Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Với $x=2>0$, $f(x)=x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=2$.
b) Sai. Vì $0\ge 0$ nên $f(0)=0^2+1=1\ne 2$.
c) Sai. Với $x\to 0^{+}$ (x dương) thì $f(x)=x^2+1$, do đó ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1\ne -1$ (giá trị $-1$ là giới hạn bên trái ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=2\cdot 0-1=-1$).
d) Đúng. Vì ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1\ne -1={\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)$, giới hạn trái khác giới hạn phải nên $f$ gián đoạn tại $x=0$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 209: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=2>0$, $f(x)=x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\ge 0$ nên $f(0)=0^2+1=1\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 0^{+}$ thì $f(x)=x^2+1$ nên ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1\ne -1={\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)$ nên $f$ gián đoạn tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Với $x=2>0$, $f(x)=x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=2$. b) Sai. Vì $0\ge 0$ nên $f(0)=0^2+1=1\ne 2$. c) Sai. Khi $x\to 0^{+}$ thì $x\ge 0$ nên ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+1)=1\ne -1$. d) Đúng. Ta có ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(2x-1)=-1$ còn ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$ và $f(0)=1$. Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ nên hàm số gián đoạn tại $x=0$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 132: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=2>0$, $f(x)=x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\ge 0$ nên $f(0)=0^2+1=1\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+1)=1\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-1\ne {\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$ nên hàm số gián đoạn tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x+2}$ xác định khi $x+2\ne 0$, tức $x\ne -2$. Tại $x=-2$ hàm số không xác định nên gián đoạn tại đó. Các điểm $x=1,0,2$ đều thuộc tập xác định và hàm số liên tục tại các điểm này (hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó). Vậy hàm số gián đoạn tại $x=-2$, đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. $y=\sqrt{x-3}$ chỉ xác định với $x\ge 3$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. $y=\cos x$ xác định và liên tục trên toàn tập $\mathbb{R}$. $y=\frac{x-1}{x+2}$ không xác định tại $x=-2$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ là $y=\cos x$, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x-2}$ xác định khi $x-2\ne 0$, tức $x\ne 2$. Tại $x=2$, mẫu số bằng 0 nên hàm số không xác định, do đó hàm số gián đoạn tại $x=2$. Khớp với đáp án đề 101: Câu 11 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\tan x$ gián đoạn tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $y=\sqrt{x-1}$ chỉ xác định với $x\ge 1$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{x-1}{x-3}$ gián đoạn tại $x=3$. Hàm $y=\sin x$ xác định và liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $x=2\le 2$ nên $f(2)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$: đúng.
b) ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2}{\sqrt{2x+5}+3}=\frac{2}{3+3}=\frac{1}{3}\ne \frac{33}{100}$: sai.
c) ${\lim }_{x\to 2^{-}}\left(1-\frac{x}{3}\right)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$: đúng.
d) Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)=\frac{1}{3}$ nên hàm số liên tục tại $x=2$, không gián đoạn: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2}{\sqrt{2x+5}+3}=\frac{1}{3}\ne \frac{33}{100}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{-}}\left(1-\frac{x}{3}\right)=\frac{1}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các giới hạn trái, phải đều bằng $f(2)=\frac{1}{3}$ nên hàm liên tục tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x_0=3$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(3)$.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-2}{2x-6}$. Nhân liên hợp: $\sqrt{x+1}-2=\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}$, nên giới hạn bằng ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x-3}{2(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{2(2+2)}=\frac{1}{8}$.

Giới hạn trái và giá trị tại $x=3$: $f(3)=\frac{m}{4}-\frac{3}{2}$.

Để hàm liên tục tại $x=3$: $\frac{m}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{m}{4}=\frac{13}{8}\Rightarrow m=\frac{13}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đồ thị trên khoảng $(0;3)$:
- Hình A: đồ thị gồm các nét liền liên tục, không bị đứt hay nhảy tại bất kỳ điểm nào trong $(0;3)$ (nét cong liên tục từ gần $x=0$ đến $x=3$), nên hàm số liên tục trên $(0;3)$.
- Hình B: tại $x=1$ đồ thị bị đứt, nhảy từ giá trị khoảng $3$ xuống $1,5$, nên không liên tục trên $(0;3)$.
- Hình C: tại $x=1$ đồ thị bị đứt (đoạn hằng bằng $2$ không nối với hai nhánh còn lại), không liên tục trên $(0;3)$.
- Hình D: tại $x=2$ đồ thị bị đứt, nhảy từ giá trị $2$ lên $3$, không liên tục trên $(0;3)$.
Vậy đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng $(0;3)$ là hình A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=3$ khi $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=m+2$. Với $x\ne 3$: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(x+1)-4}=\underset{x\to 3}{\lim }(\sqrt{x+1}+2)=\sqrt{4}+2=4$. Do đó $m+2=4\Rightarrow m=2$. Chọn C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$ và $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}\frac{2x+1}{x^2+2x+4}=\frac{5}{12}$... kiểm tra lại: $\frac{2\cdot 2+1}{4+4+4}=\frac{5}{12}$? Thực hiện đúng: $\frac{2(2)+1}{2^2+2(2)+4}=\frac{5}{12}$. Tuy nhiên tính lại: ${\lim }_{x\to 2}\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2(2)+1}{4+4+4}=\frac{5}{12}$. Vậy giới hạn bằng $\frac{5}{12}$, còn $f(2)=2+2025=2027$. Vì ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{5}{12}\ne 2027=f(2)$, hàm số không liên tục tại $x=2$. Tại các điểm $x\ne 2$ hàm số là hàm phân thức liên tục (mẫu $x^3-8=0$ chỉ tại $x=2$), nên hàm liên tục tại $x=-2$, $x=1$. Do đó mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên không xác định tại $x_0=-1$, tức gián đoạn tại đó. Các hàm còn lại: A và D là đa thức/phân thức với mẫu $x^2+1\ne 0$ luôn xác định tại $x=-1$; C có mẫu $x-1\ne 0$ tại $x=-1$ nên liên tục. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-\infty ;2)$ hàm số liên tục (nhánh parabol), trên $(2;+\infty )$ hàm liên tục (nhánh hằng). Tại $x=2$, đồ thị có điểm chấm trống (giá trị bên trái tiến tới nhưng không đạt) và nhánh bên phải bắt đầu ở mức thấp hơn, tức tồn tại bước nhảy: giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=2$ khác nhau nên $f$ không liên tục tại $x=2$. Tại $x=-1$, $x=0$ (điểm (0,3) được vẽ chấm đầy) và $x=3$ đồ thị liên tục. Vậy đáp án là $x=2$, khớp với đáp án nguồn B.

a) Với $0<x\le 600$. Ta có: giá mỗi kg đá là $\frac{P(x)}{x}=\frac{5x}{x}=5$ (nghìn đồng). Nửa tấn bằng 500 kg. Vì $0<500<600$ nên ta có giá mỗi kg đá là 5 nghìn đồng. b) Để hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ thì hàm số phải liên tục tại $x_0=600$ hay $\underset{x\to 600}{\lim }P(x)=P(600)$. Ta có: $\underset{x\to 600^{-}}{\lim }P(x)=\underset{x\to 600^{-}}{\lim }5x=5\cdot 600=3000$; $\underset{x\to 600^{+}}{\lim }P(x)=\underset{x\to 600^{+}}{\lim }(4,5x+a)=4,5\cdot 600+a=2700+a$. Để tồn tại $\underset{x\to 600}{\lim }P(x)$ thì $3000=2700+a$. Suy ra $a=300$. Khi đó mua một tấn đá thạch anh bằng 1000 kg thì mỗi kg đá thạch anh có giá: $\frac{P(1000)}{1000}=\frac{4,5\cdot 1000+300}{1000}=4,8$ (nghìn đồng).

a) Với $0<x\le 600$. Ta có: giá mỗi kg đá là $\frac{P(x)}{x}=\frac{5x}{x}=5$ (nghìn đồng). Nửa tấn bằng 500 kg. Vì $0<500<600$ nên ta có giá mỗi kg đá là 5 nghìn đồng. b) Để hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ thì hàm số phải liên tục tại $x_0=600$ hay $\underset{x\to 600}{\lim }P(x)=P(600)$. Ta có: $\underset{x\to 600^{-}}{\lim }P(x)=\underset{x\to 600^{-}}{\lim }5x=5.600=3000$; $\underset{x\to 600^{+}}{\lim }P(x)=\underset{x\to 600^{+}}{\lim }(4,5x+a)=4,5.600+=2700+a$. Để tồn tại $\underset{x\to 600}{\lim }P(x)$ thì $3000=2700+a$. Suy ra $a=300$. Khi đó mua một tấn đá thạch anh bằng 1000 kg thì mỗi kg đá thạch anh có giá: $\frac{P(1000)}{1000}=\frac{4,5.1000+300}{1000}=4,8$ (Nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
a) $g(x)=x^2-3x+1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x_0=1$ → Sai. b) Với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x-1}$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$, trong khi $f(1)=-\frac{1}{2}$; giới hạn bên phải không tồn tại (hữu hạn) nên $f$ gián đoạn tại $x_0=1$ → Sai. c) Vì $f$ gián đoạn tại $x_0=1$ và $g$ liên tục tại đó, tổng $y=f(x)-g(x)$ cũng gián đoạn tại $x_0=1$ (cùng lập luận: ${\lim }_{x\to 1^{+}}(f(x)-g(x))=-\infty$) → Đúng. d) Theo định nghĩa, $f(1)=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, đặc biệt liên tục tại $x_0=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x-1}$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty \ne f(1)=-\frac{1}{2}$; $f$ gián đoạn tại $x_0=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ gián đoạn tại $x_0=1$ (giới hạn phải $-\infty$) còn $g$ liên tục, nên $y=f(x)-g(x)$ cũng gián đoạn tại $x_0=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hàm số, $f(1)=-\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên R nên liên tục tại x=4. Giá trị bên trái: f(4)=4m+1. Giới hạn bên phải: lim_{x→4+} (x²−16)/(x−4)=lim_{x→4+}(x+4)=8. Do đó 4m+1=8 ⟹ m=7/4, với a=7, b=4 (phân số tối giản). Vậy 2a+b=2·7+4=18.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x}{x+2}$ có mẫu số $x+2=0$ tại $x=-2$, nên không xác định tại $x=-2$ và do đó không liên tục trên $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại: $y=x^2-3x+2$ là đa thức (liên tục trên $\mathbb{R}$), $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, và $y=\frac{2x}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=-2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to -2}f(x)=f(-2)=m$. Với $x\ne -2$: $f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$. Do đó ${\lim }_{x\to -2}f(x)=-2-2=-4$. Vậy $m=-4$, chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 7115: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi $f(1)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$. Ta có $f(1)=\frac{4+a}{2}$. Với $x>1$: $\frac{x^3-x^2+3x-3}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+3)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+3}{x+1}$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{1+3}{2}=2$. Do đó $\frac{4+a}{2}=2\Rightarrow a=0$. Kết quả khớp với đáp án 0 ở Phần 3 Câu 2, Mã đề 316 (trang 6); nhãn 'Phần III Câu 1' chỉ là vấn đề đánh số nguồn, không ảnh hưởng kết quả toán học.