Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 3$: $y=\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{(x-3)(x-4)}{x-3}=x-4$, nên $\underset{x\to 3}{\lim }y=3-4=-1=f(3)$, do đó hàm số liên tục tại $x_0=3$. Đạo hàm tại $x_0=3$: $y^{\prime }(3)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-4)-(-1)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x-3}=1$, tồn tại. Vậy hàm số liên tục và có đạo hàm tại $x_0=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2)-4}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}=\sqrt{x+2}+2$. Suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\sqrt{4}+2=4=f(2)$, nên hàm số liên tục tại $x=2$ (A đúng, B và D sai). Kiểm tra C: $f(4)=\sqrt{6}+2\ne 2$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x^3-x}$ xác định khi $x^3-x=x(x-1)(x+1)\ne 0$, tức $x\ne -1,0,1$. Tại $x=-1$, $x=0$, $x=1$ hàm số không xác định nên không liên tục. Tại $x=\frac{1}{2}$, mẫu số ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}-\frac{4}{8}=-\frac{3}{8}\ne 0$ nên hàm số xác định và liên tục (hàm phân số hữu tỉ liên tục tại mọi điểm trong tập xác định). Vậy kết luận đúng là hàm số liên tục tại $x=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=1$:
- A: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ (mẫu bằng 0) nên gián đoạn tại $x=1$.
- B: $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-1}$ không xác định tại $x=1$ (mẫu $x^2-1=0$) nên gián đoạn tại $x=1$.
- C: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x}$ xác định tại $x=1$ với $f(1)=\frac{1+1+1}{1}=3$, và là hàm phân số hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó (mẫu $x\ne 0$). Vậy $f$ liên tục tại $x=1$.
- D: $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ nên gián đoạn tại $x=1$.

Vậy chỉ có hàm ở phương án C liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức chỉ gián đoạn tại điểm làm mẫu số bằng 0. Xét từng hàm tại $x_0=-1$: A) $y=(x+1)(x^2+2)$ là đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có mẫu $x+1=0$ khi $x=-1$, nên hàm không xác định tại $x_0=-1$, do đó gián đoạn tại $x_0=-1$. C) $y=\frac{x}{x-1}$ có mẫu khác 0 tại $x=-1$, liên tục tại đó. D) $y=\frac{x+1}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$, liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm gián đoạn tại $x_0=-1$ là hàm ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=2$: (A) $y=\frac{3x-4}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu bằng 0) nên gián đoạn tại $x=2$. (B) $y=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. (C) $y=x^4-2x^2+1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. (D) $y=\tan x$ gián đoạn tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, mà $2\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ nên hàm liên tục tại $x=2$. Vậy hàm gián đoạn tại $x=2$ là hàm ở phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ xác định khi $x+1\ne 0$, tức $x\ne -1$. Tại $x_0=-1$ hàm số không xác định nên gián đoạn tại đó. Vậy $x_0=-1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-3}{x^2-1}$ xác định khi $x^2-1\ne 0$, tức $x\ne \pm 1$. Tại $x=1$ và $x=-1$ hàm số không xác định nên không liên tục tại hai điểm đó. Do đó hàm số không liên tục tại các điểm $x=\pm 1$ (đáp án A). Các phương án B, C, D đều sai vì hàm số không liên tục tại $x=1$ lẫn $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=-2$ khi và chỉ khi $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=f(-2)=m$. Với $x\ne -2$: $\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$, do đó $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=\underset{x\to -2}{\lim }(x-2)=-4$. Vậy $m=-4$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Với $x\ne 1$: $\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$, do đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1+1+1=3$. Cần $2m+1=3\iff m=1$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại điểm đó. Ta có $f(-1)=(-1{)}^2+3(-1)+2=1-3+2=0$. Giới hạn phải: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }(4x+a)=-4+a$. Để liên tục: $-4+a=0\Rightarrow a=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x_0=1$ khi ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Ta có ${\lim }_{x\to 1}(x^2-2x+3)=1-2+3=2$ và $f(1)=3+m-1=m+2$. Điều kiện: $m+2=2\Rightarrow m=0$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x>1$ thì $x+3>4>0$, với $x\le 1$ hàm $-x^2+m$ xác định với mọi $x$, nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ → Đúng. b) Theo định nghĩa, $f(1)=-1^2+m=-1+m$ → Đúng. c) ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(-x^2+m)=-1+m\ne 1+m$ → Sai. d) ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $x+3>0$ nên căn thức xác định; với $x\le 1$, $-x^2+m$ luôn xác định. Vậy hàm xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $1\le 1$ nên $f(1)=-1^2+m=-1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(-x^2+m)=-1+m$, không phải $1+m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=-5$ và $x=10$. Tại $x=-5$: giới hạn trái bằng $25-5m+n$ phải bằng $f(-5)=12$, suy ra $n-5m=-13$. Tại $x=10$: giới hạn phải bằng $10m+n+10$ phải bằng $f(10)=27$, suy ra $10m+n=17$. Trừ hai phương trình: $15m=30$ nên $m=2$, $n=-3$. a) $f(-5)=-5+17=12$, $f(10)=10+17=27$: đúng. b) $m=2>0$ nhưng $n=-3<0$: sai. c) $2m+n=4-3=1$ không phải số nguyên tố: sai. d) GTLN của $y=2\sin x-3\cos x$ là $\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{13}$ khác $\sqrt{12}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(-5)=-5+17=12$ và $f(10)=10+17=27$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện liên tục: $n-5m=-13$ và $10m+n=17$, giải được $m=2$, $n=-3$. Vậy $m>0$ nhưng $n<0$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2m+n=2\cdot 2+(-3)=1$, không phải số nguyên tố, mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
GTLN của $y=m\sin x+n\cos x=2\sin x-3\cos x$ là $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$, khác $\sqrt{12}$, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2-3=-1$. Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi $f(2)={\lim }_{x\to 2}f(x)$, tức $a^2-2a=-1\iff a^2-2a+1=0\iff (a-1{)}^2=0\iff a=1$. Vậy có đúng 1 giá trị của $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên từng khoảng; chỉ cần xét tại $x=4$. Với $x>4$: ${\lim }_{x\to 4^{+}}\frac{x^2-16}{x-4}={\lim }_{x\to 4^{+}}(x+4)=8$. Với $x\le 4$: $f(4)=4m+1$ và ${\lim }_{x\to 4^{-}}(mx+1)=4m+1$. Để hàm liên tục tại $x=4$ cần $4m+1=8\Rightarrow m=\frac{7}{4}$. Khi đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-3}=\frac{\sqrt{8}-3}{1-3}=\frac{2\sqrt{2}-3}{-2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$.

Giá trị bên trái: $f(1)=\frac{a+15}{4}$.

Điều kiện liên tục: $\frac{a+15}{4}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\Rightarrow a+15=6-4\sqrt{2}\Rightarrow a=-9-4\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-ax+b}{x-2}=f(2)=5$. Để giới hạn tồn tại (hữu hạn), tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4-2a+b=0$, tức $x^2-ax+b=(x-2)(x+2-a)$. Khi đó giới hạn bằng $\underset{x\to 2}{\lim }(x+2-a)=4-a=5\Rightarrow a=-1$. Suy ra $b=2a-4=-6$. Vậy $a+2b=-1+2(-6)=-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Với $x\ne 3$: $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-3}=\frac{(x-3)(x+1)}{x-3}=x+1$, là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$. Tại $x=3$: ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}(x+1)=4=f(3)$, nên $f$ liên tục tại $x=3$. Kết luận: $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.