Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 15° sang radian: $15^{\circ }=15\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{12}$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 209 (Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 15° sang radian: $15^{\circ }=15\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{12}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(x;y)$ nằm trên đường tròn lượng giác (bán kính 1) biểu diễn góc lượng giác $\alpha$. Theo định nghĩa, hoành độ của điểm biểu diễn là côsin của góc: $\cos \alpha =x$, tung độ là $\sin \alpha =y$. Vậy khẳng định đúng là $\cos \alpha =x$. Khớp với đáp án đề: A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa lượng giác trên đường tròn đơn vị, điểm $M(x;y)$ biểu diễn góc $\alpha$ thì hoành độ $x=\cos \alpha$ và tung độ $y=\sin \alpha$. Vậy $\sin \alpha =y$, đúng với đáp án B (khớp với bảng đáp án mã đề 101: Câu 2 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $108^{\circ }$ ra radian: $108^{\circ }=108\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{5}$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 1111: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M\left(\frac{11}{61};-\frac{60}{61}\right)$ nằm trên đường tròn lượng giác vì ${\left(\frac{11}{61}\right)}^2+{\left(-\frac{60}{61}\right)}^2=\frac{121+3600}{3721}=1$. Với điểm $M(x_0;y_0)$ trên đường tròn lượng giác xác định góc $\alpha$, ta có $\sin \alpha =y_0=-\frac{60}{61}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ II: $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Vậy khẳng định đúng là $\tan \alpha <0$, tức đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<a<180^{\circ }$, góc $a$ thuộc góc phần tư thứ II. Trên đường tròn lượng giác, với góc phần tư thứ II ta có $\sin a>0$ (tung điểm của điểm biểu diễn dương) và $\cos a<0$ (hoành độ của điểm biểu diễn âm). Ví dụ với $a=120^{\circ }$: $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}<0$. Vậy mệnh đề đúng là $\sin a>0$, $\cos a<0$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 108° sang radian: $108^{\circ }=108\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{108\pi }{180}=\frac{3\pi }{5}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe có 72 răng nên mỗi răng tương ứng với góc quay $\frac{360^{\circ }}{72}=5^{\circ }$. Khi di chuyển 10 răng, bánh xe quay được góc $10\times 5^{\circ }=50^{\circ }$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ thức Chasles về số đo góc định hướng phát biểu: với ba tia $Ou,Ox,Ov$ bất kỳ, ta có $sđ(Ou,Ov)=sđ(Ou,Ox)+sđ(Ox,Ov)+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Trong hệ thức này, tia chung $Ox$ phải xuất hiện ở vị trí 'đích' của số đo thứ nhất và 'nguồn' của số đo thứ hai, theo đúng thứ tự $Ou\to Ox\to Ov$. Xét từng hệ thức: (I) $sđ(Ou,Ov)=sđ(Ou,Ox)+sđ(Ox,Ov)+k2\pi$ đúng dạng Chasles. (II) $sđ(Ou,Ov)=sđ(Ox,Ov)+sđ(Ox,Ou)+k2\pi$ sai vì cả hai số đo đều bắt đầu từ $Ox$, không có tia nối giữa chúng. (III) $sđ(Ou,Ov)=sđ(Ov,Ox)+sđ(Ox,Ou)+k2\pi$ sai vì thứ tự các tia bị đảo ngược ($Ov\to Ox\to Ou$ thay vì $Ou\to Ox\to Ov$). Vậy chỉ có hệ thức (I) là hệ thức Chasles, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Góc lượng giác $\frac{\pi }{4}$ có số đo dương và $0<\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}$, nên điểm biểu diễn $M$ trên đường tròn định hướng nằm trong góc phần tư thứ nhất (giữa tia $Ox$ và tia $Oy$). Vậy $M$ thuộc góc phần tư I, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\frac{\pi }{2}<a<\pi$, góc $a$ thuộc góc phần tư thứ II. Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn có hoành độ âm và tung độ dương, nên $\sin a>0$ và $\cos a<0$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $2\pi <a<\frac{5\pi }{2}$, góc $a$ tương đương góc $a-2\pi$ với $0<a-2\pi <\frac{\pi }{2}$, tức điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ I. Trong góc phần tư thứ I, $\sin a>0$ và $\cos a>0$, do đó $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}>0$ và $\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}>0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi radian sang độ: $\frac{2\pi }{5}=\frac{2\cdot 180^{\circ }}{5}=72^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $(Ox,Oy)=22^{\circ }30^{\prime }+k360^{\circ }=1822^{\circ }30^{\prime }$. Suy ra $k360^{\circ }=1822^{\circ }30^{\prime }-22^{\circ }30^{\prime }=1800^{\circ }$, nên $k=1800^{\circ }/360^{\circ }=5$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $10\pi <\alpha <11\pi$ với $\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Suy ra $10\pi <\frac{\pi }{2}+2k\pi <11\pi$, tức $\frac{19\pi }{2}<2k\pi <\frac{21\pi }{2}$, chia cho $2\pi$: $\frac{19}{4}<k<\frac{21}{4}$, tức $4,75<k<5,25$. Vì $k$ nguyên nên $k=5$. Kiểm tra: $\alpha =\frac{\pi }{2}+10\pi =\frac{21\pi }{2}=10,5\pi$, thỏa $10\pi <10,5\pi <11\pi$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Góc tù thỏa $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (góc phần tư thứ II). Khi đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, nên $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Do đó A, B, D sai; khẳng định đúng là $\tan \alpha <0$.

(AI giải đề cho tôi)
Các góc cùng tia đầu, tia cuối với góc có số đo $\frac{\pi }{5}$ có dạng $\frac{\pi }{5}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$. Kiểm tra: $\frac{6\pi }{5}=\frac{\pi }{5}+\pi$ (loại); $-\frac{11\pi }{5}=\frac{\pi }{5}-\frac{12\pi }{5}$, không có dạng $\frac{\pi }{5}+2k\pi$ vì $-\frac{12\pi }{5}\ne 2k\pi$ (loại); $\frac{9\pi }{5}=\frac{\pi }{5}+\frac{8\pi }{5}$ (loại); $\frac{31\pi }{5}=\frac{\pi }{5}+\frac{30\pi }{5}=\frac{\pi }{5}+6\pi =\frac{\pi }{5}+3\cdot 2\pi$ (thỏa, $k=3$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi radian sang độ: $\frac{5\pi }{4}\text{rad}=\frac{5\pi }{4}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=5\cdot 45^{\circ }=225^{\circ }$. Vậy đáp án C.