Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Với $x\ne 1$, $f(x)$ là hàm đa thức (hoặc hàm tuyến tính) nên liên tục trên $(-\infty ;1)$ và $[1;+\infty )$. Chỉ cần xét tại $x=1$:
- $f(1)=1^3+1+1=3$.
- ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x^3+x+1)=3$.
- ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+4)=6$.
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên $f$ không có giới hạn tại $x=1$, do đó $f$ không liên tục tại $x=1$. Kết luận: $f$ liên tục trên $(-\infty ;1)\cup [1;+\infty )$ và gián đoạn tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(1-m^2)x^5-3x-1$, hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$.

Trường hợp 1: $m=\pm 1$ (tức $1-m^2=0$). Khi đó phương trình trở thành $-3x-1=0\iff x=-\frac{1}{3}$, nên phương trình có nghiệm.

Trường hợp 2: $m\ne \pm 1$, khi đó $a=1-m^2\ne 0$ và $f$ là đa thức bậc 5 (bậc lẻ) với hệ số dẫn $a$.
- Nếu $a>0$: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
- Nếu $a<0$: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$.

Trong cả hai trường hợp, do $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và các giới hạn trái dấu, theo định lý giá trị trung gian (hệ quả về nghiệm của đa thức bậc lẻ), tồn tại $x_0\in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0)=0$.

Vậy với mọi $m$, phương trình $(1-m^2)x^5-3x-1=0$ luôn có nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2$ với $m$ bất kỳ. Ta có $m^2+m+1={\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $m$, nên $f$ là hàm đa thức (liên tục trên $\mathbb{R}$). Tính: $f(0)=-2<0$ và $f(1)=m^2+m+1+2-2=m^2+m+1>0$. Vì $f(0)\cdot f(1)<0$ và $f$ liên tục trên $[0;1]$, theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano), tồn tại $x_0\in (0;1)$ sao cho $f(x_0)=0$. Vậy phương trình $\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2=0$ luôn có nghiệm với mọi $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $f(x)$ xác định trên $[a;b]$:

- **A sai:** Hàm liên tục trên $[a;b]$ và $f(a)f(b)>0$ vẫn có thể có nghiệm trong $(a;b)$ khi đồ thị chạm trục hoành mà không đổi dấu, ví dụ $f(x)=(x-c{)}^2$ với $c\in (a;b)$, khi đó $f(a)f(b)>0$ nhưng $f(c)=0$.

- **B sai:** Mệnh đề thiếu giả thiết $f(x)$ liên tục. Nếu $f$ không liên tục, ví dụ $f(x)=-1$ với $x\le c$ và $f(x)=1$ với $x>c$ ($c\in (a;b)$), thì $f(a)f(b)<0$ nhưng $f(x)=0$ vô nghiệm.

- **C đúng:** Vì $f$ liên tục và tăng trên $[a;b]$ nên nếu $f(x)=0$ có nghiệm $x_0\in (a;b)$ thì do $f$ tăng, $f(a)<f(x_0)=0<f(b)$, suy ra $f(a)f(b)<0$, mâu thuẫn với $f(a)f(b)>0$. Vậy phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm trong $(a;b)$.

- **D sai:** Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong $(a;b)$ không kéo theo $f$ liên tục; hàm rời rạc vẫn có thể có nghiệm (ví dụ $f(x)=0$ tại một điểm và bằng 1 tại các điểm khác).

Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: bên trái $x=0$ là nhánh parabol đi xuống chạm gốc tọa độ (tiếp xúc ngang, hệ số góc trái bằng 0), bên phải $x=0$ là đường thẳng đi qua gốc với hệ số góc 1. Về tính liên tục: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=0$ nên hàm số liên tục tại $x=0$. Về tính đạo hàm: $f_{-}^{\prime }(0)=0$ còn $f_{+}^{\prime }(0)=1$, vì $f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0)$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$ (đồ thị có điểm gãy góc tại gốc tọa độ). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đồ thị tại $x=1$: Hình A là đường gãy khúc (dạng $|x-1|$) nhưng hai nhánh nối liền nhau tại điểm $(1;1)$, nên hàm liên tục tại $x=1$. Hình B là parabol, liên tục trên $\mathbb{R}$. Hình C là đường thẳng, liên tục. Hình D: tại $x=1$ đồ thị bị đứt đoạn — nhánh trái kết thúc tại điểm có tung độ $1$ (nét đứt) còn nhánh phải bắt đầu ở thấp hơn và cắt trục hoành tại $x=2$, tức giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$ khác nhau (gián đoạn loại nhảy), nên hàm số không liên tục tại $x=1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $\frac{1-x^3}{1-x}=1+x+x^2$, do đó ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=1+1+1=3$. Với $x\ge 1$: $y=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=f(1)=1$. Vì giới hạn trái $3\ne 1$ nên hàm không liên tục trái tại $x=1$, cũng không liên tục tại $x=1$ và không liên tục trên $\mathbb{R}$. Tuy nhiên giới hạn phải bằng $f(1)=1$ nên hàm liên tục phải tại $x=1$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=1$:
- A: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ (mẫu bằng 0) nên không liên tục tại $x=1$.
- B: $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-1}=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$ không xác định tại $x=1$ nên không liên tục tại $x=1$.
- C: $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x}$ xác định tại $x=1$ với $f(1)=3$, và là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó (mẫu $x\ne 0$). Vậy $f$ liên tục tại $x=1$.
- D: $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ nên không liên tục tại $x=1$.

Vậy hàm số liên tục tại $x=1$ là hàm ở phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên không xác định (không liên tục) tại $x_0=-1$. Các hàm còn lại: $y=(x+1)(x^2+2)$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{x}{x-1}$ liên tục tại $x=-1$ (mẫu $=-2\ne 0$); $y=\frac{x+1}{x^2+1}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ vì $x^2+1>0$. Vậy hàm gián đoạn tại $x_0=-1$ là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=2$:
- $y=\frac{3x-4}{x-2}$: mẫu số bằng $0$ tại $x=2$, hàm không xác định tại $x=2$ nên gián đoạn tại $x=2$.
- $y=\sin x$: hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x=2$.
- $y=x^4-2x^2+1$: đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$, liên tục tại $x=2$.
- $y=\tan x$: liên tục tại $x=2$ vì $2\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.
Vậy hàm số gián đoạn tại $x=2$ là $y=\frac{3x-4}{x-2}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x_0=-1$, mẫu số bằng 0 nên hàm số không xác định, do đó hàm số gián đoạn tại $x_0=-1$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 3$: $\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{(x-3)(x-4)}{x-3}=x-4$, nên $\underset{x\to 3}{\lim }y=3-4=-1=y(3)$, do đó hàm số liên tục tại $x=3$. Đạo hàm tại $x=3$: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-4)-(-1)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x-3}=1$ tồn tại, nên hàm số có đạo hàm tại $x=3$. Vậy hàm số liên tục và có đạo hàm tại $x_0=3$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2)-4}=\underset{x\to 2}{\lim }(\sqrt{x+2}+2)=2+2=4$.

Vì $f(2)=4=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ nên hàm số liên tục tại $x=2$ → chọn A.

Kiểm tra các phương án khác: B sai vì hàm liên tục; C sai vì $f(4)=\frac{4-2}{\sqrt{6}-2}=\frac{2(\sqrt{6}+2)}{2}=\sqrt{6}+2\ne 2$; D sai vì giới hạn bằng 4 chứ không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tại x=1: f(1)=sinπ=0, còn lim_{x→1⁺} f(x)=lim (x+1)=2≠0 nên hàm gián đoạn tại x=1. Xét tại x=-1: f(-1)=sin(-π)=0, lim_{x→-1⁻} f(x)=lim (x+1)=0=f(-1), và lim_{x→-1⁺} f(x)=sin(-π)=0, nên hàm liên tục tại x=-1. Trên các khoảng không chứa ±1, hàm là sinπx hoặc x+1 đều liên tục. a) Sai vì hàm gián đoạn tại x=1. b) Đúng: trên (-∞;-1) hàm là x+1, trên (-1;+∞) gồm sinπx trên (-1;1) và x+1 trên (1;+∞), đều liên tục (điểm gián đoạn x=1 không thuộc khoảng mở... thực ra x=1 thuộc (-1;+∞) nhưng liên tục trên khoảng chỉ yêu cầu liên tục tại mọi điểm của khoảng; tại x=1 hàm gián đoạn nên cần kiểm tra lại: khoảng (-1;+∞) chứa x=1 nơi hàm gián đoạn, do đó mệnh đề b phải xét kỹ). Thực chất: hàm gián đoạn tại x=1 nên KHÔNG liên tục trên khoảng (-1;+∞). Vậy b) Sai. c) Đúng: trên (-∞;1) hàm liên tục (gồm x+1 trên (-∞;-1), sinπx trên [-1;1), liên tục tại -1), trên (1;+∞) hàm là x+1 liên tục. d) Sai vì hàm chỉ gián đoạn tại x=1, còn liên tục tại x=-1.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm gián đoạn tại x=1 vì f(1)=sinπ=0 nhưng lim_{x→1⁺} f(x)=2≠0, nên không liên tục trên ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng (-1;+∞) chứa x=1 nơi hàm gián đoạn (lim_{x→1⁺} f(x)=2≠f(1)=0), nên hàm không liên tục trên khoảng (-1;+∞).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;1): x+1 liên tục trên (-∞;-1), sinπx liên tục trên [-1;1), tại x=-1: lim_{x→-1⁻}(x+1)=0=f(-1)=sin(-π) nên liên tục. Trên (1;+∞): hàm là x+1, liên tục.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ gián đoạn tại x=1; tại x=-1 ta có lim_{x→-1⁻} f(x)=lim_{x→-1⁺} f(x)=f(-1)=0 nên liên tục tại x=-1.

(AI giải đề cho tôi)
a) $g(x)=\frac{2}{x-1}$ xác định tại $x=2$ với $g(2)=2$, và $\underset{x\to 2}{\lim }g(x)=\frac{2}{2-1}=2=g(2)$, nên $g$ liên tục tại $x_0=2$. Đúng.
b) Với $x\ne 2$: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$. Đúng.
c) Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4\ne 4,5=f(2)$ nên $f$ gián đoạn tại $x_0=2$. Sai.
d) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{4}{2}=2$ trong khi $\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{4,5}{2}=2,25\ne 2$, nên $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ gián đoạn tại $x_0=2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$g(2)=2=\underset{x\to 2}{\lim }g(x)$ nên $g$ liên tục tại $x_0=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4\ne 4,5=f(2)$ nên $f$ gián đoạn tại $x_0=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{4}{2}=2$ trong khi $\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{4,5}{2}=2,25\ne 2$, nên $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ gián đoạn tại $x_0=2$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: Xét tính liên tục trên tập xác định.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, tập xác định $D=\mathbb{R}$. Hàm đa thức liên tục trên toàn trục thực, nên $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$. Trên $D$, hàm là thương của hai hàm liên tục với mẫu khác 0, nên $f$ liên tục trên mọi khoảng của $D$, tức liên tục trên tập xác định của nó (điểm $x=0$ và $x=3$ không thuộc tập xác định nên không cần xét).

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Trên $D$, tử số $\sin x+1$ liên tục và mẫu $x+1\ne 0$, nên $f$ liên tục trên tập xác định của nó. (Tại $x=-1$ không thuộc tập xác định; lưu ý ${\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}=\cos (-1)\approx 0,54$ tồn tại nhưng hàm không xác định tại đó.)

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$, tập xác định $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục với $u\ge 0$ và $x-2$ liên tục, nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$: với mọi $x_0>2$ do hàm căn liên tục tại điểm dương; tại $x_0=2$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, nên liên tục phải tại $x=2$. Vậy $f$ liên tục trên tập xác định $[2;+\infty )$.

Kết luận: cả bốn hàm số đều liên tục trên tập xác định của chúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{x}{2}& \text{khi }x\le 1\\ \frac{x^2-3x+2}{x^2-1}& \text{khi }x>1\end{array}$.

Trên $(-\infty ;1]$, $f(x)=-\frac{x}{2}$ là hàm đa thức nên liên tục. Trên $(1;+\infty )$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$ (với $x>1$ nên $x\ne 1$, mẫu khác 0) là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên $(1;+\infty )$.

Chỉ cần xét tại $x=1$:
- $f(1)=-\frac{1}{2}$.
- Giới hạn trái: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{2}$.
- Giới hạn phải: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x+1}=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}$.

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên hàm số liên tục tại $x=1$.

Kết luận: Hàm số liên tục trên tập xác định $\mathbb{R}$ (nói riêng liên tục tại $x=1$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2& \text{neˆˊu }x\le 1\\ mx+1& \text{neˆˊu }x>1\end{array}$.

Ta có:
- $f(1)=1^2+2=3$.
- Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(x^2+2)=3$.
- Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(mx+1)=m+1$.

Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức là $m+1=3\Rightarrow m=2$.

Vậy $m=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty ;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty )$ với mọi $a,b$. Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, chỉ cần liên tục tại $x=1$ và $x=2$.

Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=3$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=a+b$, $f(1)=3$. Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $a+b=3$.

Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2a+b$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=5$, $f(2)=5$. Liên tục tại $x=2$ yêu cầu $2a+b=5$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}a+b=3\\ 2a+b=5\end{array}$, trừ hai phương trình ta được $a=2$, suy ra $b=1$.

Vậy $a=2,b=1$ khi đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ (khi đó $f(x)=2x+1$ trên $(1;2)$, và ${\lim }_{x\to 1}f(x)=3=f(1)$, ${\lim }_{x\to 2}f(x)=5=f(2)$).