Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-2x+4$ có $a=1>0$, bậc trùng phương với đỉnh tại $x=-\frac{b}{2a}=1$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$. Do đó mệnh đề đúng là D: hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$. Các phương án A, B, C đều sai vì A sai chiều đồng biến, B sai vì hàm không nghịch biến trên toàn tập R, C sai vì trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=3+10t-2t^2$ với $t\ge 0$. $h^{\prime }(t)=10-4t$; $h^{\prime }(t)=0\iff t=2,5$ (s). Vì $h^{\prime }(t)>0$ khi $t<2,5$ và $h^{\prime }(t)<0$ khi $t>2,5$ nên hàm số đạt cực đại tại $t=2,5$. Độ cao cực đại: $h(2,5)=3+10(2,5)-2(2,5{)}^2=3+25-12,5=15,5$ (m). Kết quả khớp với đáp án nguồn 15,5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=0\iff x^2-2024x-2025=0$ (với $x\ne -2026$). Phân tích: $x^2-2024x-2025=(x-2025)(x+1)$ vì $2025\cdot (-1)=-2025$ và $2025+(-1)=2024$. Hai nghiệm là $x=2025$ và $x=-1$, đều khác $-2026$ nên hợp lệ. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại $M(2025;0)$ và $N(-1;0)$, do đó $MN=|2025-(-1)|=2026$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2026).

(AI giải đề cho tôi)
Xét parabol $(P):y=-2x^2+x-1$ với $a=-2,b=1,c=-1$.

a) Tọa độ đỉnh: $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2(-2)}=\frac{1}{4}$; $y_S=-2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}-1=-\frac{7}{8}$. Vậy $S\left(\frac{1}{4};-\frac{7}{8}\right)$ → đúng.

b) Trục đối xứng là $x=\frac{1}{4}$, không phải $x=\frac{1}{2}$ → sai.

c) Vì $a=-2<0$, hàm số có giá trị lớn nhất tại đỉnh: $y_{\max }=-\frac{7}{8}$ → đúng.

d) $(P^{\prime })$ có đỉnh $\left(\frac{1}{4};-\frac{7}{8}\right)$ nên có dạng $y=a{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{7}{8}$. Đi qua $A(1;2)$: $2=a\cdot \frac{9}{16}-\frac{7}{8}\Rightarrow a\cdot \frac{9}{16}=\frac{23}{8}\Rightarrow a=\frac{46}{9}$. Vậy $(P^{\prime }):y=\frac{46}{9}{x}^2-\frac{23}{9}x-\frac{5}{9}$, khác $y=-2x^2+x+3$ (parabol $y=-2x^2+x+3$ có đỉnh $\left(\frac{1}{4};\frac{25}{8}\right)$, không trùng đỉnh của $(P)$) → sai.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai (khớp đáp án ĐSĐS của đề).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh: $x_S=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}$, $y_S=-2\cdot \frac{1}{16}+\frac{1}{4}-1=-\frac{7}{8}$, nên $S\left(\frac{1}{4};-\frac{7}{8}\right)$ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng là $x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}$, không phải $x=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=-2<0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh: $y_{\max }=-\frac{7}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(P^{\prime })$ có đỉnh $\left(\frac{1}{4};-\frac{7}{8}\right)$ và đi qua $A(1;2)$ nên $a=\frac{46}{9}$, tức $y=\frac{46}{9}{x}^2-\frac{23}{9}x-\frac{5}{9}\ne -2x^2+x+3$ (parabol $y=-2x^2+x+3$ có đỉnh $\left(\frac{1}{4};\frac{25}{8}\right)$).

Đáp án: $y=x^2+2x-3$. Đỉnh $S(-1;-4)$. Trục đối xứng: $x=-1$. Bảng giá trị: Đồ thị: [Hình cần kiểm tra lại: p5_f1] (Điểm: 0.25 x 4, bản in nguồn ghi "025x4" thiếu dấu chấm thập phân).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y=3x^2-2x+1$ có $a=3,b=-2,c=1$. Hoành độ đỉnh $x_S=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Tung độ đỉnh $y_S=3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}$. Vậy $S\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^2+4x-3$ có $a=-1<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-1)}=2$. Khi đó $y_{\max }=-2^2+4\cdot 2-3=-4+8-3=1$. Vậy giá trị lớn nhất là $1$, tương ứng phương án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ là $x=-\frac{b}{2a}$. Với $y=-2x^2+5x+3$ ta có $a=-2,b=5$, nên $x=-\frac{5}{2\cdot (-2)}=\frac{5}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=a{x}^2+bx+2$, $a\ne 0$.
a) Hàm bậc hai xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$: Đúng.
b) $(P)$ qua $M(1;0)$: $a+b+2=0$; qua $N(-1;0)$: $a-b+2=0$. Cộng hai phương trình: $2a+4=0\Rightarrow a=-2$, suy ra $b=0$. Khi đó $a+2024b=-2+0=-2$: Đúng.
c) $(P)$ qua $E(-1;4)$: $a-b+2=4\Rightarrow a-b=2\ne 4$: Sai.
d) Đỉnh $S\left(-1;-\frac{3}{2}\right)$: hoành độ đỉnh $-\frac{b}{2a}=-1\Rightarrow b=2a$; $y(-1)=a-b+2=-\frac{3}{2}\Rightarrow a-2a+2=-\frac{3}{2}\Rightarrow a=\frac{7}{2}$, $b=7$. Vậy $2a+b=7+7=14$, tức tỉ lệ $(2a+b):14=1$: Đúng.
Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc hai $y=a{x}^2+bx+2$ với $a\ne 0$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;0)$: $a+b+2=0$; thay $N(-1;0)$: $a-b+2=0$. Suy ra $a=-2$, $b=0$, nên $a+2024b=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $E(-1;4)$: $a-b+2=4\Rightarrow a-b=2\ne 4$, nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh $-\frac{b}{2a}=-1\Rightarrow b=2a$; $y(-1)=a-b+2=-\frac{3}{2}\Rightarrow a=\frac{7}{2},b=7$. Vậy $2a+b=14$, tức $(2a+b):14$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-4x+3$ có $a=1,b=-4,c=3$. Hoành độ đỉnh: $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$. Tung độ đỉnh: $y_S=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$. Vậy đỉnh $S(2;-1)$, khớp với đáp án B.

Đáp án chính thức (Mã đề 101, Phần 2, Câu 1): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Lời giải:

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]

Ta có $AB.AD=25\left(m^2\right)$; $\frac{NH}{AB}=\frac{DN}{DA}$. Đặt

$\frac{NH}{AB}=\frac{DN}{DA}=x\Rightarrow NH=x.AB;AN=(1-x)AD$

Diện tích đất trồng cỏ là:

$S=AN.NH=x.(1-x).AB.AD=25.x.(1-x)=-25x^2+25x$ — 0,5

Diện tích đất trồng cỏ lớn nhất $S=\frac{1}{4}.25=\frac{25}{4}$ — 0,25

(Diện tích lớn nhất tại tung độ đỉnh của hàm số bậc hai)

Số tiền lớn nhất để trồng cỏ: $T=\frac{25}{4}.100000=625000$ đồng. — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-4x+3$ có $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Hoành độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$. Tung độ đỉnh: $y=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$. Vậy đỉnh $S(2;-1)$, trùng với đáp án C của đề (đáp án 6.C ở trang đáp án).

$$\{\begin{array}{l}c=3\\ \frac{-b}{2a}=2\\ 4a+2b+c=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\\ c=3\end{array}.$$ Vậy $y=x^2-4x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng phương án: A) $y=8x^4-5x^2+1$ có bậc cao nhất là 4, không phải hàm bậc hai. B) $y=3x^3+2x+1$ có bậc cao nhất là 3, không phải hàm bậc hai. C) $y=-3x^2-1$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a=-3\ne 0$, $b=0$, $c=-1$, đây là hàm số bậc hai. D) $y=5x^2+\sqrt{x}+2$ chứa $\sqrt{x}$, không phải hàm đa thức bậc hai. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 4101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, parabol có bề lõm hướng lên ($a>0$) và đỉnh tại $x=1$ (đường vuông góc xuống giá trị $-3$). Hàm số bậc hai với $a>0$ đồng biến trên khoảng $(x_0;+\infty )$ với $x_0=-\frac{b}{2a}=1$. Vậy hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=x^2+bx+c$ đi qua $A(1;-1)$: $1+b+c=-1\Rightarrow b+c=-2$. Kiểm tra với $B(2;-2)$: $4+2b+c=-2\Rightarrow 2b+c=-6$. Trừ hai phương trình: $b=-4$, suy ra $c=2$. Vậy $S=b+c=-4+2=-2$ (thỏa mãn cả hai điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. A: $y=2x-1$ là hàm bậc nhất. B: $y=-x^2+3$ có $a=-1\ne 0$, $b=0$, $c=3$ nên là hàm bậc hai. C: có số hạng $\frac{1}{x}$ nên không phải hàm bậc hai. D: $y=x^3-2x^2+1$ là hàm bậc ba. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=2x^2-6x+3^{2025}$ có $a=2,b=-6$. Trục đối xứng là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 2}=\frac{3}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi giá vé là $x$ (nghìn đồng), với $0<x\le 100$. Số khán giả đến sân: khi giá giảm mỗi 10 nghìn đồng thì thêm 3 000 người, tức giảm mỗi 1 nghìn đồng thêm 300 người, nên số khán giả là $24000+300(100-x)$. Ràng buộc sức chứa: $24000+300(100-x)\le 60000\iff x\ge 40$. Doanh thu: $T(x)=x\left[24000+300(100-x)\right]=300x(180-x)=-300x^2+54000x$. Hàm số bậc hai với đỉnh tại $x=\frac{54000}{600}=90$, thuộc khoảng $[40;100]$. Vậy doanh thu lớn nhất khi giá vé $x=90$ nghìn đồng, khi đó số khán giả là $24000+300\cdot 10=27000$ người và doanh thu $T=90\cdot 27000=2430000$ nghìn đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (90).