Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có hoành độ $x=-\frac{b}{2a}$ và tung độ $y=-\frac{\Delta }{4a}$ với $\Delta =b^2-4ac$. Thật vậy, $y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}$, nên giá trị lớn nhất/nhỏ nhất đạt tại $x=-\frac{b}{2a}$. Vậy đỉnh là $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$, khớp với đáp án A (đáp án nguồn: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol có đỉnh $I(2;1)$, đi qua $(1;0)$ và $(3;0)$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $-3$. Suy ra $f(x)=-(x-2{)}^2+1=-x^2+4x-3$.
a) Sai: parabol có bề lõm hướng xuống với đỉnh $x=2$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ và nghịch biến trên $(2;+\infty )$.
b) Đúng: đỉnh có hoành độ $x=2$ nên trục đối xứng là $x=2$.
c) Đúng: $f(0)=-3$ nên giao điểm với trục tung là $C(0;-3)$.
d) Đúng: phương trình hoành độ giao điểm $-x^2+4x-3=x-1\iff x^2-3x+2=0\iff x=1$ hoặc $x=2$. Vì các điểm nằm trên đường thẳng $y=x-1$ nên $y_A+y_B=(x_A-1)+(x_B-1)=(1+2)-2=1$.
Kết quả khớp đáp án nguồn: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $(2;1)$ bề lõm hướng xuống nên đồng biến trên $(-\infty ;2)$, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol là $(2;1)$ nên trục đối xứng là $x=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=-x^2+4x-3$ thì $f(0)=-3$, giao điểm với trục tung là $C(0;-3)$, khớp hình vẽ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2+4x-3=x-1\iff x^2-3x+2=0\iff x_A+x_B=3$. Vì $y=x-1$ nên $y_A+y_B=(x_A+x_B)-2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đỉnh $(2;-1)$, đi qua $(0;3)$, cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$. Suy ra $f(x)=a(x-1)(x-3)$, với $f(0)=3a=3\Rightarrow a=1$, tức $f(x)=x^2-4x+3$. a) Trục đối xứng là $x=-\frac{-4}{2}=2\ne 1$ → Sai. b) Giao điểm với trục tung là $(0;3)$, không phải $(0;-1)$ → Sai. c) $a=1>0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$ → Đúng. d) Phương trình $x^2-4x+3=x-1\iff x^2-5x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=4$. Khi đó $y_A+y_B=(x_A-1)+(x_B-1)=5-2=3$ → Đúng. Khớp với đáp án chính thức (mã 0101, Phần II câu 4: SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của parabol là $x=2$ (hoành độ đỉnh), không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ $3$, tức $(0;3)$, không phải $(0;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có bề lõm hướng lên với đỉnh $(2;-1)$ nên hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^2-4x+3$, phương trình $f(x)=x-1$ cho $x^2-5x+4=0$ có hai nghiệm $x=1,4$; do đó $y_A+y_B=(x_A-1)+(x_B-1)=5-2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $y=3x^2-2x+1$ có hoành độ $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}$. Tung độ: $y=3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}$. Vậy đỉnh là $I\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, trùng với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=2$ nên $b=-4a$. Parabol đi qua $A(3;11)$: $9a+3b+5=11\Rightarrow 9a-12a=6\Rightarrow a=-2$, suy ra $b=8$. Khi đó $S=20a+26b=20(-2)+26(8)=-40+208=168$.

(AI giải đề cho tôi)
Số điểm chung của $(P)$ với trục $Ox$ là số nghiệm của phương trình $x^2-2024x+2023=0$. Xét biệt thức $\Delta =(-2024{)}^2-4\cdot 1\cdot 2023=4096576-8092=4088484>0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Vậy parabol cắt trục hoành tại $2$ điểm. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-2x+2024$ có $a=1$, $b=-2$. Trục đối xứng của parabol là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1$. Vậy trục đối xứng là đường thẳng $\Delta :x=1$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$ khi và chỉ khi parabol có bề lõm hướng lên trên, tức $a>0$... nhưng xét kỹ: hàm nghịch biến trên khoảng trái của đỉnh khi $a>0$. Tuy nhiên đáp án đúng theo lý thuyết: với $a>0$ hàm nghịch biến trên $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$. Vậy điều kiện là $a>0$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f(4)=16-4m+1=5$ suy ra $4m=12$, tức $m=3$. Khi đó $f(-1)=1+3+1=5$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol có bề lõm hướng xuống, cắt trục hoành tại $x=2$ và $x=3$. Do đó $f(x)>0$ khi và chỉ khi $2<x<3$. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol $v=a(t-2{)}^2+9$ (đỉnh $I(2;9)$, trục đối xứng $t=2$). Từ hình vẽ, đồ thị đi qua điểm $(0;6)$ nên $6=a(0-2{)}^2+9\Rightarrow 4a=-3\Rightarrow a=-\frac{3}{4}$. Vậy $v(t)=-\frac{3}{4}(t-2{)}^2+9$. Tại thời điểm 2 giờ 30 phút, tức $t=2,5$ h: $v(2,5)=-\frac{3}{4}(0,5{)}^2+9=-\frac{3}{16}+9=8,8125\approx 8,81$ km/h. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đưa đề về dạng $y=a(t-3{)}^2+21$ vì đỉnh parabol tại $t=3$, $y=21$. Do bóng được đá từ mặt đất: $y(0)=0\Rightarrow 9a+21=0\Rightarrow a=-\frac{7}{3}$. Vậy $y=-\frac{7}{3}(t-3{)}^2+21$. Yêu cầu $y>10$: $-\frac{7}{3}(t-3{)}^2+21>10\iff (t-3{)}^2<\frac{33}{7}\approx 4,714\iff |t-3|<\sqrt{33/7}\approx 2,171$. Suy ra $0,829<t<5,171$. Với $t$ nguyên, giá trị lớn nhất là $t=5$ (kiểm tra: $y(5)=-\frac{7}{3}\cdot 4+21=\frac{35}{3}\approx 11,67>10$; còn $y(6)=-\frac{7}{3}\cdot 9+21=0<10$). Vậy $t_{\max }=5$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol $(P)$ có bề lõm hướng lên và điểm thấp nhất (đỉnh) được đánh dấu tại $x=1$ (đường gián đứt dọc từ 1 trên trục hoành) và $y=-3$ (đường gián đứt ngang từ -3 trên trục tung). Vậy đỉnh $I$ của parabol là $I(1;-3)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol $(P)$ có bề lõm hướng xuống và đỉnh tại điểm có hoành độ $x=2$, tung độ $y=1$ (được đánh dấu bằng đường nét đứt từ trục tung tại $y=1$ xuống đỉnh tại $x=2$). Vậy tọa độ đỉnh là $I(2;1)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ câu 18, parabol $(P)$ có bề lõm hướng lên và tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ $x=2$, đồng thời đi qua điểm $(0;4)$. Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất nằm trên trục $Ox$ nên $I(2;0)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ câu 19, parabol (P) có bề lõm hướng lên, cắt trục tung tại điểm có tung độ 3, cắt Ox tại x = 1 và x = 3. Đỉnh nằm tại x = (1+3)/2 = 2, đường nét đứt chỉ xuống trục hoành tại 2 và sang trục tung tại -1, nên đỉnh có tung độ y = -1. Kiểm tra: y = (x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3, cắt Ox tại x = 1, x = 3 và cắt Oy tại y = 3, khớp với hình vẽ. Vậy I(2; -1), đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ của Câu 20 (trang 9), parabol (P) có bề lõm hướng xuống, cắt trục hoành tại $x=-3$ và $x=1$, cắt trục tung tại điểm $(0;3)$, và đỉnh của parabol được đánh dấu tại $x=-1$ với giá trị lớn nhất $y=4$ (đường chỉ dẫn tới $y=4$). Vậy tọa độ đỉnh là $I(-1;4)$. Kiểm tra: parabol dạng $y=a(x+1{)}^2+4$ với $a<0$; qua $(0;3)$ ta có $a+4=3\Rightarrow a=-1$, khi đó $y=-(x+1{)}^2+4=0\Rightarrow x=-3$ hoặc $x=1$, khớp hoàn toàn với hình vẽ. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của parabol $(P)$ là $I(-1;4)$, nên trục đối xứng là đường thẳng $x=-1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của parabol $(P)$ có hoành độ $x=2$ (đỉnh tại điểm có tung độ $1$, cách đều hai nghiệm cắt trục hoành). Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đi qua đỉnh và song song với trục tung, nên phương trình trục đối xứng là $x=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của parabol $(P)$ có hoành độ $x=\frac{3}{2}$ (đường đối xứng đi qua đỉnh tại $x=\frac{3}{2}$, giá trị lớn nhất $y=\frac{13}{3}$). Vậy phương trình trục đối xứng là $x=\frac{3}{2}$.