Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là chiều rộng (2 cạnh rào) và y là chiều dài song song tường. Ràng buộc: 2x + y = 60, với x, y > 0. Diện tích S = x·y = x(60 - 2x) = 60x - 2x². S'(x) = 60 - 4x = 0 ⟹ x = 15, y = 30. S_max = 15·30 = 450 m². Kết quả khớp với đáp án nguồn (450).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=D(x)-x\cdot C(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000-(x^2+1000x+250000)=x^3-2000x^2+1000000x$. Xét $P^{\prime }(x)=3x^2-4000x+1000000=0$ cho $x=\frac{4000\pm 2000}{6}$, tức $x=1000$ (loại vì $x\le 500$) hoặc $x=\frac{1000}{3}\approx 333,33$. Trên $[1;500]$, $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<\frac{1000}{3}$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>\frac{1000}{3}$, nên $P$ đạt max tại $x=\frac{1000}{3}$. Vì $x$ nguyên, so sánh $P(333)$ và $P(334)$: $P(333)=333^3-2000\cdot 333^2+1000000\cdot 333=333^2(333-2000)+333000000=110889\cdot (-1667)+333000000=-184812663+333000000=148187337$; $P(334)=334^2(334-2000)+334000000=111556\cdot (-1666)+334000000=-185856296+334000000=148143704$. Vậy $P(333)>P(334)$, doanh nghiệp cần sản xuất $333$ sản phẩm. Kết quả khớp đáp án nguồn (333).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $[-4;4]$. Từ bảng biến thiên, hàm số tăng trên $(-4;-1)$, giảm trên $(-1;3)$, tăng trên $(3;4)$. Các giá trị cần so sánh: $f(-4)=-71$, $f(-1)=10$ (cực đại), $f(3)=-22$ (cực tiểu), $f(4)=-15$. Giá trị nhỏ nhất là $\min \{-71;10;-22;-15\}=-71$ tại $x=-4$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=D(x)-x\cdot C(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000-(x^2+1000x+250000)=x^3-2000x^2+1000000x$.
$P^{\prime }(x)=3x^2-4000x+1000000=0\Rightarrow x=\frac{4000\pm 2000}{6}$, tức $x=\frac{1000}{3}\approx 333,33$ hoặc $x=1000$ (loại vì $x\le 500$).
Trên $[1;\frac{1000}{3}]$ hàm đồng biến, sau đó nghịch biến, nên lợi nhuận lớn nhất tại $x=333$ (so sánh $P(333)>P(334)$). Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 333 sản phẩm, khớp đáp án 333.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $[-4;4]$. Từ bảng biến thiên: $f(-4)=-71$, $f(-1)=10$ (cực đại), $f(3)=-22$ (cực tiểu), $f(4)=-15$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị tại hai đầu mút và các điểm cực trị: $\min \{-71;10;-22;-15\}=-71$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $-71$, đạt tại $x=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1121, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ tấn: $R(x)=x\cdot p(x)=x(90-0,01x^2)=90x-0,01x^3$ (triệu đồng), với $0<x\le 90$. Thuế VAT bằng $10\%$ doanh thu nên lợi nhuận sau thuế: $$L(x)=0,9R(x)-C(x)=0,9(90x-0,01x^3)-\frac{1}{2}(200+27x)$$ $$=81x-0,009x^3-100-13,5x=67,5x-0,009x^3-100.$$ Xét $L^{\prime }(x)=67,5-0,027x^2=0\Rightarrow x^2=2500\Rightarrow x=50$ (thỏa $0<x\le 90$). Vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x<50$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x>50$ nên hàm đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $x=50$. Khi đó $$L(50)=67,5\cdot 50-0,009\cdot 125000-100=3375-1125-100=2150.$$ Vậy lợi nhuận cao nhất mỗi tháng của nhà máy A là $2150$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: đảo $B$ cách bờ $BC=6$ km, $AC=9$ km, $D$ (tức $S$ trên hình) nằm trên bờ với $BS=x$, $0\le x\le 9$. Khi đó đoạn ống trên bờ là $AD=9-x$, đoạn dưới nước là $BD=\sqrt{x^2+36}$.

Chi phí (triệu đồng):
$$f(x)=100(9-x)+260\sqrt{x^2+36}.$$

$$f^{\prime }(x)=-100+\frac{260x}{\sqrt{x^2+36}}=0\Rightarrow 260x=100\sqrt{x^2+36}.$$

Bình phương hai vế: $67600x^2=10000(x^2+36)\Rightarrow 57600x^2=360000\Rightarrow x^2=6,25\Rightarrow x=2,5$ (thỏa $0\le x\le 9$).

Kiểm tra: $f(0)=900+1560=2460$; $f(9)=260\sqrt{117}\approx 2811,7$; còn $f(2,5)=100\cdot 6,5+260\cdot 6,5=650+1690=2340$ triệu đồng $=\mathrm{2.340.000.000}$ đồng, đúng bằng chi phí thấp nhất đã cho.

Vậy $AD=9-2,5=6,5$ km.

[Hình cần kiểm tra lại: p12_f2]
Gọi $x,y$ lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp. Điều kiện: $x>0;y>0(m)$. Ta có thể tích của khối hộp: $V=1,5xy=900\Rightarrow xy=600\Rightarrow y=\frac{600}{x}\left(m^3\right)$. Diện tích mặt đáy: $S_d=xy=x.\frac{600}{x}=600\left({\text{m}}^2\right)$. Giá tiền để làm mặt đáy là: $600.4000000=24.10^8$ (đồng). Diện tích xung quanh của bể cá: $S_{xq}=2.x.1,5+2.y.1,5=3.(x+y)=3.\left(x+\frac{600}{x}\right)$. Giá tiền để làm mặt bên là: $3.\left(x+\frac{600}{x}\right).2800000=84.10^5.\left(x+\frac{600}{x}\right)$. Tổng chi phí để xây dựng bể cá là: $$T(x)=84.10^5.\left(x+\frac{600}{x}\right)+24.10^8\ge 84.10^5.2\sqrt{x.\frac{600}{x}}+24.10^8\approx 2812\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$ Đáp án: 2812

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là tàu chạy về hướng nam với vận tốc 6 hải lý/giờ, B là tàu chạy về vị trí ban đầu của A với vận tốc 7 hải lý/giờ. Ban đầu hai tàu cùng vĩ tuyến, cách nhau 5 hải lý. Sau t giờ: tàu A đi được quãng đường 6t theo phương nam (vuông góc vĩ tuyến ban đầu), tàu B đi được quãng đường 7t trên phương vĩ tuyến về phía A. Khoảng cách hai tàu là cạnh huyền của tam giác vuông: $d^2(t)=(6t{)}^2+(5-7t{)}^2=36t^2+25-70t+49t^2=85t^2-70t+25$. Hàm $f(t)=85t^2-70t+25$ có đạo hàm $f^{\prime }(t)=170t-70$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\frac{70}{170}=\frac{7}{17}$ giờ. Đổi ra phút: $t=\frac{7}{17}\cdot 60\approx 24,7$ phút. Vậy sau khoảng 24,7 phút kể từ khi xuất phát, khoảng cách hai tàu nhỏ nhất, trùng với đáp án nguồn 24,7.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh song song với tường là $x$, hai cạnh còn lại là $y$ (m). Ta có $x+2y=100\Rightarrow x=100-2y$ với $0<y<50$. Diện tích $S=xy=y(100-2y)=100y-2y^2$. Hàm số $S(y)=-2y^2+100y$ đạt giá trị lớn nhất tại $y=\frac{100}{2\cdot 2}=25$, khi đó $x=50$ và $S_{\max }=50\cdot 25=1250{\text{m}}^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1250.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. $(x,y,z)\in D$ với $x,y,z>0$, $xyz=1$; cần $k+x,k+y,k+z>0$. Với $k>0$ điều này luôn đúng; câu b) chỉ xét $k>0$ theo đề.

a) Với $k=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{k+x}=\frac{1}{x+\frac{1}{2}}=\frac{2}{2x+1}=\frac{2yz}{yz+2xyz}=\frac{2yz}{yz+2}$ (do $xyz=1$).
Đặt $a=yz,b=zx,c=xy$ thì $abc=(xyz{)}^2=1$ và
$$F=2\left(\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\right)=2\left(3-2\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\right).$$
Vậy cần chứng minh $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le 1$. Thật vậy, với $p=a+b+c,q=ab+bc+ca$ ($abc=1$):
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le 1⟺q+4p+12\le (a+2)(b+2)(c+2)=1+2q+4p+8⟺q\ge 3,$$
đúng theo AM–GM vì $abc=1$. Do đó $F\ge 2$. Dấu bằng khi $a=b=c=1$, tức $x=y=z=1$.

b) Kết luận: $0<k\le \frac{1}{2}$.

• Với $0<k\le \frac{1}{2}$: viết $s=x+y+z,q=xy+yz+zx$. Ta có
$$F=\frac{(k+y)(k+z)+(k+z)(k+x)+(k+x)(k+y)}{(k+x)(k+y)(k+z)}=\frac{3k^2+2ks+q}{k^3+k^{2}s+kq+1}.$$
Bất đẳng thức $F\ge \frac{3}{k+1}$ tương đương (sau khi khử mẫu dương) với
$$(k+1)(3k^2+2ks+q)-3(k^3+k^{2}s+kq+1)\ge 0⟺3k^2-3+ks(2-k)+q(1-2k)\ge 0.$$
Vì $s\ge 3,q\ge 3$ (AM–GM với $xyz=1$) và $0<k\le \frac{1}{2}$ (nên $2-k>0,1-2k\ge 0$):
$$3k^2-3+ks(2-k)+q(1-2k)\ge 3k^2-3+3k(2-k)+3(1-2k)=0.$$
Dấu bằng khi và chỉ khi $s=q=3$, tức $x=y=z=1$. Vậy với $0<k\le \frac{1}{2}$, $\min F=\frac{3}{k+1}$ đạt được tại $(1,1,1)\in D$ (với $k=\frac{1}{2}$ giá trị này bằng $2$, khớp với câu a).

• Với $k>\frac{1}{2}$: vì $\frac{1}{k+t}<\frac{1}{\frac{1}{2}+t}$ với mọi $t>0$ nên
$$F_k(x,y,z)>F_{1/2}(x,y,z)\ge 2>\frac{1}{k}\forall (x,y,z)\in D.$$
Mặt khác, lấy $y=z=\frac{1}{\sqrt{x}}$ cho $x\to 0^{+}$ thì $xyz=1$ và
$$F=\frac{1}{k+x}+\frac{2}{k+1/\sqrt{x}}\to \frac{1}{k}.$$
Vậy $\inf F=\frac{1}{k}$ nhưng không bộ nào trong $D$ đạt giá trị $\frac{1}{k}$, tức biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất trên $D$.

Kết hợp: biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất trên $D$ khi và chỉ khi $0<k\le \frac{1}{2}$.

Có $S={\left(x^2+y^2\right)}^2-3x^2{y}^2=(1+xy{)}^2-3x^2{y}^2=-2x^2{y}^2+2xy+1$

Đặt $t=xy\Rightarrow S=-2t^2+2t+1$

Có

$x^2+y^2\ge 2xy\Rightarrow 1+xy\ge 2xy\Rightarrow xy\le 1$, dấu bằng xảy ra khi $x=y=\pm 1$

$x^2+y^2\ge -2xy\Rightarrow 1+xy\ge -2xy\Rightarrow xy\ge -\frac{1}{3}$, dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{3}},y=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ x=-\frac{1}{\sqrt{3}},y=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

Suy ra $t\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$

Xét hàm số $f(t)=-2t^2+2t+1$, $t\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$

Ta có bảng biến thiên



Từ bảng biến thiên ta thấy $M=\frac{3}{2};m=\frac{1}{9}\Rightarrow M+m=\frac{29}{18}$

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: giá bán sau giảm giá là $24-x$ (triệu đồng), vì giá bán ban đầu là 24 triệu đồng (20 triệu là giá nhập). b) Đúng: bán thêm $100x$ chiếc nên tổng số là $500+100x$ chiếc. c) Sai: lợi nhuận mỗi chiếc là $(24-x)-20=4-x$ (triệu đồng), nên lợi nhuận một năm là $(4-x)(500+100x)$ (triệu đồng), không phải $(24-x)(500+100x)$. d) Đúng: đặt $n=500+100x$ (số máy bán được), suy ra $x=\frac{n-500}{100}$. Lợi nhuận $P=(4-x)n=\left(4-\frac{n-500}{100}\right)n=\frac{n(900-n)}{100}$. Yêu cầu $P\ge 1400$ (triệu đồng) tức $n(900-n)\ge 140000\iff n^2-900n+140000\le 0\iff 200\le n\le 700$. Vậy để lợi nhuận đạt tối thiểu 1,4 tỷ đồng, đại lý cần bán được tối đa 700 chiếc máy tính (đúng với điều kiện $0<x<4$ tức $500<n<900$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán sau khi giảm $x$ triệu đồng là $24-x$ (triệu đồng), vì giá bán ban đầu là 24 triệu đồng; $20-x$ là giá nhập sau giảm (không đúng đề).
b) (AI giải đề cho tôi)
Ban đầu bán 500 chiếc, giảm giá $x$ thì bán thêm $100x$ chiếc, tổng $500+100x$ chiếc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi chiếc là $(24-x)-20=4-x$ triệu đồng, nên lợi nhuận năm là $(4-x)(500+100x)$ (triệu đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $n=500+100x$, lợi nhuận $P=\frac{n(900-n)}{100}\ge 1400\iff 200\le n\le 700$. Vậy cần bán tối đa 700 chiếc.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: giảm giá x triệu đồng nên giá bán mới là 43 - x (triệu đồng). b) Sai: số tivi bán được là 400 + 200x chiếc (bán thêm 200x chiếc so với 400 chiếc), không phải 200 + 200x. c) Đúng: lợi nhuận mỗi chiếc là (43 - x) - 38 = 5 - x (triệu đồng), số chiếc bán được là 400 + 200x, nên lợi nhuận một năm là (5 - x)(400 + 200x) (triệu đồng). d) Đúng: lợi nhuận P(x) = (5 - x)(400 + 200x) = 200(5 - x)(2 + x) = 200(10 + 3x - x^2). Yêu cầu P(x) ≥ 2000 (2 tỷ = 2000 triệu) tức 10 + 3x - x^2 ≥ 10, suy ra 3x - x^2 ≥ 0, tức x(3 - x) ≥ 0, kết hợp 0 < x < 5 được 0 < x ≤ 3. Số tivi bán được là 400 + 200x ≤ 400 + 600 = 1000 chiếc, đạt tối đa 1000 chiếc khi x = 3. Vậy khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán mới = 43 - x (triệu đồng).
b) (AI giải đề cho tôi)
Số tivi bán được là 400 + 200x chiếc, không phải 200 + 200x.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi chiếc (5 - x) triệu đồng nhân số chiếc (400 + 200x).
d) (AI giải đề cho tôi)
P(x) = 200(10 + 3x - x^2) ≥ 2000 ⟹ 0 < x ≤ 3 ⟹ số tivi ≤ 1000 chiếc.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-2t+9=(t-1{)}^2+8$. Trên đoạn $[0;10]$, hàm $v(t)$ là parabol có bề lõm hướng lên nên giá trị lớn nhất đạt tại một đầu mút. Ta có $v(0)=9$, $v(10)=100-20+9=89$. Vậy vận tốc lớn nhất trong 10 giây đầu là $89$ m/s (đạt tại $t=10$).

Tại thời điểm $t$, vị trí tàu $A$ là $M(3-33t;-4+25t)$, vị trí của tàu $B$ là $N(4-30t;3-40t)$. Ta có $MN=\sqrt{(1+3t{)}^2+(7-65t{)}^2}=\sqrt{4234t^2-904t+50}$. Để $MN$ nhỏ nhất khi hàm bậc hai $f(t)=4234t^2-904t+50$ đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-904}{2.4234}=\frac{226}{2117}\approx 0,11$ (giờ). (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy tam giác đều là $a$, chiều cao lăng trụ là $h$. Thể tích: $V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h=1\Rightarrow h=\frac{4}{a^2\sqrt{3}}$. Diện tích cần làm: nắp và đáy (2 tam giác đều) cộng tường xung quanh: $S=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3ah=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2+3a\cdot \frac{4}{a^2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2+\frac{4\sqrt{3}}{a}$. Chi phí $f(a)=\sqrt{3}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{4}{a}\right)$. Đạo hàm: $f^{\prime }(a)=\sqrt{3}\left(a-\frac{4}{a^2}\right)=0\Rightarrow a^3=4\Rightarrow a=\sqrt[3]{4}$. Tại đó $f(a)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4^{2/3}+\frac{4\sqrt{3}}{4^{1/3}}=\sqrt{3}\cdot 2^{1/3}+\sqrt{3}\cdot 2^{4/3}=3\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{2}\approx 6,546$ triệu đồng. Vậy chi phí ít nhất (làm tròn đến hàng phần chục) là $6,5$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy tam giác đều là $a$, chiều cao lăng trụ là $h$. Thể tích: $V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h=1\Rightarrow h=\frac{4}{a^2\sqrt{3}}$. Diện tích cần làm: hai đáy tam giác đều và mặt xung quanh: $S=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3ah=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{12}{a\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{a}$. Chi phí $P=S$ (triệu đồng). $P^{\prime }(a)=a\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{a^2}=0\Rightarrow a^3=4\Rightarrow a=\sqrt[3]{4}$. Khi đó $P=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4^{2/3}+\sqrt{3}\cdot 4^{2/3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4^{2/3}\approx 6,5437$. Vậy chi phí ít nhất khoảng $6,5$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2-1$ trên $[-2;1]$. Có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, nên $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ (thuộc đoạn) và $x=2$ (không thuộc đoạn). Trên $[-2;0]$: $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $[0;1]$: $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến). Tính giá trị tại các điểm then chốt: $y(-2)=-8-12-1=-21$; $y(0)=-1$; $y(1)=1-3-1=-3$. Vậy giá trị lớn nhất là $y(0)=-1$, đạt tại $x=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, trên đoạn $[0;3]$ hàm số giảm từ $f(0)=-3$ xuống $f(1)=-4$ rồi tăng lên $f(3)=0$. So sánh các giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút: $f(0)=-3$, $f(1)=-4$, $f(3)=0$. Giá trị nhỏ nhất là $\min \{-3;-4;0\}=-4$ tại $x=1$. Vậy đáp án là D.