Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\sqrt{x}$ chỉ xác định trên $[0;+\infty )$ nên không liên tục trên $(-\infty ;+\infty )$. $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. $y=\frac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. $y=\cos x$ xác định và liên tục trên mọi số thực. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-5x+4}{x-1}& x<1\\ 3x-6& x\ge 1\end{array}$.

a) Với $x=1$ thì dùng nhánh $x\ge 1$: $f(1)=3(1)-6=-3$. Đúng.

b) Với $x<1$: $\frac{x^2-5x+4}{x-1}=\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=x-4$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1-4=-3$. Đúng.

c) Ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-3$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=3(1)-6=-3=f(1)$, nên hàm số liên tục tại $x_0=1$. Khẳng định 'gián đoạn tại $x_0=1$' là Sai.

d) ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(3x-6)-(-3)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{3x-3}{x-1}=3\ne 1$. Sai.

Kết quả a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai, khớp với đáp án nguồn (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ dùng nhánh $x\ge 1$: $f(1)=3(1)-6=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=x-4$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=-3$ nên hàm số liên tục tại $x_0=1$, không gián đoạn.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{3x-3}{x-1}=3\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=2$: $\sqrt[3]{2-29}=\sqrt[3]{-27}=-3$, $\sqrt{4\cdot 2+1}=3$ nên tử số bằng $0$, mẫu số cũng bằng $0$ (vì $(x-2)(x^2+3x+9)=x^3-27$). Đặt $a=\sqrt[3]{x-29}$, $b=\sqrt{4x+1}$. Ta có $a^3+27=x-2=(a+3)(a^2-3a+9)$ và $b^2-9=4(x-2)=(b-3)(b+3)$. Suy ra $a+3=\frac{x-2}{a^2-3a+9}$, $b-3=\frac{4(x-2)}{b+3}$, do đó $$\sqrt[3]{x-29}+\sqrt{4x+1}=(x-2)\left[\frac{1}{a^2-3a+9}+\frac{4}{b+3}\right].$$ Khi $x\to 2$: $a\to -3$ nên $a^2-3a+9\to 27$; $b\to 3$ nên $b+3\to 6$. Mẫu số $(x-2)(x^2+3x+9)$, với $x^2+3x+9\to 19$. Vậy $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{\frac{1}{27}+\frac{4}{6}}{19}=\frac{\frac{1}{27}+\frac{2}{3}}{19}=\frac{19/27}{19}=\frac{1}{27}.$$ Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $f(2)=2m+3m^2+\frac{1}{27}=\frac{1}{27}$, tức $3m^2+2m=0\iff m(3m+2)=0\iff m=0$ hoặc $m=-\frac{2}{3}$. Trong hai giá trị này chỉ có $m=0$ là nguyên. Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x=-1\le 1$ nên $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$: đúng. b) Với $x\to 1^{-}$ thì $f(x)=-x^2+m\to -1+m$: đúng. c) Với $x\to 1^{+}$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$: sai. d) Nhánh $x>1$: $x+3>4>0$ luôn xác định; nhánh $x\le 1$ là đa thức luôn xác định; hai nhánh phủ kín $\mathbb{R}$ nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le 1$ nên dùng nhánh $f(x)=-x^2+m$, suy ra $f(-1)=-1+m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 1^{-}$, $f(x)=-x^2+m\to -1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{1}{4}$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1+m$. Liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhánh $x>1$ yêu cầu $x+3\ge 0$, luôn thỏa; nhánh $x\le 1$ là đa thức. Hai nhánh phủ kín $\mathbb{R}$ nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=5$. Để giới hạn hữu hạn, tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4-2a+b=0$, tức $x^2-ax+b=(x-2)(x-k)$ với $a=2+k$, $b=2k$. Khi đó ${\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-k)}{x-2}=2-k=5\Rightarrow k=-3$. Suy ra $a=2+(-3)=-1$, $b=2(-3)=-6$. Vậy $a-2b=-1-2(-6)=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $[0;2]$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x=1$ (với $x\ne 1$, $f(x)$ là hàm phân thức liên tục trên các khoảng $[0;1)$ và $(1;2]$). Ta có: với $x\ne 1$, $\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=(\sqrt{x}+1)(x+1)$. Do đó ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}(\sqrt{x}+1)(x+1)=(1+1)(1+1)=4$. Để hàm liên tục tại $x=1$ cần $f(1)={\lim }_{x\to 1}f(x)$, tức $m=4$. Vậy $m=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$ (nhân liên hợp). Với $x\le 1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1+m=f(1)$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, nên mệnh đề a) với $m=-\frac{3}{4}$ là SAI. b) $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$ đúng. c) ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1+m$ đúng. d) Nhánh $x>1$: $\sqrt{x+3}$ xác định với mọi $x>1$ (và mẫu $x-1\ne 0$); nhánh $x\le 1$ là đa thức; vậy hàm xác định trên toàn $\mathbb{R}$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $-1+m={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\frac{1}{4}$, tức $m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le 1$ nên $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 1$, $f(x)=-x^2+m$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1+m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhánh $x>1$ xác định (căn thức $x+3>0$, mẫu khác 0), nhánh $x\le 1$ là đa thức, nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=5$. Vì mẫu số tiến về $0$ khi $x\to 2$, để giới hạn tồn tại (hữu hạn) thì tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4-2a+b=0$. Khi đó $x^2-ax+b=(x-2)(x+c)$ với hằng số $c$, và giới hạn bằng ${\lim }_{x\to 2}(x+c)=2+c=5$, suy ra $c=3$. Vậy $x^2-ax+b=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$, tức $a=-1$, $b=-6$. Kiểm tra: $4-2(-1)+(-6)=0$ đúng. Do đó $a-2b=-1-2(-6)=-1+12=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$, ta có $x^2-1=(x-1)(x+1)$ và $x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$, do đó $$\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=(x+1)(\sqrt{x}+1).$$ Khi đó $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)(\sqrt{x}+1)=2\cdot 2=4.$$ Hàm số liên tục trên $[0;2]$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x=1$ (vì trên các khoảng $[0;1)$ và $(1;2]$ hàm số là hàm phân thức với mẫu khác 0 nên liên tục). Điều kiện liên tục tại $x=1$: $f(1)={\lim }_{x\to 1}f(x)$, tức $m=4$. Vậy $m=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, nên ý a) sai (không phải $m=-\frac{3}{4}$). Ý b) đúng vì $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$. Ý c) đúng vì với $x>1$ hàm $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ xác định ($x+3>0$, $x-1\ne 0$) và với $x\le 1$ hàm $-x^2+m$ xác định, nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Ý d) đúng vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(-x^2+m)=-1+m$.

a) Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $-1+m=\frac{1}{4}$, tức $m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$.

b) Với $x=-1\le 1$: $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$.

c) Cả hai nhánh đều xác định trên miền của chúng nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$.

d) $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(-x^2+m)=-1+m$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ liên tục tại $x=2$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-ax+b}{x-2}=f(2)=5$. Để giới hạn tồn tại (hữu hạn), tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4-2a+b=0$, tức $b=2a-4$. Khi đó $x^2-ax+b=(x-2)(x-(a-2))$, nên giới hạn bằng $2-(a-2)=4-a=5$, suy ra $a=-1$, $b=2(-1)-4=-6$. Vậy $a-2b=-1-2(-6)=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $[0;2]$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x=1$ (trên các khoảng còn lại biểu thức $\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}$ liên tục vì mẫu khác 0 với $x\ne 1$, $x\in [0;2]$). Ta có:
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(\sqrt{x}+1)(x+1)=(1+1)(1+1)=4.$$
Để hàm số liên tục tại $x=1$ thì $f(1)=m$ phải bằng giới hạn trên, tức $m=4$. Vậy $m=4$ thì hàm số liên tục trên đoạn $[0;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& x>1\\ m{x}^{2025}-2024& x\le 1\end{array}$.

a) Với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ liên tục; với $x<1$: $m{x}^{2025}-2024$ liên tục với mọi $m$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x+1)=2$, còn $f(1)=m-2024$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $m-2024=2⟺m=2026$. Vậy hàm số KHÔNG liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$ → khẳng định a) Sai.

b) ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}(x+1)=2$ → Đúng.

c) Theo a), hàm liên tục tại $x=1$ khi $m=2026$ → Đúng.

d) Với $x\to 0$ (nằm trong miền $x\le 1$): ${\lim }_{x\to 0}f(x)=m\cdot 0^{2025}-2024=-2024\ne 1$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp với đáp án mã đề 1102 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ còn $f(1)=m-2024$; hàm chỉ liên tục tại $x=1$ khi $m=2026$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$ khi $f(1)=m-2024=2⟺m=2026$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le 1$ nên ${\lim }_{x\to 0}f(x)=m\cdot 0-2024=-2024\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=2x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\sqrt{x^2-x+1}$ có $x^2-x+1=(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $x$ nên xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Riêng $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$ nên theo định nghĩa của tính liên tục, ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Vì ${\lim }_{x\to 1}f(x)=5$ nên $f(1)=5$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2103, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x-2}=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$. Mặt khác $f(2)=2\cdot 2-1=3$. Vậy $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$, hàm số liên tục tại $x=2$. a) Sai vì hàm số liên tục tại $x=2$, không gián đoạn. b) Sai vì hàm số liên tục trên toàn $\mathbb{R}$ (với $x\ne 2$ là hàm đa thức $x+1$, tại $x=2$ liên tục như trên). c) Sai vì hàm đã cho xác định tại mọi $x$, kể cả $x=2$ (có công thức riêng $2x-1$), nên $D=\mathbb{R}$. d) Đúng, theo định nghĩa liên tục tại một điểm. Kết quả khớp đáp án nguồn SSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3=f(2)$ nên hàm số liên tục tại $x=2$, không gián đoạn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ và liên tục với mọi $x\ne 2$ (đa thức $x+1$), nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số được định nghĩa tại cả $x=2$ với $f(2)=2x-1=3$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa liên tục tại một điểm: hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính liên tục của $f(x)$. Với $x>0$, $f(x)=|x^2-3x+2|$ là hàm liên tục trên toàn trục số (hàm đa thức lấy giá trị tuyệt đối), nên liên tục tại mọi $x>0$. Với $x<0$, $f(x)=x+1$ là hàm bậc nhất nên liên tục. Chỉ cần xét điểm nối $x=0$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+1)=1$; còn $f(0)=|0^2-3\cdot 0+2|=2$. Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=1\ne 2=f(0)$, hàm số gián đoạn tại $x=0$. Vậy $f(x)$ gián đoạn tại đúng $1$ điểm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2103, câu 17: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$ nên theo định nghĩa của tính liên tục, $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)$. Vì $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=5$ nên $f(1)=5$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Với x≠2: f(x)=(x²−x−2)/(x−2)=((x−2)(x+1))/(x−2)=x+1. Do đó lim_{x→2}f(x)=3 và f(2)=2·2−1=3, nên hàm số liên tục tại x=2, tức liên tục trên ℝ. a) Sai vì f(2)=2x−1 được xác định nên D=ℝ. b) Sai vì hàm liên tục trên ℝ. c) Đúng theo định nghĩa liên tục tại một điểm. d) Sai vì hàm liên tục tại x=2. Đối chiếu đáp án mã đề 1246 câu 15: S-S-D-S, khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì f(2)=2·2−1=3 được xác định nên tập xác định là D=ℝ, không phải ℝ\{2}.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x≠2, f(x)=x+1 liên tục; tại x=2, lim_{x→2}f(x)=3=f(2) nên hàm liên tục trên ℝ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hàm số liên tục tại x=2 khi và chỉ khi lim_{x→2}f(x)=f(2); thực tế lim_{x→2}(x+1)=3=f(2) nên hàm liên tục tại đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì lim_{x→2}f(x)=3=f(2) nên hàm liên tục, không gián đoạn tại x=2.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng miền: với $x<0$, $f(x)=x+1$ là hàm đa thức nên liên tục; với $x>0$, $f(x)=\left|x^2-3x+2\right|$ liên tục (hàm liên tục của hàm liên tục). Chỉ cần xét tại $x=0$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 0^{-}}(x+1)=1$; $f(0)=\left|0^2-3\cdot 0+2\right|=2$. Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=1\ne 2=f(0)$ nên $f$ gián đoạn tại $x=0$. Vậy hàm số gián đoạn tại đúng 1 điểm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, Câu 18 = 1).