Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(-1)$.

Giới hạn trái: với $x<-1$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{x^3+x^2+4x+4}{x^2-1}$. Phân tử phân tích: $x^3+x^2+4x+4=x^2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x^2+4)$; mẫu $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Vậy giới hạn $={\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{x^2+4}{x-1}=\frac{1+4}{-1-1}=-\frac{5}{2}$.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{3x+a}{x+3}=\frac{-3+a}{2}$.

Liên tục tại $x=-1$ yêu cầu $\frac{a-3}{2}=-\frac{5}{2}\Rightarrow a-3=-5\Rightarrow a=-2$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: $a=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $T(x)$ liên tục: tại $x=1$: $a=15000$ (c đúng). Tại $x=20$: $b+(20-20)\cdot 12000=a+19\cdot 14000=15000+266000=281000$, nên $b=281000$. a) $T(1/3)=15000\ne 5000$ → Sai. b) $a/b=15000/281000=15/281\ne 15/266$ → Sai. c) Đúng. d) $T(5)=15000+4\cdot 14000=71000$ đồng → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<1/3\le 1$ nên $T(1/3)=15000\ne 5000$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=20$: $b=a+19\cdot 14000=281000$, nên $a/b=15000/281000=15/281\ne 15/266$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$: $a=15000$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T(5)=15000+(5-1)\cdot 14000=71000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ có mẫu bằng 0 tại $x=1$ nên không xác định (không liên tục) tại $x=1$. Các hàm còn lại: $y=\frac{-x^2+x+2}{x-2}$ xác định tại $x=1$ (mẫu $=-1\ne 0$); $y=\sqrt{x+1}$ xác định và liên tục tại $x=1$; $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (MD 1112, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $T(x)$ liên tục: tại $x=1$, giới hạn trái là $15000$, giới hạn phải là $a+(1-1)\cdot 14000=a$, suy ra $a=15000$ (ý c đúng). Tại $x=20$: $a+(20-1)\cdot 14000=b+(20-20)\cdot 12000$, nên $b=15000+19\cdot 14000=15000+266000=281000$. Do đó $\frac{b}{a}=\frac{281000}{15000}=\frac{281}{15}$ (ý a đúng). Với $0<x\le 1$ thì $T(x)=15000$, nên $T\left(\frac{1}{2}\right)=15000$ (ý b đúng). Với $x=10$: $T(10)=15000+(10-1)\cdot 14000=15000+126000=141000$ đồng $\ne 150000$ đồng (ý d sai). Khớp đáp án chính thức ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=20$: $b=a+19\cdot 14000=15000+266000=281000$, nên $\frac{b}{a}=\frac{281000}{15000}=\frac{281}{15}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\frac{1}{2}\le 1$ nên $T\left(\frac{1}{2}\right)=15000$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$: $a=15000$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T(10)=15000+9\cdot 14000=141000$ đồng, không phải $150000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính liên tục tại $x=2$ của từng hàm số:
- A: $y=\sqrt{x+2}$ liên tục trên $[-2;+\infty )$, do đó liên tục tại $x=2$.
- B: $y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}$, hàm số xác định tại $x=2$ (mẫu khác 0) và bằng $x-2$ tại đó, nên liên tục tại $x=2$.
- C: $y=\frac{x^2}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu bằng 0), nên không liên tục tại $x=2$.
- D: $y=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x=2$.
Vậy hàm số không liên tục tại $x=2$ là $y=\frac{x^2}{x-2}$, đáp án C, trùng với đáp án nguồn (MD 1111, Câu 2: C).

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty ;4)$ và $(4;+\infty )$. $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}\right)}{(x-4)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}\right)}=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}}=\frac{1}{6}$. $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{(a+2)x}{4}=a+2$. $f(4)=a+2$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ ta cần tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x=4$. Do đó: $a+2=\frac{1}{6}\iff a=-\frac{11}{6}$.

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty ;4)$ và $(4;+\infty )$. $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}\right)}{(x-4)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}\right)}=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}}=\frac{1}{6}$. $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{(a+2)x}{4}=a+2$. $f(4)=a+2$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ ta cần tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x=4$. Do đó: $a+2=\frac{1}{6}\iff a=-\frac{11}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-1$: $f(-1)=2025(-1)+2026=1$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}={\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2}{\sqrt{3+2x}+1}\cdot \frac{x+1}{x+1}=\frac{2}{2}=1$ (nhân liên hợp). Vậy hàm số liên tục tại $x=-1$, mệnh đề A đúng. Với $x>-1$, hàm $\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}$ liên tục trên $(-1;+\infty )$ vì mẫu $x+1\ne 0$, nên hàm liên tục tại $x=0$ và $x=1$: mệnh đề B sai, D đúng. Với $x\le -1$, hàm bậc nhất $2025x+2026$ liên tục, nên liên tục tại $x=-5$: C đúng. Mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề. Với $x>-1$, $f(x)=\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}$ liên tục trên $(-1,\infty )$ (mẫu khác 0), nên hàm liên tục tại $x=1$ và $x=0$; do đó A đúng, C sai. Với $x\le -1$, $f(x)=2025x+2026$ là hàm đa thức liên tục, nên liên tục tại $x=-5$; B đúng. Tại $x=-1$: giới hạn trái $f(-1^{-})=2025(-1)+2026=1$; giới hạn phải ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}={\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2}{\sqrt{3+2x}+1}=\frac{2}{\sqrt{1}+1}=1$ (nhân liên hợp). Vì $f(-1)=2025(-1)+2026=1$ bằng hai giới hạn nên hàm liên tục tại $x=-1$; D đúng. Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x=6>3: f(6)=(√(6−2)−1)/(6−3)=(2−1)/3=1/3, không phải −1/3 → Sai.
b) Với x→2 (x≤3): lim f(x)=2k+13/2, phụ thuộc k và không bằng 1 → Sai.
c) lim_{x→3+}(√(x−2)−1)/(x−3): nhân liên hợp, (√(x−2)−1)/(x−3)=1/(√(x−2)+1)→1/(1+1)=1/2. Phân số tối giản m/n=1/2 nên 3m+n²=3·1+2²=7 → Đúng.
d) Liên tục tại x=3 yêu cầu 3k+13/2=1/2 ⇒ 3k=−6 ⇒ k=−2, không phải k=2 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(6)=(√4−1)/3=1/3≠−1/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→2}f(x)=2k+13/2, không xác định bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→3+}f(x)=1/(√(x−2)+1)|_{x=3}=1/2, nên 3·1+2²=7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần 3k+13/2=1/2 ⇒ k=−2, không phải k=2.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x=11>4: f(11)=(√16−3)/(11−4)=(4−3)/7=1/7 → Đúng.
b) Với x→−1 (x≤4): lim f(x)=k·(−1)+25/6=−k+25/6. Với k=−1 (giá trị làm hàm liên tục) ta được 31/6≠1/5 → Sai.
c) lim_{x→4+}(√(x+5)−3)/(x−4)=lim 1/(√(x+5)+3)=1/6. Vậy m=1, n=6, 2m+n=8≠13 → Sai.
d) Liên tục tại x=4 yêu cầu 4k+25/6=1/6 ⇒ 4k=−4 ⇒ k=−1 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(11)=(√16−3)/7=1/7.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→−1}f(x)=−k+25/6=31/6 (k=−1) ≠ 1/5.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→4+}f(x)=1/6 nên 2m+n=8≠13.
d) (AI giải đề cho tôi)
4k+25/6=1/6 ⇒ k=−1.

Chọn A. Hàm số $v(t)$ liên tục trên đoạn $[0;10]$ nên hàm số liên tục tại $t=5$. Suy ra ${\lim }_{x\to 5^{+}}v(t)={\lim }_{x\to 5^{-}}v(t)=v(5)\iff {\lim }_{x\to 5^{+}}(at-3)={\lim }_{x\to 5^{-}}\left(-t^2+4t+12\right)=7$ $\iff 5a-3=-5^2+4.5+12\iff a=2$.

Khi đó $v(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+4t+12& \text{khi }0\le t\le 5\\ 2t-3& \text{khi }5<t\le 10\end{array}$.

Vật đạt vận tốc $10m/s$ nên ta có $v(t)=10\iff \left[\begin{array}{c}-t^2+4t+12=10(0\le t\le 5)\\ 2t-3=10(5<t<10)\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}t=2+\sqrt{6}\\ t=\frac{13}{2}\end{array}\right]$.

Như vậy ta có $t_1=2+\sqrt{6}$ và $t_2=\frac{13}{2}$, suy ra $t_1+t_2=\frac{17}{2}+\sqrt{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{|x+1|}$ xác định khi $|x+1|\ne 0$, tức $x\ne -1$. Trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, hàm số là hàm phân thức hữu tỉ với mẫu khác 0 nên liên tục. Tại $x=-1$ hàm không xác định nên không liên tục tại đó. Do đó hàm số liên tục trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát đồ thị: tại $x=2$, nhánh bên trái tiến tới giới hạn bằng $3$ (đường nét đứt ứng với $y=3$), còn giá trị của hàm số tại $x=2$ (điểm được vẽ) bằng $1$. Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=3\ne f(2)=1$, hàm số gián đoạn tại điểm có hoành độ $x=2$. Tại $x=0,1,3$ đồ thị liền mạch, không gián đoạn. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<2$: $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{3-x}-1}$ liên tục trên $(-1;1)$ vì mẫu số $\sqrt{3-x}-1\ne 0$ khi $x<2$ (do $\sqrt{3-x}>1$). Do đó A sai. Tại $x=2$: nhân liên hợp $\frac{x-2}{\sqrt{3-x}-1}=\frac{(x-2)(\sqrt{3-x}+1)}{(3-x)-1}=-(\sqrt{3-x}+1)$, nên ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-(1+1)=-2=f(2)$; hàm liên tục tại $x=2$, nên B sai. Với $x\ge 2$: $f(x)=-x$ liên tục, và trên $(3;5)$ hàm $-x$ liên tục nên D sai. Vậy $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, trước hết xét giới hạn tại vô cực. Với $x\to +\infty$: $\lim f(x)=\lim \frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=1$. Với $x\to -\infty$, để $\sqrt{4x^2-cx+9}+dx$ có giới hạn hữu hạn thì $d=2$ (vì $\sqrt{4x^2-cx+9}\sim -2x$ khi $x\to -\infty$). Khi đó khai triển: $\sqrt{4x^2-cx+9}=-2x\sqrt{1-\frac{c}{4x}+\frac{9}{4x^2}}\approx -2x+\frac{c}{4}$, nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\frac{c}{4}$. Điều kiện đề bài: $\frac{c}{4}+1=\frac{7}{4}\Rightarrow c=3$. Liên tục tại $x=3$: nhánh $x>3$ phải có tử số triệt tiêu tại $x=3$: $9+3a+b=0\Rightarrow b=-9-3a$. Giới hạn bên phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=\frac{2\cdot 3+a}{2\cdot 3}=\frac{6+a}{6}$ (quy tắc L'Hôpital hoặc rút nhân tử). Giới hạn bên trái: $f(3)=\sqrt{36-3c+9}+3d=\sqrt{45-9}+6=6+6=12$. Suy ra $\frac{6+a}{6}=12\Rightarrow a=66$, và $b=-9-3\cdot 66=-207$. Vậy $a+b+c+d=66-207+3+2=-136$, khớp với đáp án $-136$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x=2$: A) $y=x-2$ là hàm đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{x-2}{x}$ xác định tại $x=2$ (mẫu $x\ne 0$), nên liên tục tại $x=2$. C) $y=\frac{x-3}{x^2+2}$ có mẫu $x^2+2>0$ với mọi $x$, xác định và liên tục tại $x=2$. D) $y=\frac{x-3}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ vì mẫu bằng $0$, nên gián đoạn tại $x=2$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 212, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-9},& x>3\\ \sqrt{4x^2-cx+9}+dx,& x\le 3\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

**Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$:** $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=1$.

**Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$:** Với $x\to -\infty$, đặt $x=-t$, $t\to +\infty$:
$$\sqrt{4x^2-cx+9}=\sqrt{4t^2+ct+9}=2t\sqrt{1+\frac{c}{4t}+\frac{9}{4t^2}}=2t+\frac{c}{4}+o(1)=-2x+\frac{c}{4}+o(1).$$
Do đó $\sqrt{4x^2-cx+9}+dx=(d-2)x+\frac{c}{4}+o(1)$. Để giới hạn này hữu hạn (để tổng hai giới hạn bằng $\frac{7}{4}$) thì phải có $d=2$, khi đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\frac{c}{4}$.

Điều kiện đã cho: $\frac{c}{4}+1=\frac{7}{4}\Rightarrow c=3$. Vậy $d=2$, $c=3$.

**Liên tục tại $x=3$:** Giá trị trái: $f(3)=\sqrt{36-9+9}+3\cdot 2=6+6=12$.

Giá trị phải: hàm số liên tục tại $x=3$ (bên phải) đòi hỏi $x=3$ là nghiệm của tử số $x^2+ax+b$, tức $9+3a+b=0$, và
$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+a}{2x}=\frac{6+a}{6}.$$

Liên tục tại $x=3$: $\frac{6+a}{6}=12\Rightarrow a=66$; suy ra $b=-9-3a=-9-198=-207$.

**Tổng:** $a+b+c+d=66+(-207)+3+2=-136$.

Kiểm tra lại: với $a=66,b=-207$: $x^2+66x-207=(x-3)(x+69)$, nên $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=\frac{x+69}{x+9}{|}_{x=3}=\frac{72}{12}=6$... xét lại: $\frac{(x-3)(x+69)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+69}{x+3}\to \frac{72}{6}=12$. ✓. Tổng hai giới hạn: $\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$. ✓.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $a+b+c+d=-136$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-3}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu bằng 0), nên gián đoạn tại $x=2$. Các hàm còn lại: $y=x-2$ liên tục; $y=\frac{x-2}{x}$ xác định tại $x=2$; $y=\frac{x-3}{x^2+2}$ xác định tại $x=2$ vì $x^2+2=6\ne 0$. Khớp đáp án nguồn: C.