Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $e^x$, $-2x$, $e$ đều xác định trên mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$. b) Đúng: $f^{\prime }(x)=e^x-2$. c) Sai: trên $[0;2]$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=\ln 2$. Ta có $f(0)=1+e\approx 3,72$; $f(2)=e^2-4+e\approx 5,39$; $f(\ln 2)=2-2\ln 2+e\approx 3,33$. Vậy giá trị lớn nhất là $f(2)=e^2+e-4\ne e^2+e$, mệnh đề sai. d) Sai: phương trình giao điểm $e^x-2x+e=-2x\iff e^x+e=0$, vô nghiệm vì $e^x+e>0$ với mọi $x$. Vậy đường cong không cắt đường thẳng $y=-2x$ tại điểm nào. Kết quả khớp đáp án mã đề 703: Đúng, Đúng, Sai, Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $e^x-2x+e$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=e^x-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $f(0)=1+e\approx 3,72$, $f(2)=e^2+e-4\approx 5,39$, $f(\ln 2)\approx 3,33$. GTLN là $e^2+e-4$, không bằng $e^2+e$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $e^x-2x+e=-2x\iff e^x+e=0$ vô nghiệm, nên hai đồ thị không cắt nhau tại điểm nào.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ xác định trên $[1;2]$ vì $x+1\ne 0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [1;2]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn này. Do đó giá trị lớn nhất đạt tại $x=2$: $y(2)=\frac{2\cdot 2-1}{2+1}=\frac{3}{3}=1$. Vậy $\underset{[1;2]}{\max }y=1$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án mã đề 703 (6D).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, khi đó $y={\sin }^{2}x+2\cos x+4=1-t^2+2t+4=-(t-1{)}^2+6$. Trên đoạn $[-1;1]$, hàm $y=-(t-1{)}^2+6$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=1$ (tức $\cos x=1$), giá trị lớn nhất bằng $6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 22, mã đề 211: 6).

Tập xác định: $x\in [-2;2]$. Giá trị lớn nhất: Điểm cao nhất của đồ thị có tung độ là $1$. Vậy $M=1$. Giá trị nhỏ nhất: Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ là $-4$ (tại $x=-2$). Vậy $m=-4$. Yêu cầu: Tính $M-m=1-(-4)=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$. Khi đó $y={\sin }^{2}x+2\cos x+4=1-t^2+2t+4=-(t-1{)}^2+6$. Trên đoạn $[-1;1]$, hàm $y=-(t-1{)}^2+6$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=1$ (tức $\cos x=1$), giá trị lớn nhất bằng $6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-1;2]$, từ bảng biến thiên: hàm số tăng trên $[-3;-1]$, giảm trên $[-1;0]$, tăng trên $[0;1]$, giảm trên $[1;2]$. Trên $[-1;2]$ ta xét các giá trị: $f(-1)=3$, $f(0)=0$, $f(1)=2$, $f(2)=1$. Vậy $M=\max \{3;0;2;1\}=3$ (tại $x=-1$) và $m=\min \{3;0;2;1\}=0$ (tại $x=0$). Do đó $M+m=3+0=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai cạnh cần rào của mảnh vườn hình chữ nhật là $a$ (hai cạnh song song với tường) và $b$ (cạnh vuông góc với tường). Vì một cạnh là bức tường nên tổng chiều dài lưới là $2a+b=100$, với $a,b>0$, suy ra $b=100-2a$ với $0<a<50$.

Diện tích mảnh vườn: $S=a\cdot b=a(100-2a)=-2a^2+100a$.

Hàm số $S(a)=-2a^2+100a$ có đỉnh tại $a=\frac{100}{2\cdot 2}=25$, khi đó $b=100-2\cdot 25=50$ và diện tích lớn nhất là $S=25\cdot 50=1250m^2$.

Vậy đáp án đúng là A (khớp với đáp án chính thức Mã 1103: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh song song với tường là $y$, hai cạnh rào còn lại là $x$. Tổng lưới: $2x+y=100$, nên $y=100-2x$ với $0<x<50$. Diện tích $S=xy=x(100-2x)=-2x^2+100x$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-\frac{100}{2(-2)}=25$, khi đó $y=50$ và $S_{\max }=25\cdot 50=1250m^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-30=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{10}$. Trên đoạn $[2;19]$ chỉ có $x=\sqrt{10}\approx 3,16$. Tính: $f(2)=8-60=-52$; $f(\sqrt{10})=10\sqrt{10}-30\sqrt{10}=-20\sqrt{10}\approx -63,25$; $f(19)=6859-570=6289$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-20\sqrt{10}$, đạt tại $x=\sqrt{10}$. Vậy chọn đáp án D.

Dựa vào đồ thị ta có ${\max }_{[-2;2]}f(x)+{\min }_{[-2;2]}f(x)=-1+(-5)=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=-3t^2+6t+9=-3(t-1{)}^2+12$. Hàm bậc hai này đạt giá trị lớn nhất tại $t=1$ (giây), với $v_{\max }=12$ (m/s). Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc lớn nhất là $12m/s$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay $t=3$, $s=27$ vào $s=-\frac{1}{3}{t}^3+2t^2+ct$: $27=-\frac{27}{3}+2\cdot 9+3c=-9+18+3c=9+3c$, suy ra $3c=18$ nên $c=6$.

b) Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+4t+6$. Đây là hàm bậc hai với hệ số $a=-1<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $t=-\frac{4}{2(-1)}=2$ (giây), với $v_{\max }=v(2)=-4+8+6=10$ (m/s).

Quãng đường đi được đến lúc đó: $s(2)=-\frac{8}{3}+2\cdot 4+6\cdot 2=-\frac{8}{3}+8+12=\frac{56}{3}\approx 18,67$ mét.

Vậy $c=6$ và quãng đường cần tìm là $\frac{56}{3}\approx 18,67$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3;3]$: giá trị lớn nhất đạt tại $x=3$ với $M=f(3)=5$; giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=-3$ với $m=f(-3)=-1$ (các điểm cực đại, cực tiểu cục bộ trong đoạn chỉ đạt $y=4$ và $y=2$, không phải GTLN/GTNN). Vậy $P=2M-m=2\cdot 5-(-1)=11$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=3x^2+e^x>0$ với mọi $x\in [0;2]$ (do $3x^2\ge 0$ và $e^x>0$), hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn $[0;2]$. Do đó giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[0;2]$ đạt tại đầu mút phải, tức là $f(2)$. Chú ý: $12+e^2$ là giá trị của $f^{\prime }(2)$, không phải của $f$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+5=3(t-1{)}^2+2$. Với $t>0$, $v(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại $t=1$ (giây). Khi đó quãng đường $s(1)=1-3+5+10=13$ m. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $v(t)=-t^4+8t^2+500$ trên $[0;5]$. Ta có $v^{\prime }(t)=-4t^3+16t=-4t(t^2-4)$. Cho $v^{\prime }(t)=0$ được $t=0$ hoặc $t=\pm 2$, trong $[0;5]$ chỉ có $t=0$ và $t=2$. Tính: $v(0)=500$, $v(2)=-16+32+500=516$, $v(5)=-625+200+500=75$. Trên $(0;2)$ có $v^{\prime }(t)>0$ và trên $(2;5)$ có $v^{\prime }(t)<0$, nên $t=2$ là điểm cực đại, đồng thời là giá trị lớn nhất trên $[0;5]$. Vậy chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại $t=2$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều dài là $x$ (m), chiều rộng là $y$ (m), với $x,y>0$. Vì một cạnh dài giáp tường nên chỉ cần rào: $x+2y=60$, suy ra $y=\frac{60-x}{2}$ với $0<x<60$.

Diện tích sân chơi: $$S=xy=x\cdot \frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}{x}^2+30x.$$

Hàm $S(x)$ là parabol bậc hai với hệ số $a=-\frac{1}{2}<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh: $$x=-\frac{30}{2\cdot (-1/2)}=30.$$

Khi đó $y=15$ và $S_{\max }=30\cdot 15=450{\text{m}}^2$. Vậy chiều dài cần tìm là $30$ m, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1002, câu 18: 30).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là chiều rộng (2 cạnh rào) và y là chiều dài song song tường. Ràng buộc: 2x + y = 60, với x, y > 0. Diện tích S = x·y = x(60 - 2x) = 60x - 2x². S'(x) = 60 - 4x = 0 ⟹ x = 15, y = 30. S_max = 15·30 = 450 m². Kết quả khớp với đáp án nguồn (450).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $[-4;4]$. Từ bảng biến thiên, hàm số tăng trên $(-4;-1)$, giảm trên $(-1;3)$, tăng trên $(3;4)$. Các giá trị cần so sánh: $f(-4)=-71$, $f(-1)=10$ (cực đại), $f(3)=-22$ (cực tiểu), $f(4)=-15$. Giá trị nhỏ nhất là $\min \{-71;10;-22;-15\}=-71$ tại $x=-4$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 8: B).