Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=e^0=1=f(0)=m$, suy ra $m=1$ (a đúng).

Với $x<0$: $F(x)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$. Từ $F(-1)=\frac{1}{2e^2}$ ta được $\frac{1}{2}{e}^{-2}+C=\frac{1}{2}{e}^{-2}\Rightarrow C=0$, vậy $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}$ với $x<0$, không phải $\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{e^2}$ (b sai).

Do $F$ liên tục tại $0$: $F(0)=\frac{1}{2}{e}^0=\frac{1}{2}$. Với $x\ge 0$: $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+C^{\prime }$, và $C^{\prime }=F(0)=\frac{1}{2}$. Suy ra $F(1)=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2$, trong khi $\frac{4e^2-1}{2e^2}=2-\frac{1}{2e^2}\ne 2$ (c sai).

Với $x<0$: $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}>0$; với $x\ge 0$: $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2+x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+1{)}^2>0$. Vậy $F(x)>0$ với mọi $x$, đồ thị không có điểm chung với trục hoành (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
f liên tục tại x=0 nên m=f(0)=lim e^{2x}=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=½e^{2x}+C, F(-1)=½e^{-2} cho C=0, vậy F(x)=½e^{2x}, không có số hạng -1/e².
c) (AI giải đề cho tôi)
F(0)=½, với x≥0: F(x)=½x²+x+½, nên F(1)=2 ≠ (4e²−1)/(2e²)=2−1/(2e²).
d) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=½e^{2x}>0 với x<0 và F(x)=½(x+1)²>0 với x≥0, nên F không có nghiệm trên trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $T(t)=\{\begin{array}{ll}30+3t& 0\le t\le 60\\ 210-2t& 60<t\le 100\end{array}$.
a) Vì $60$ thuộc nhánh $0\le t\le 60$ nên $T(60)=30+3\cdot 60=210$. Khẳng định đúng.
b) Với $t\to 60^{+}$, $t$ thuộc nhánh $210-2t$ nên ${\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)=210-2\cdot 60=90$. Khẳng định đúng.
c) Với $t\to 60^{-}$, $t$ thuộc nhánh $30+3t$ nên ${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=30+3\cdot 60=210\ne 90$. Khẳng định sai.
d) Vì ${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=210\ne 90={\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)$, hàm số không liên tục tại $t=60$, do đó không liên tục trên $[0;100]$. Khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(60)=30+3\cdot 60=210$ (đúng).
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)=210-2\cdot 60=90$ (đúng).
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=30+3\cdot 60=210\ne 90$ (sai).
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái $210$ khác giới hạn phải $90$ tại $t=60$ nên hàm không liên tục trên $[0;100]$ (sai).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=1$. Ta có $f(1)=-1+2=1$. Để giới hạn trái tồn tại, tử số phải triệt tiêu tại $x=1$: $2(1{)}^3+a(1{)}^2+b(1)-1=0$, tức $a+b=-1$. Khi đó giới hạn trái bằng đạo hàm của tử số tại $x=1$ (quy tắc L'Hôpital hoặc chia đa thức): $6(1{)}^2+2a(1)+b=6+2a+b=1$, suy ra $2a+b=-5$. Trừ hai phương trình: $a=-4$, suy ra $b=3$. Vậy $a-b=-4-3=-7$. Kiểm tra: $2x^3-4x^2+3x-1$ chia cho $(x-1)$ được $2x^2-2x+1$, giới hạn trái tại $x=1$ bằng $2-2+1=1=f(1)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại $x=1$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x-4)=1-4=-3$; ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(m-2x)=m-2$; và $f(1)=m-2$. Điều kiện liên tục: $m-2=-3\Rightarrow m=-1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $T(t)=30+3t$ khi $0\le t\le 12$ và $T(t)=m-t$ khi $12<t\le 18$. Để hàm số liên tục tại $t=12$ thì giới hạn trái phải bằng giới hạn phải: ${\lim }_{t\to 12^{-}}T(t)=30+3\cdot 12=66$ và ${\lim }_{t\to 12^{+}}T(t)=m-12$. Suy ra $m-12=66\Rightarrow m=78$. Kiểm tra: tại $t=12$ nhiệt độ là $66^{\circ }C$, sau đó giảm $1^{\circ }C$ mỗi phút nên $T(t)=66-(t-12)=78-t$, khớp với dạng $m-t$ với $m=78$. Vậy $m=78$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{2x+1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3+x$ là đa thức, xác định và liên tục trên mọi $\mathbb{R}$. D) $y=\sqrt{x^2-4}$ chỉ xác định khi $x^2-4\ge 0$, tức $|x|\ge 2$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ là $y=x^3+x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=m$. Với $x\ne 1$, $f(x)=x+2$ nên $\underset{x\to 1}{\lim }(x+2)=1+2=3$. Vậy $m=3$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ (ý b Đúng). Với $x\le 1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$ (ý d Sai vì đề nói $-a+1$). Hàm liên tục tại $x=1$ khi $a+1=2\iff a=1$ (ý a Đúng). Do đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ khi $a=1$, không đúng với mọi $a$ (ý c Sai). Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1106: Đ, Đ, S, S.
a) Liên tục tại $x=1$ yêu cầu ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức $a+1=2\iff a=1$. Đúng.
b) Với $x>1$, $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$. Đúng.
c) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1=2$, tức $a=1$; không đúng với mọi $a\in \mathbb{R}$. Sai.
d) Với $x\le 1$, $f(x)=ax+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$, không phải $-a+1$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Với $x\le 1$, $f(x)=ax+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+1$, do đó ý a) Sai (không phải $-a+1$). Với $x>1$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ (ý d) Đúng). Hàm liên tục tại $x=1$ khi $a+1=2\iff a=1$ (ý b) Đúng). Khi đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ chỉ tồn tại khi $a=1$, không đúng với mọi $a$, nên ý c) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1105: S, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\le 1$ thì $f(x)=ax+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a\cdot 1+1=a+1\ne -a+1$ (trừ khi $a=0$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$ yêu cầu ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức $a+1=2\iff a=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái là $a+1$ phụ thuộc $a$; giới hạn hai bên chỉ bằng nhau (bằng 2) khi $a=1$, nên khẳng định đúng với mọi $a$ là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1+1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+b-5$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2a-3b$. Suy ra $a+b-5=2a-3b\Rightarrow a-4b=-5$. Vậy $P=-5$, khớp đáp án C (mã đề 1101, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+a)=2+a$ và $f(1)=4\cdot 1-2b=4-2b$. Suy ra $2+a=4-2b\iff a+2b=2$. Vậy $a+2b=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=4+a$. Vì mẫu số $x-1$ tiến về 0, để giới hạn hữu hạn thì tử số phải triệt tiêu tại $x=1$: $1-a+b=0\Rightarrow b=a-1$. Khi đó $x^2-ax+b=(x-1)(x+1-a)$, suy ra ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2-a$. Liên tục tại $x=1$: $2-a=4+a\Rightarrow a=-1$, $b=-2$. Vậy $P=a+2b=-1+2(-2)=-5$.

* $x^2+ax+b=0$ có nghiệm $x=-2$. Suy ra $-2a+b=-4\Rightarrow b=2a-4$.
* $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+ax+2a-4}{x^2-4}=1-\frac{a}{4}$
* $f(-2)=0$ nên $1-\frac{a}{4}=0\Rightarrow a=4$.
* $b=4$.
Vậy $a+2b=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đã liên tục trên $(a;b)$. Để liên tục trên $[a;b]$, cần và đủ hàm liên tục tại hai đầu mút: tại $a$ (chỉ xét giới hạn phải vì hàm chỉ xác định bên phải của $a$): $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a)$; tại $b$ (chỉ xét giới hạn trái): $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=f(b)$. Vậy đáp án là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì f liên tục trên [a;b] và f(a)f(b)>0 vẫn có thể có nghiệm trong (a;b) khi đồ thị chạm trục hoành (ví dụ f(x)=(x-c)^2 với c∈(a;b), f(a)f(b)>0 nhưng f(c)=0). B sai vì thiếu giả thiết f liên tục trên [a;b]; nếu f không liên tục thì f(a)f(b)<0 chưa đảm bảo có nghiệm. C đúng: f liên tục và tăng trên [a;b] nên với mọi x∈(a;b) có f(a)<f(x)<f(b) (hoặc f(a)>f(x)>f(b) nếu giảm, nhưng ở đây tăng). Vì f(a)f(b)>0 nên f(a), f(b) cùng dấu, do đó mọi giá trị f(x) nằm giữa f(a) và f(b) đều khác 0, tức f(x)=0 vô nghiệm trên (a;b). D sai vì nghiệm của phương trình không đòi hỏi hàm phải liên tục (hàm có thể gián đoạn nhưng vẫn có nghiệm). Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano): nếu $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a)\cdot f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(a;b)$. Do đó mệnh đề B đúng.

- A sai: $f(a)\cdot f(b)>0$ không loại trừ nghiệm, ví dụ $f(x)=x^2-1$ trên $[-2;3]$ có $f(-2)f(3)=3\cdot 8>0$ nhưng có nghiệm $x=1\in (-2;3)$.
- C sai: ví dụ $f(x)=x^2-1$ trên $[2;3]$ có $f(2)f(3)>0$ và không có nghiệm trong $(2;3)$.
- D sai: điều kiện $f(a)\cdot f(b)<0$ chỉ là điều kiện đủ, không cần; ví dụ $f(x)=(x-1{)}^2$ trên $[0;2]$ có nghiệm $x=1\in (0;2)$ nhưng $f(0)f(2)=1>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (trang 35): với $x<0$ đồ thị là parabol $y=x^2$ đi qua gốc $O$; với $x>0$ đồ thị là đường thẳng $y=x$ (đường nét đứt chỉ điểm $(1;1)$). Tại $x=0$: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=0$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0$ và $f(0)=0$ nên hàm số liên tục tại $x=0$. Xét đạo hàm một bên: $f_{-}{}^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}={\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{x^2}{x}=0$; $f_{+}{}^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x}=1$. Vì $f_{-}{}^{\prime }(0)\ne f_{+}{}^{\prime }(0)$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$ (đồ thị gãy góc tại gốc toạ độ). Vậy mệnh đề đúng là B: hàm số liên tục tại $x=0$ nhưng không có đạo hàm tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đồ thị tại $x=1$: Hình A là đồ thị dạng $y=|x-1|$, hai nhánh nối liền tại điểm $(1;1)$, hàm liên tục tại $x=1$. Hình B là parabol đi qua $(1;1)$, liên tục tại $x=1$. Hình C là đường thẳng đi qua $(1;1)$, liên tục tại $x=1$. Hình D: nhánh trái là đường thẳng giảm dần, khi $x\to 1^{-}$ giá trị tiến tới $1$ nhưng điểm tại $x=1$ bị bỏ trống (đồ thị đứt), còn nhánh phải là đường thẳng tăng dần bắt đầu từ giá trị âm gần $x=1$ và đi qua $(2;0)$. Như vậy giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$ khác nhau (đồ thị bị ngắt quãng — gián đoạn loại nhảy), nên hàm số không liên tục tại $x=1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano). Mệnh đề 1: hàm chỉ liên tục trên khoảng mở $(a;b)$, chưa liên tục trên đoạn đóng $[a;b]$, nên không thể kết luận tồn tại $x_0\in (a;b)$ với $f(x_0)=0$. Ví dụ phản ví dụ: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x=a\\ x-a-\frac{b-a}{2},& x\in (a;b)\\ 1,& x=b\end{array}$ liên tục trên $(a;b)$, có $f(a)f(b)=-1<0$ nhưng không có nghiệm trong $(a;b)$ nếu chọn sao cho giới hạn hai bên cùng dương (ví dụ $f(x)={\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$ trên $(a;b)$, $f(a)=-1$, $f(b)=1$ thì $f(a)f(b)<0$ nhưng $f(x)>0$ trên $(a;b)$). Vậy mệnh đề 1 SAI. Mệnh đề 2: hàm liên tục trên đoạn đóng $[a;b]$ và $f(a)f(b)<0$ thì theo định lý giá trị trung gian, tồn tại $x_0\in (a;b)\subset [a;b]$ với $f(x_0)=0$, tức phương trình $f(x)=0$ có nghiệm. Vậy mệnh đề 2 ĐÚNG. Mệnh đề 3: từ mệnh đề 2, phương trình có nghiệm; vì $f$ đơn điệu trên $[a;b]$ nên nghiệm không thể có hai giá trị phân biệt (nếu $x_1<x_2$ cùng là nghiệm thì $f(x_1)=f(x_2)=0$, mâu thuẫn với đơn điệu ngặt). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất, mệnh đề 3 ĐÚNG. Kết luận: có đúng một mệnh đề sai (mệnh đề 1), đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $y=\frac{1-x^3}{1-x}=\frac{(1-x)(1+x+x^2)}{1-x}=1+x+x^2$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=3$. Với $x\ge 1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=1=y(1)$. Vì giới hạn trái $3\ne y(1)=1$ nên hàm không liên tục trái tại $x=1$; vì giới hạn phải bằng $y(1)$ nên hàm liên tục phải tại $x=1$. Do đó hàm không liên tục tại $x=1$ và không liên tục trên $\mathbb{R}$. Kết luận đúng: $y$ liên tục phải tại $x=1$.