Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$; hàm $y=\frac{2x-1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$; hàm $y=\sqrt{x^2-1}$ chỉ xác định khi $|x|\ge 1$. Riêng hàm đa thức $y=x^2+x$ liên tục trên mọi $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 112, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên (0;200) và (200;+∞) vì là hàm đa thức. Chỉ cần xét tính liên tục tại x=200. Điều kiện liên tục: lim_{x→200⁻} P(x) = lim_{x→200⁺} P(x) = P(200). Ta có lim_{x→200⁻} P(x) = 4,5·200 = 900 và lim_{x→200⁺} P(x) = 3·200 + a = 600 + a. Suy ra 600 + a = 900, tức a = 300. Kiểm tra: với a = 300, P(200) = 900 khớp cả hai giới hạn, hàm liên tục trên (0;+∞). Kết quả trùng với đáp án nguồn (300).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $P(x)$ liên tục trên $(0;200]$ và $(200;+\infty )$. Chỉ cần liên tục tại $x=200$: ${\lim }_{x\to 200^{-}}P(x)=4,5\cdot 200=900$ và ${\lim }_{x\to 200^{+}}P(x)=3\cdot 200+a=600+a$. Liên tục tại $x=200$ đòi hỏi $600+a=900\Rightarrow a=300$. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 3 = 300).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\sqrt{x^2-1}$ chỉ xác định khi $x^2-1\ge 0$, tức $x\in (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$, không liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{2x-1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^2+x$ là hàm đa thức, xác định và liên tục trên mọi $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 111, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm $y=\frac{2026}{x}$ không xác định tại $x=0$; hàm $y=\sqrt{x-2025}$ chỉ xác định với $x\ge 2025$; hàm $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $t=70$: $T(70)=20+4\cdot 70=300^{\circ }C$ nên a đúng. $\underset{t\to 70^{+}}{\lim }T(t)=440-2\cdot 70=300$, không phải 440 nên b sai. $\underset{t\to 70^{-}}{\lim }T(t)=20+4\cdot 70=300$ nên c đúng. Vì lim trái = lim phải = $T(70)=300$ nên hàm liên tục tại $t=70$, do đó $T(t)$ liên tục trên $[0,120]$, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(70)=20+4\cdot 70=300^{\circ }C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to 70^{+}}{\lim }T(t)=440-2\cdot 70=300\ne 440$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to 70^{-}}{\lim }T(t)=20+4\cdot 70=300$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $t=70$ vì hai giới hạn một phía bằng $T(70)=300$, nên liên tục trên $[0,120]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $T(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ nên liên tục tại $x=1$ và $x=25$.

Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}T(x)=a+0=20000$, suy ra $a=20000$.

Tại $x=25$: ${\lim }_{x\to 25^{-}}T(x)=a+24\cdot 14000=20000+336000=356000$, và ${\lim }_{x\to 25^{+}}T(x)=b$, suy ra $b=356000$.

Vậy $\frac{a+b}{1000}=\frac{20000+356000}{1000}=376$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-2025}$ xác định khi $x-2025\ne 0$, tức $x\ne 2025$. Tại $x=2025$ mẫu số bằng 0 nên hàm số không xác định, do đó không liên tục tại $x=2025$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-\infty ;2)$ hàm số liên tục (đường cong parabol đi qua điểm $(-1;0)$, có điểm rời ở $(0;3)$ nhưng vẫn liên tục tại $x=0$ vì đường cong đi qua đó). Tại $x=2$, giới hạn trái ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=3$ (đường cong đi tới điểm có tung độ 3), còn với $x>2$ đồ thị là đường ngang ở mức thấp hơn, nên ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)\ne 3$. Giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=2$ không bằng nhau nên hàm số không liên tục tại $x=2$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Với x≠5, f(x)=(x²−25)/(x−5)=x+5 là hàm đa thức nên liên tục trên (−∞;5) và (5;+∞) → a đúng. lim(x→5) f(x)=lim(x→5)(x+5)=10≠0 → b sai. Hàm liên tục trên R ⟺ f(5)=2m+4=10 ⟺ m=3, không phải m=4 → c sai. Tại x=2≠5, f(x)=x+5 liên tục với mọi m → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với x≠5, f(x)=x+5 là hàm đa thức, liên tục trên (−∞;5) và (5;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
lim(x→5) f(x)=lim(x→5)(x+5)=10≠0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục trên R khi 2m+4=10 ⟺ m=3, không phải m=4.
d) (AI giải đề cho tôi)
x=2≠5 nên f(x)=x+5 liên tục tại x=2 với mọi m.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-2x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên toàn tập R. Các hàm còn lại: $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $y=\sqrt{x}$ chỉ xác định với $x\ge 0$; $y=\frac{x+2}{x-1}$ không xác định tại $x=1$. Vậy hàm liên tục trên R là phương án C.

Hàm số $v(t)$ liên tục trên đoạn $[0;12]$ nên hàm số liên tục tại $t=6$. Suy ra $\underset{t\to 6^{+}}{\lim }v(t)=\underset{t\to 6^{-}}{\lim }v(t)=v(6)\iff \underset{t\to 6^{+}}{\lim }(at+41)=\underset{t\to 6^{-}}{\lim }\left(-t^2+10t+5\right)=29$ $\iff 6a+41=29\iff a=-2$.

Khi đó $v(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+10t+5& \text{khi }0\le t\le 6\\ -2t+41& \text{khi }6<t\le 12\end{array}$. Vật đạt vận tốc 21 (m/s) nên ta có $v(t)=21$

$$\iff \{\begin{array}{l}-t^2+10t+5=21\text{ khi }0\le t\le 6\\ -2t+41=21\text{ khi }6<t\le 12\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=2(TM)\\ t=8(L)\\ t=10(TM)\end{array}.$$

Như vậy ta có $t_1=2$ và $t_2=10$, $t_1+t_2=2+10=12$.

Hàm số $v(t)$ liên tục trên đoạn $[0;10]$ nên hàm số liên tục tại $t=5$.

Suy ra ${\lim }_{t\to 5^{+}}v(t)={\lim }_{t\to 5^{-}}v(t)=v(5)\iff {\lim }_{t\to 5^{+}}(at-3)={\lim }_{t\to 5^{-}}\left(-t^2+4t+12\right)=7$

$\iff 5a-3=-5^2+4.5+12\iff a=2$.

Khi đó $v(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+4t+12& \text{khi }0\le t\le 5\\ 2t-3& \text{khi }5<t\le 10\end{array}$.

Vật đạt vận tốc 10 (m/s) nên ta có $v(t)=10$

$$\iff [<table><tbody><tr><td>-t^2+4t+12=10(0\le t\le 5)</td></tr><tr><td>2t-3=10(5<t<10)</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>t=2+\sqrt{6}</td></tr><tr><td>t=\frac{13}{2}</td></tr></tbody></table>$$

Như vậy ta có $t_1=2+\sqrt{6}$ và $t_2=\frac{13}{2}$, $t_1+t_2=2+\sqrt{6}+\frac{13}{2}\approx 10,9$.

Ta có: Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$

${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2$ và $f(1)=2$.

Suy ra hàm số đã cho liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$. Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=1-2=-1$. Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $f(1)=m+1=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-1$, suy ra $m=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 5$: $2x^2-7x-15=(2x+3)(x-5)$, nên $f(x)=2x+3$. Khi đó ${\lim }_{x\to 5}f(x)={\lim }_{x\to 5}(2x+3)=13$. Trong khi $f(5)=-3$. Vì ${\lim }_{x\to 5}f(x)=13\ne -3=f(5)$, hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x_0=5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: với $x\le 2$ thì $f(x)=2x-3$, nên $f(2)=2\cdot 2-3=1$. b) Đúng: với $x>2$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$, do đó $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=2-1=1$. c) Sai: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=f(2)=1$ (với $x\to 2^{-}$, $f(x)=2x-3\to 1$), nên hàm số liên tục tại $x_0=2$, không gián đoạn. d) Đúng: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{(2x-3)-1}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2(x-2)}{x-2}=2$. Kết quả Đ Đ S Đ khớp bảng đáp án mã đề 1202, Phần II câu 2 (DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 2$, $f(x)=2x-3$ nên $f(2)=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>2$, $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=1$, hàm số liên tục tại $x_0=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{(2x-3)-1}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2(x-2)}{x-2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$.

Tính giới hạn: tại $x=2$, tử số $\sqrt[3]{2-29}+\sqrt{4\cdot 2+1}=\sqrt[3]{-27}+\sqrt{9}=-3+3=0$, mẫu có nhân tử $(x-2)$, nên đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Áp dụng định nghĩa đạo hàm cho $g(x)=\sqrt[3]{x-29}+\sqrt{4x+1}$:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=g^{\prime }(2).$$
Với $g_1(x)=\sqrt[3]{x-29}$: $g_1^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x-29{)}^{-2/3}$, nên $g_1^{\prime }(2)=\frac{1}{3}\cdot 27^{-2/3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{27}$.
Với $g_2(x)=\sqrt{4x+1}$: $g_2^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$, nên $g_2^{\prime }(2)=\frac{2}{3}$.
Vậy $g^{\prime }(2)=\frac{1}{27}+\frac{2}{3}=\frac{19}{27}$.

Mẫu số: $(x-2)(x^2+3x+9)$ với $x^2+3x+9\to 19$ khi $x\to 2$. Do đó:
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{19/27}{19}=\frac{1}{27}.$$

Điều kiện liên tục: $f(2)=4m+m^2+\frac{1}{27}=\frac{1}{27}\iff m^2+4m=0\iff m=0$ hoặc $m=-4$.

Cả hai giá trị đều nguyên, nên có $2$ giá trị nguyên của $m$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, Phần III câu 3: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$:
- $y=\tan x$: không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$.
- $y=\sqrt{x}$: chỉ xác định với $x\ge 0$, không liên tục trên $(-\infty ;+\infty )$.
- $y=\frac{1}{x}$: không xác định tại $x=0$, gián đoạn tại $x=0$.
- $y=\sin x$: hàm số liên tục trên toàn tập thực $\mathbb{R}$.
Vậy hàm liên tục trên $(-\infty ;+\infty )$ là $y=\sin x$, đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án của đề (mã đề 1202, câu 3: D).