Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Câu 6. Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng $2\text{ m}$. Người ta thiết kế một hình lục giác đều và sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng $x$ (mét) với $0<x<\frac{2}{3}$. Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn để thu được hình hợp bởi một lục giác đều và sáu hình chữ nhật. Sau đó gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối (${\text{dm}}^3$) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 1. Trên đoạn $[-1;2]$, hàm số $f(x)=x^3-6x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại giá trị nào dưới đây?

Câu 3. Một công ty tính toán rằng nếu chi số tiền $x$ nghìn USD cho việc quảng cáo thì doanh thu sẽ là $P(x)=\frac{-x^3}{10}+6x^2+x+200$ nghìn USD. Hỏi công ty thu được lợi nhuận tối đa là bao nhiêu nghìn USD từ việc quảng cáo đó?

Câu 3. Nhà ông $A$ cần làm một bể chứa nước có dạng khối hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình chữ nhật và chiều dài gấp ba lần chiều rộng, khối hộp tương ứng có thể tích bằng $1152{\text{ dm}}^3$. Giả sử bề dày của thành bể và đáy bể là không đáng kể. Giá thuê công nhân để làm bể là $400000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Gọi $x$ là chiều rộng của đáy bể ($x$ là số dương và có đơn vị là $\text{dm}$).

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{3\sin x+2}{\sin x+1}$ trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$. Khi đó giá trị của $M^2+m^2$ là

Cho hàm số $y=-x^3+3x^2+2$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$. Giá trị của $(M+m)$ bằng:

Cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z|=1$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+1|+|z^2-z+1|$. Tính $M\cdot m$.

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3+3x^2-9x-7$ trên $[-4;3]$.

Câu 5: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 2. Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1{\text{ (m}}^3\text{)}$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp $1,5$ lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là $240.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là $180.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu,...). Hỏi với số tiền là $200$ triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-10x^2+2$ trên đoạn $[-1;2]$ bằng:

Cho hàm số $f(x)$, biết $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=2f(x)+(x-1{)}^2$ trên đoạn $[-4;3]$ là $m$. Kết luận nào sau đây đúng?

Câu 3. Một công ty công nghệ cung cấp gói lưu trữ dữ liệu doanh nghiệp với giá niêm yết $200.000$ đồng/tháng và đang có $400$ khách hàng. Phòng kinh doanh xác định được quy luật: Cứ giảm giá $10.000$ đồng thì sẽ có thêm $50$ khách hàng mới. Tuy nhiên, do hiện tượng quá tải băng thông, chi phí vận hành $C(n)$ (nghìn đồng) không cố định mà biến thiên theo hàm bậc hai của số lượng khách hàng $n$, được xác định bởi công thức: $C(n)=28n+0,01n^2+15.000$. Công ty cần chốt giá bán bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận đạt mức tối đa?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-3;2]$ và có bảng biến thiên như sau. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$. Tính $M+m$.

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm dược liệu T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu, người ta nhận thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm dược liệu T là $x$ (đơn vị: USD) thì số sản phẩm dược liệu T mà các nhà máy có thể sản xuất là: $R(x)=x-200$ và số sản phẩm dược liệu T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước là: $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn lại doanh nghiệp sẽ xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là: $x_0=3200$ (USD). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a$ (USD) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $a$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Câu 1. Một sợi dây kim loại dài $6\text{ (cm)}$. Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn. Đoạn có độ dài $x\text{ (cm)}$ được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $(0<x<6)$.

Câu 5. Người ta muốn lắp đặt một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí $A$ đến kho chứa dầu đặt ở vị trí $B$ qua một con sông rộng $2\text{ km}$, dài $6\text{ km}$. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí $P$ là $4$ tỷ VNĐ/$1\text{ km}$ và chi phí lắp đặt ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ $P$ đến kho chứa dầu tại vị trí $B$ là $8$ tỷ VNĐ/$1\text{ km}$ (như hình vẽ dưới). Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất, cần đặt vị trí $P$ cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-mz+10=0$ (với $m$ là tham số). Biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$. Các điểm biểu diễn các số phức $z_1,z_2,\frac{1}{z_1},\frac{1}{z_2}$ tạo thành một đa giác lồi có diện tích lớn nhất bằng

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=\ln (x-1)+2x$.

Câu 4. Một khối gỗ có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông cạnh $2\text{ dm}$, mặt bên $(SAB)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều. Nghệ nhân muốn chế tác khối gỗ này thành một vật trang trí có dạng hình hộp chữ nhật với $4$ đỉnh nằm trên các cạnh $SA,SB,SC,SD$ và bốn đỉnh còn lại nằm trong mặt phẳng đáy. Thể tích lớn nhất của khối trang trí này bằng bao nhiêu ${\text{dm}}^3$? Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.