5}{4}$.

b. $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-5x}{x^2-25}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x}{x+5}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

c. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^3-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x+3x^2+x^3}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(3+3x+x^2)=3$.

d. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+3{)}^3-27}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+9x^2+27x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(x^2+9x+27)=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 1^{-}$, dùng nhánh $f(x)=x^3-3x$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1^3-3\cdot 1=-2$. Với $x\to 1^{+}$, dùng nhánh $f(x)=2x^3-2x$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2\cdot 1^3-2\cdot 1=0$. Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-2\ne 0={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$, hai giới hạn một bên không bằng nhau, nên hàm số không có giới hạn tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 1^{-}$ thì $x<1$ nên dùng nhánh $f(x)=x^3-3x$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1^3-3\cdot 1=-2$. Với $x\to 1^{+}$ thì $x\ge 1$ nên dùng nhánh $f(x)=5x^4-6x^2-x$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=5\cdot 1^4-6\cdot 1^2-1=5-6-1=-2$. Vì hai giới hạn một bên bằng nhau ($-2=-2$) nên hàm số có giới hạn tại $x=1$ và ${\lim }_{x\to 1}f(x)=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 75.

a) Với $x\to 1$ (và $x\ne 1$), ta có dạng vô định $\frac{0}{0}$ vì $2-\sqrt{1+3}=0$ và $1^2-1=0$. Nhân với liên hợp:
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})}{(x^2-1)(2+\sqrt{x+3})}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4-(x+3)}{(x-1)(x+1)(2+\sqrt{x+3})}$$
$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x}{(x-1)(x+1)(2+\sqrt{x+3})}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{(x+1)(2+\sqrt{x+3})}=\frac{-1}{2\cdot 4}=-\frac{1}{8}.$$
So sánh: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{8}\ne \frac{1}{8}=f(1)$, tức giới hạn tại $x=1$ khác giá trị của hàm số tại đó (hàm số không liên tục tại $x=1$).

b) Khi $x\to (-3{)}^{+}$ thì $x\ne 1$ nên dùng biểu thức $\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}$. Khi $x\to (-3{)}^{+}$: $\sqrt{x+3}\to 0^{+}$ nên tử số $\to 2$; mẫu số $x^2-1\to 9-1=8$. Vậy
$$\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$
Vì $-3\ne 1$ nên $f(-3)=\frac{2-\sqrt{-3+3}}{(-3{)}^2-1}=\frac{2-0}{8}=\frac{1}{4}$.
So sánh: $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=\frac{1}{4}=f(-3)$, hai giá trị bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $t\to +\infty$, ta có ${\lim }_{t\to +\infty }\frac{15t}{9t^2+1}={\lim }_{t\to +\infty }\frac{15/t}{9+1/t^2}=0$. Do đó ${\lim }_{t\to +\infty }y(t)=5-0=5$. Vậy nồng độ oxygen trong hồ không vượt quá giá trị $5$ mg/l khi thời gian $t$ rất lớn. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -2$ thì $x+1<0$ nên $|x+1|=-(x+1)$, do đó $2|x+1|=-2x-2$. Hàm số liên tục tại $x=-2$ (mẫu khác 0), nên thế trực tiếp: tử số $=2|-2+1|-5\sqrt{4-3}=2\cdot 1-5\cdot 1=-3$; mẫu số $=2(-2)+3=-1$. Vậy giới hạn $=\frac{-3}{-1}=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1$ thì $(x-1{)}^2\to 0^{+}$ (luôn dương). Xét tử số của từng giới hạn:
- A: $x-3\to -2$, nên $\lim \frac{x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$.
- B: $x-2\to -1$, nên $\lim \frac{x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$.
- C: $-x-1\to -2$, nên $\lim \frac{-x-1}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$.
- D: $x+1\to 2$, nên $\lim \frac{x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{2}{0^{+}}=+\infty$.
Vậy chỉ có giới hạn ở phương án D bằng $+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{-3x+4}{x-2}$. Tại $x=2$: tử số $=-6+4=-2<0$.
- A: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3x+4}{x-2}=\frac{-3}{1}=-3$.
- B: khi $x\to 2^{-}$ thì $x-2\to 0^{-}$, nên $\frac{-2}{0^{-}}=+\infty$.
- C: khi $x\to 2^{+}$ thì $x-2\to 0^{+}$, nên $\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$. Đúng.
- D: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3x+4}{x-2}=-3$.
Vậy giới hạn bằng $-\infty$ là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{+}$ thì tử số $-2x+1\to -1$ và mẫu số $x-1\to 0^{+}$ (dương). Do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề. Mệnh đề A: nhân liên hợp, $\sqrt{x^2-x+1}+x-2=\frac{(x^2-x+1)-(x-2{)}^2}{\sqrt{x^2-x+1}-(x-2)}=\frac{3x-3}{\sqrt{x^2-x+1}-x+2}$. Khi $x\to -\infty$, mẫu $\sim -x-x+2=-2x\to +\infty$, tử $\to -\infty$, nên giới hạn $=\frac{3x}{-2x}=-\frac{3}{2}$. Vậy A đúng. Mệnh đề B: khi $x\to -1^{-}$ thì $3x+2\to -1$ và $x+1\to 0^{-}$, nên $\frac{3x+2}{x+1}\to +\infty$, không phải $-\infty$. Vậy B sai. Mệnh đề C: khi $x\to +\infty$, $\sqrt{x^2-x+1}\sim x$ nên biểu thức $\sim 2x-2\to +\infty$, C đúng. Mệnh đề D: khi $x\to -1^{+}$ thì $x+1\to 0^{+}$, tử $\to -1$, nên giới hạn $=-\infty$, D đúng. Mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm đa thức, thay x=0: -5·0-4·0+2=2 → đúng. b) Thay x=-1: tử 2(-1)-3(-1)²=-2-3=-5; mẫu 4(-1)+1=-3; giới hạn = (-5)/(-3)=5/3 ≠ -3/4 → sai. c) x²+2x-15=(x+5)(x-3), với x→-5, x≠-5 nên biểu thức = x-3 → -8, không phải +∞ → sai. d) x²+3x-4=(x+4)(x-1), x²+4x=x(x+4); với x→-4, x≠-4, x≠0 nên biểu thức = (x-1)/x → (-5)/(-4)=5/4 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức liên tục, thay x=0 được -5·0-4·0+2=2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=-1: (2(-1)-3(-1)²)/(4(-1)+1)=(-5)/(-3)=5/3 ≠ -3/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
x²+2x-15=(x+5)(x-3); với x≠-5 biểu thức bằng x-3, giới hạn bằng -8, không tồn tại +∞.
d) (AI giải đề cho tôi)
(x+4)(x-1)/(x(x+4))=(x-1)/x → (-4-1)/(-4)=5/4.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-2,& x<-1\\ \sqrt{x^2+1},& x\ge -1\end{array}$:
a) Khi $x\to -2$ (thuộc miền $x<-1$), ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$ → Sai.
b) ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-1-2=-3$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$. Vì giới hạn trái $\ne$ giới hạn phải nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, không thể bằng $-3$ → Sai.
c) ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$ → Đúng.
d) Vì giới hạn trái $(-3)$ khác giới hạn phải $(\sqrt{2})$ nên hàm số không tồn tại giới hạn khi $x\to -1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to -2$ thuộc miền $x<-1$ nên ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái bằng $-3$, giới hạn phải bằng $\sqrt{2}$, hai vế khác nhau nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ge -1$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-3\ne \sqrt{2}={\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)$ nên hàm số không tồn tại giới hạn khi $x\to -1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15:
a) Hàm số $x^2-x+3$ liên tục tại $x=-2$, nên $\underset{x\to -2}{\lim }(x^2-x+3)=(-2{)}^2-(-2)+3=4+2+3=9$.

b) Hàm $\sqrt{\frac{1}{x+3}}$ liên tục tại $x=6$ (vì $6+3=9>0$), nên $\underset{x\to 6}{\lim }\sqrt{\frac{1}{x+3}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$.

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x-1)=1$.

d) $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x^2+3x+1}{x^2-1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(2x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=\frac{-2+1}{-1-1}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to -1^{+}$ thì $x>-1$ nên dùng nhánh $f(x)=3-2x^2$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=3-2(-1{)}^2=3-2=1$. Với $x\to -1^{-}$ thì $x\le -1$ nên dùng nhánh $f(x)=3x+4$: ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=3(-1)+4=1$. Vì hai giới hạn một bên bằng nhau (đều bằng $1$) nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2>0$ và $(x-1{)}^2>0$ với mọi $x\ne 1$, ta xét: khi $x\to 1$ thì $f(x)\to 2$ nên với $x$ đủ gần $1$ ($x\ne 1$) ta có $f(x)>1>0$. Do đó $\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}>\frac{1}{(x-1{)}^2}$. Mà $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(x-1{)}^2}=+\infty$ (vì $(x-1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to 1$). Vậy theo định lý so sánh, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(x^2-1)g(x)=(x-1)(x+1)g(x)$. Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=1$ nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+1)g(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+1)\cdot \underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=(-\infty )\cdot 1=-\infty$. Do đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-1)g(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-1)\cdot \underset{x\to -\infty }{\lim }(x+1)g(x)=(-\infty )\cdot (-\infty )=+\infty$. Vậy $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-1)g(x)=+\infty$.