Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $SAB$: $I$ là trung điểm $SA$, $J$ là trung điểm $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$. Theo định lí đường trung bình, $IJ\parallel AB$ (và $IJ=\frac{1}{2}AB$). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có: $IJ\parallel AB$ và $AB\parallel CD$, hơn nữa $IJ$ không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ còn $AB$ nằm trong $(ABCD)$, do đó theo tính chất bắc cầu của hai đường thẳng song song, $IJ\parallel CD$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b$ và $c$ chéo nhau nên $b$ không song song với $c$. Do $a\parallel b$ nên $a$ không song song với $c$ (nếu $a\parallel c$ thì $b\parallel c$, mâu thuẫn), và $a$ không thể trùng $c$ (nếu trùng thì $b\parallel c$). Vị trí tương đối của $a$ và $c$ chỉ có thể là cắt nhau hoặc chéo nhau (cả hai trường hợp đều xảy ra được). Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $ABC$: $M$ là trung điểm $AB$, $I$ là trung điểm $AC$ nên $MI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MI\parallel BC$ và $MI=\frac{1}{2}BC$.

Xét tam giác $DBC$: $J$ là trung điểm $BD$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $JN$ là đường trung bình của tam giác $DBC$, suy ra $JN\parallel BC$ và $JN=\frac{1}{2}BC$.

Do đó $MI\parallel JN$ và $MI=JN$. Tứ giác $MINJ$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên $MINJ$ là hình bình hành. (Chú ý: thứ tự các đỉnh của hình bình hành là $M,I,N,J$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên $a$ và $b$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Đường thẳng $c$ song song với $a$ nên $c$ không cắt $a$. Xét $b$ và $c$: nếu $b$ song song $c$ thì qua $b$ có đường $c$ song song với $a$, khi đó $a$ và $b$ cùng nằm trong một mặt phẳng (mặt phẳng chứa $b$ và song song... thực chất nếu $b\parallel c\parallel a$ thì $a$ và $b$ đồng phẳng), mâu thuẫn với $a,b$ chéo nhau. Nếu $b$ và $c$ trùng nhau thì $b\parallel a$, cũng mâu thuẫn. Vậy $b$ và $c$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau (cả hai trường hợp đều có thể xảy ra). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC, M là trung điểm AB và N là trung điểm BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra $MN//AC$. Các mệnh đề khác sai: MP nối trung điểm AB và CD của tứ diện nên không song song với AD hay BC; trong tứ diện, BC và AD là hai đường chéo chéo nhau, không có điểm chung.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$ và $MN=\frac{AB}{2}$. Mà $AB=2CD$ nên $MN=CD$, đồng thời $MN\parallel CD$ (vì $AB\parallel CD$). Tứ giác $MNCD$ có $MN\parallel CD$ và $MN=CD$ nên là hình bình hành, do đó $MD\parallel NC$. Vậy đáp án B.

Các phương án khác sai:
- A: $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, còn $MC$ cắt mặt phẳng này tại $C$ với $C$ không thuộc $AB$, nên $AB$ không song song $MC$.
- C: $MN\parallel AB$ mà $AB$ không song song $AC$ (cắt nhau tại $A$), nên $MN$ không song song $AC$.
- D: Nếu $MC\parallel ND$ thì do $MD\parallel NC$ đã chứng minh, tứ giác $MCND$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel CD$ và $MN=CD$... nhưng khi đó $CD\parallel MN$ và $CD=MN$ dẫn đến $MNCD$ hình bình hành với $MD\parallel NC$ và $MC\parallel ND$ đồng thời — kiểm tra: thực tế tứ giác $MNCD$ đã là hình bình hành nên $MC$ và $ND$ là hai đường chéo của nó, cắt nhau tại trung điểm chứ không song song. Vậy D sai.

(AI giải đề cho tôi)
I là trọng tâm tam giác ABC nên $I=\frac{A+B+C}{3}$; J là trọng tâm tam giác ABD nên $J=\frac{A+B+D}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=J-I=\frac{D-C}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $IJ\parallel CD$ (vì C, D, I, J không đồng phẳng với đường thẳng qua hai điểm phân biệt). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB\subset (ABC)$ còn $SC\not\subset (ABC)$, $SC\cap (ABC)=C$ và $C\notin AB$ nên $AB$ và $SC$ chéo nhau. Đúng.
b) $SM=2MC\Rightarrow \frac{SM}{SC}=\frac{2}{3}=\frac{SN}{SB}$, trong tam giác $SBC$ có $\frac{SN}{SB}=\frac{SM}{SC}$ nên $MN\parallel BC$. Đúng.
c) Theo b), $MN=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}\cdot 6=4\ne 3$. Sai.
d) Hình thang $AB=2CD$, $AC\cap BD=O$ nên $\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=2$ (tam giác $OAB\sim OCD$). Trong tam giác $SAC$: $\frac{AO}{OC}=\frac{SM}{MC}=2$ nên $OM\parallel SA$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB\subset (ABC)$, $SC\cap (ABC)=C\notin AB$ nên $AB$ và $SC$ chéo nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{SN}{SB}=\frac{SM}{SC}=\frac{2}{3}$ nên theo định lý Thales $MN\parallel BC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN=\frac{2}{3}BC=4\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=2=\frac{SM}{MC}$ nên trong tam giác $SAC$ có $OM\parallel SA$.

Trong không gian: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy đồng quy hoặc đôi một song song.

Chọn D.

Xét tam giác $SAD$, đoạn thẳng $MN$ nối trung điểm hai cạnh $SA$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình.

Do đó đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AD$.

Chọn B.

a) Đúng. Tấm bạt ban đầu là hình chữ nhật $ABCD$ có $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ nên nửa tấm bạt $ABFE$ vẫn là hình chữ nhật phẳng, suy ra đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng $EF$.

b) Sai. Giả sử hai đường thẳng $AE$ và $CF$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Vậy hai đường thẳng $AE$ và $CF$ chéo nhau, nên chúng không cắt nhau.

c) Sai. Giả sử hai đường thẳng $BE$ và $DF$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $B,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $D$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Vậy hai đường thẳng $BE$ và $DF$ chéo nhau, nên chúng không song song với nhau.

d) Đúng. Giả sử bốn điểm $A,E,C,F$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Do đó bốn điểm $A,E,C,F$ không đồng phẳng, suy ra hai đường thẳng $CE$ và $AF$ chéo nhau.
a) Đúng. Tấm bạt ban đầu là hình chữ nhật $ABCD$ có $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ nên nửa tấm bạt $ABFE$ vẫn là hình chữ nhật phẳng, suy ra đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng $EF$.
b) Sai. Giả sử hai đường thẳng $AE$ và $CF$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Vậy hai đường thẳng $AE$ và $CF$ chéo nhau, nên chúng không cắt nhau.
c) Sai. Giả sử hai đường thẳng $BE$ và $DF$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $B,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $D$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Vậy hai đường thẳng $BE$ và $DF$ chéo nhau, nên chúng không song song với nhau.
d) Đúng. Giả sử bốn điểm $A,E,C,F$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Do đó bốn điểm $A,E,C,F$ không đồng phẳng, suy ra hai đường thẳng $CE$ và $AF$ chéo nhau.

Vì $N,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ nên $NQ$ là đường trung bình của $\Delta SBD$, suy ra $NQ\parallel BD$. Chọn đáp án C.

Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Ta có $\frac{M{G}_1}{MB}=\frac{M{G}_2}{MA}=\frac{1}{3}⟹G_1{G}_2\parallel AB$ và $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB$. Do đó mệnh đề B ($G_1{G}_2=\frac{2}{3}AB$) là sai. Chọn B.

$SO$ và $MB$ cùng thuộc mặt phẳng $(SBD)$ và không song song, nên chúng cắt nhau. Chọn B.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Vì $G,E$ lần lượt là trọng tâm $△ABD$ và $△ABC$ nên $\frac{IG}{ID}=\frac{IE}{IC}=\frac{1}{3}\Rightarrow GE\parallel CD$ theo định lý Thales đảo.