Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)$ liên tục tại $x=1$ nên theo định nghĩa tính liên tục: ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Vì ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2026$ nên $f(1)=2026$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại không liên tục trên $\mathbb{R}$: $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$; $y=\frac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$; $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=-2$ khi và chỉ khi $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=f(-2)=m$. Với $x\ne -2$: $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$, nên $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2+5x+2}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }(2x+1)=2(-2)+1=-3$. Vậy $m=-3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Phần III Câu 1: $-3$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{2x-1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3-x$ là đa thức, liên tục trên mọi $\mathbb{R}$. D) $y=\sqrt{x^2-1}$ chỉ xác định khi $x^2-1\ge 0$ tức $|x|\ge 1$, không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ là $y=x^3-x$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ có mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên hàm số không xác định tại $x=-1$ và không liên tục trên $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại: $y=x^2+6x+20$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{x}{x^2+x+2}$ có $x^2+x+2>0$ với mọi $x$ (vì $\Delta =1-8<0$) nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với mã đề 1101: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)$, nên ${\lim }_{x\to 2}\frac{2x^2-3x-2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(2x+1)=5$. Vậy $m=5$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 3 = 5).

Nguồn HD chấm (trang 15) chỉ đưa lời giải chi tiết cho mã 1101 (dạng tương tự với $x_0=3$): Ta có $f(3)=6$; ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$; vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x_0=3$. Thang điểm: 0,25 cho $f(x_0)$, 0,25 cho giới hạn, 0,25 cho kết luận (tổng 0,5đ cho câu này theo bảng điểm). Cột mã 1104 ở trang 14 chỉ lặp lại đề bài (giống hệt đề của câu này) mà không có lời giải riêng; do đó lời giải cho mã 1104 không được in đầy đủ trong nguồn, chỉ có thể suy ra tương tự theo cách giải mã 1101 ở trên.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên phương trình $x^2+1=0$ vô nghiệm trên tập số thực. Do đó hàm số xác định và liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 2: D).

Nguồn HD chấm (trang 14–15) chỉ đưa lời giải chi tiết cho mã 1101 (cùng dạng, tại $x_0=3$); cột mã 1103 để trống và ghi các mã khác làm tương tự. Lời giải mẫu theo nguồn (mã 1101): Ta có $f(3)=6$. ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$. Vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x_0=3$. Áp dụng cùng phương pháp cho mã 1103 (bài đã cho): $f(5)=2\cdot 5=10$; ${\lim }_{x\to 5}f(x)={\lim }_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}={\lim }_{x\to 5}(x+5)=10$. Vì ${\lim }_{x\to 5}f(x)=f(5)=10$ nên hàm số liên tục tại $x_0=5$. (Phần áp dụng cho 1103 là suy ra trực tiếp từ phương pháp nguồn; nguồn không in riêng lời giải chi tiết cho mã 1103.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số xác định và liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án của đề (mã đề 1103, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó, do đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102).

Nguồn HD chấm (trang 14-15) chỉ đưa lời giải chi tiết cho mã 1101 (câu tương tự với $x_0=3$); cột mã 1102 (chính là đề này) không có lời giải riêng. Lời giải chi tiết của nguồn cho mã 1101: Ta có $f(3)=6$; ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$; vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x_0=3$. Áp dụng cùng cách giải cho đề này (mã 1102): $f(4)=2\cdot 4=8$; ${\lim }_{x\to 4}f(x)={\lim }_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4}={\lim }_{x\to 4}(x+4)=8$; vì ${\lim }_{x\to 4}f(x)=f(4)=8$ nên hàm số liên tục tại $x_0=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên mọi điểm trong tập xác định của nó, do đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, các mã đề 1101–1103 đều là A).

Ta có: $f(3)=6$. ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$. Vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x_0=3$.

Hàm số $y=x^3-x$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Chọn đáp án (B).

a) Với $x=2$ thì ta có $f(2)=2m+1$. b) Khi $x\ne 2$ thì ta có hàm số $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x-2}$. c) Ta có ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-x-2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x+1)=3$. d) Ta có $f(2)=2m+1$ và ${\lim }_{x\to 2}f(x)=3$. Hàm số liên tục trên $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)\iff 3=2m+1\iff m=1$. Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c đúng | d sai]. (Lưu ý: kết luận tổng hợp của nguồn ghi "a đúng" trong khi lập luận a) cho $f(2)=2m+1\ne 2m-1$; giữ nguyên theo nguồn.)
a) Với $x=2$ thì ta có $f(2)=2m+1$.
b) Khi $x\ne 2$ thì ta có hàm số $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x-2}$ (lời giải gốc ghi $x^2-x-6$, có thể là lỗi chính tả trong tài liệu gốc so với đề bài $x^2-x-2$; giữ nguyên theo nguồn).
c) Ta có ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-x-2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x+1)=3$.
d) Ta có $f(2)=2m+1$ và ${\lim }_{x\to 2}f(x)=3$. Hàm số liên tục trên $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)\iff 3=2m+1\iff m=1$.

TXD: $D=\mathbb{R}$

$f(0)=1$; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x^2+1)=1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{m^{2}x+4}-2}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{m^{2}x}{x\left(\sqrt{m^{2}x+4}+2\right)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{m^2}{\sqrt{m^{2}x+4}+2}=\frac{m^2}{4}$

Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0$ thì $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=f(0)$

$\Rightarrow \frac{m^2}{4}=1$. Vậy $m=\pm 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tại $x=1$, mẫu số bằng 0 nên hàm số không xác định, do đó hàm số gián đoạn tại $x=1$. Tại $x=3,2,-1$ hàm số xác định và liên tục (hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định). Vậy kết luận đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 10: A).

Câu 2 (1 điểm):
$f(-3)=5$ (0.25)
${\lim }_{x\to -3}f(x)={\lim }_{x\to -3}\frac{x^2+x-6}{x+3}={\lim }_{x\to -3}\frac{(x+3)(x-2)}{x+3}$ (0.25)
$={\lim }_{x\to -3}(x-2)=-5$ (0.25)
${\lim }_{x\to -3}f(x)\ne f(-3)$ (0.125)
Vậy hàm số không liên tục tại $x_0=-3$ (0.125)

Câu 2 (1 điểm):
$f(-2)=5$ — 0.25
${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-x-6}{x+2}={\lim }_{x\to -2}\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}$ — 0.25
$={\lim }_{x\to -2}(x-3)=-5$ — 0.25
${\lim }_{x\to -2}f(x)\ne f(-2)$
Vậy hàm số không liên tục tại $x_0=-2$ — 0.125 + 0.125